Номер 281, страница 70 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.4. Степень числа. Глава 3. Действия с натуральными числами - номер 281, страница 70.

281 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ Квадраты на рисунке 3.8, а изображают последовательность квадратов натуральных чисел: $1^2$, $2^2$, $3^2$, ....

Эти же квадраты на рисунке 3.8, б изображают последовательность чисел, получаемых по правилу: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, ....

Поэтому можно записать равенства:

$1^2 = 1$;

$2^2 = 1 + 3$;

$3^2 = 1 + 3 + 5$.

Используя эти рисунки, запишите ещё несколько равенств.

a) $1^2$

$2^2$

$3^2$

б) 1

1 + 3

1 + 3 + 5

Рис. 3.8

В задаче показано, как квадрат натурального числа $n$ можно представить в виде суммы первых $n$ последовательных нечетных натуральных чисел. На рисунках и в тексте даны следующие примеры:

$1^2 = 1$

$2^2 = 1 + 3$

$3^2 = 1 + 3 + 5$

Чтобы записать еще несколько подобных равенств, нужно продолжить эту закономерность. Для каждого следующего натурального числа $n$ мы будем добавлять к предыдущей сумме следующее нечетное число.

Для $n=4$:

К сумме для $3^2$ ($1+3+5$) нужно добавить следующее нечетное число, то есть 7. Получим:

$4^2 = 1 + 3 + 5 + 7$

Проверим: $4^2 = 16$ и $1 + 3 + 5 + 7 = 4 + 5 + 7 = 9 + 7 = 16$. Равенство верно.

Для $n=5$:

К сумме для $4^2$ ($1+3+5+7$) нужно добавить следующее нечетное число, то есть 9. Получим:

$5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$

Проверим: $5^2 = 25$ и $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9 = 25$. Равенство верно.

Для $n=6$:

К сумме для $5^2$ ($1+3+5+7+9$) нужно добавить следующее нечетное число, то есть 11. Получим:

$6^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$

Проверим: $6^2 = 36$ и $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 25 + 11 = 36$. Равенство верно.

Ответ: $4^2 = 1 + 3 + 5 + 7$; $5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$; $6^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$.