Номер 283, страница 71 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.4. Степень числа. Глава 3. Действия с натуральными числами - номер 283, страница 71.

283 a) Запишите все чётные трёхзначные числа, которые можно составить, используя только цифры 1, 2, 3, 4, причём цифры в числе должны быть различны. Сколько всего таких чисел имеется?

б) Сколько существует нечётных трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, причём так, чтобы цифры в числе были различны? Выпишите эти числа.

а)

Чтобы трёхзначное число было чётным, его последняя цифра должна быть чётной. Из предложенных цифр {1, 2, 3, 4} чётными являются 2 и 4. Цифры в числе не должны повторяться.

Разобьём задачу на два случая:

1. Число оканчивается на 2.
Последняя цифра — 2. Для первых двух разрядов (сотни и десятки) остаются цифры {1, 3, 4}. На место сотен можно выбрать любую из 3-х оставшихся цифр. После выбора цифры сотен, на место десятков можно выбрать любую из 2-х оставшихся. Всего комбинаций: $3 \times 2 = 6$. Это числа: 132, 142, 312, 342, 412, 432.

2. Число оканчивается на 4.
Последняя цифра — 4. Для первых двух разрядов остаются цифры {1, 2, 3}. Аналогично, на место сотен — 3 варианта, на место десятков — 2 варианта. Всего комбинаций: $3 \times 2 = 6$. Это числа: 124, 134, 214, 234, 314, 324.

Общее количество таких чисел равно сумме чисел, найденных в обоих случаях: $6 + 6 = 12$.

Все чётные трёхзначные числа: 132, 142, 312, 342, 412, 432, 124, 134, 214, 234, 314, 324.

Ответ: Всего 12 чисел: 132, 142, 312, 342, 412, 432, 124, 134, 214, 234, 314, 324.

б)

Чтобы трёхзначное число было нечётным, его последняя цифра должна быть нечётной. Из предложенных цифр {1, 2, 3, 4} нечётными являются 1 и 3. Цифры в числе должны быть различны.

Разобьём задачу на два случая:

1. Число оканчивается на 1.
Последняя цифра — 1. Для первых двух разрядов остаются цифры {2, 3, 4}. На место сотен можно выбрать любую из 3-х оставшихся цифр. После выбора цифры сотен, на место десятков можно выбрать любую из 2-х оставшихся. Всего комбинаций: $3 \times 2 = 6$. Это числа: 231, 241, 321, 341, 421, 431.

2. Число оканчивается на 3.
Последняя цифра — 3. Для первых двух разрядов остаются цифры {1, 2, 4}. Аналогично, на место сотен — 3 варианта, на место десятков — 2 варианта. Всего комбинаций: $3 \times 2 = 6$. Это числа: 123, 143, 213, 243, 413, 423.

Всего существует $6 + 6 = 12$ таких нечётных чисел.

Все нечётные трёхзначные числа: 123, 143, 213, 243, 413, 423, 231, 241, 321, 341, 421, 431.

Ответ: Существует 12 чисел. Это числа: 123, 143, 213, 243, 413, 423, 231, 241, 321, 341, 421, 431.