Страница 71 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

282 Найдите значение выражения:

a) $510 : 17 + 14 \cdot (48 - 80 : 4);$

б) $20 \cdot 15 + 35 \cdot 15 - 31110 : 51.$

а) $510 : 17 + 14 \cdot (48 - 80 : 4)$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках (внутри скобок сначала деление, затем вычитание), затем деление и умножение слева направо, и в последнюю очередь сложение.

1. Выполним действия в скобках: $(48 - 80 : 4)$.

- Сначала деление: $80 : 4 = 20$.

- Затем вычитание: $48 - 20 = 28$.

2. Теперь выражение выглядит так: $510 : 17 + 14 \cdot 28$.

3. Выполним деление и умножение слева направо.

- Деление: $510 : 17 = 30$.

- Умножение: $14 \cdot 28 = 392$.

4. Выражение принимает вид: $30 + 392$.

5. Выполним сложение: $30 + 392 = 422$.

Ответ: 422

б) $20 \cdot 15 + 35 \cdot 15 - 31110 : 51$

В этом выражении сначала выполняются операции умножения и деления слева направо, а затем сложение и вычитание.

1. Для первых двух слагаемых можно применить распределительный закон умножения, чтобы упростить вычисления (вынести общий множитель 15 за скобки):

$20 \cdot 15 + 35 \cdot 15 = (20 + 35) \cdot 15 = 55 \cdot 15$.

- Вычислим произведение: $55 \cdot 15 = 825$.

2. Теперь выполним деление:

$31110 : 51 = 610$.

3. Выражение принимает вид: $825 - 610$.

4. Выполним вычитание:

$825 - 610 = 215$.

Ответ: 215

283 a) Запишите все чётные трёхзначные числа, которые можно составить, используя только цифры 1, 2, 3, 4, причём цифры в числе должны быть различны. Сколько всего таких чисел имеется?

б) Сколько существует нечётных трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, причём так, чтобы цифры в числе были различны? Выпишите эти числа.

а)

Чтобы трёхзначное число было чётным, его последняя цифра должна быть чётной. Из предложенных цифр {1, 2, 3, 4} чётными являются 2 и 4. Цифры в числе не должны повторяться.

Разобьём задачу на два случая:

1. Число оканчивается на 2.
Последняя цифра — 2. Для первых двух разрядов (сотни и десятки) остаются цифры {1, 3, 4}. На место сотен можно выбрать любую из 3-х оставшихся цифр. После выбора цифры сотен, на место десятков можно выбрать любую из 2-х оставшихся. Всего комбинаций: $3 \times 2 = 6$. Это числа: 132, 142, 312, 342, 412, 432.

2. Число оканчивается на 4.
Последняя цифра — 4. Для первых двух разрядов остаются цифры {1, 2, 3}. Аналогично, на место сотен — 3 варианта, на место десятков — 2 варианта. Всего комбинаций: $3 \times 2 = 6$. Это числа: 124, 134, 214, 234, 314, 324.

Общее количество таких чисел равно сумме чисел, найденных в обоих случаях: $6 + 6 = 12$.

Все чётные трёхзначные числа: 132, 142, 312, 342, 412, 432, 124, 134, 214, 234, 314, 324.

Ответ: Всего 12 чисел: 132, 142, 312, 342, 412, 432, 124, 134, 214, 234, 314, 324.

б)

Чтобы трёхзначное число было нечётным, его последняя цифра должна быть нечётной. Из предложенных цифр {1, 2, 3, 4} нечётными являются 1 и 3. Цифры в числе должны быть различны.

Разобьём задачу на два случая:

1. Число оканчивается на 1.
Последняя цифра — 1. Для первых двух разрядов остаются цифры {2, 3, 4}. На место сотен можно выбрать любую из 3-х оставшихся цифр. После выбора цифры сотен, на место десятков можно выбрать любую из 2-х оставшихся. Всего комбинаций: $3 \times 2 = 6$. Это числа: 231, 241, 321, 341, 421, 431.

2. Число оканчивается на 3.
Последняя цифра — 3. Для первых двух разрядов остаются цифры {1, 2, 4}. Аналогично, на место сотен — 3 варианта, на место десятков — 2 варианта. Всего комбинаций: $3 \times 2 = 6$. Это числа: 123, 143, 213, 243, 413, 423.

Всего существует $6 + 6 = 12$ таких нечётных чисел.

Все нечётные трёхзначные числа: 123, 143, 213, 243, 413, 423, 231, 241, 321, 341, 421, 431.

Ответ: Существует 12 чисел. Это числа: 123, 143, 213, 243, 413, 423, 231, 241, 321, 341, 421, 431.

284 Ищем сходство и различие Чем схожи и чем различаются две линии, изображённые на рисунке 3.9? Перерисуйте этих «бабочек» на нелинованный лист бумаги.

Рис. 3.9

Для ответа на вопрос проанализируем сходства и различия двух линий, изображенных на рисунке.

Сходства

• Замкнутость: Обе линии являются замкнутыми. Это означает, что их начальная и конечная точки совпадают, образуя единый непрерывный контур.
• Отсутствие самопересечений: Ни одна из линий не пересекает саму себя. Такие линии являются простыми замкнутыми кривыми.
• Общая форма: Обе линии образуют фигуры, которые по своему общему силуэту напоминают бабочек. У обеих фигур есть "крылья" и "усики".
• Симметрия: Обе фигуры обладают вертикальной осью симметрии, которая делит их на две зеркально равные части (левую и правую).

Различия

• Тип линии: Это ключевое различие между фигурами.
  • Верхняя (зеленая) фигура образована ломаной линией. Она состоит из последовательно соединенных прямолинейных отрезков.
  • Нижняя (фиолетовая) фигура образована кривой линией. Она состоит из плавных, гладких изгибов и не имеет прямолинейных участков.
• Наличие углов: Как следствие из предыдущего пункта, контуры фигур имеют разный характер.
  • Контур верхней «бабочки» имеет чётко выраженные углы в местах соединения отрезков.
  • Контур нижней «бабочки» плавный и гладкий, он не имеет углов.

Ответ: Сходство линий заключается в том, что обе они замкнутые, не имеют самопересечений и образуют симметричные фигуры, похожие на бабочек. Различие состоит в том, что верхняя фигура образована ломаной линией (состоит из прямых отрезков) и имеет углы, а нижняя — плавной кривой линией без углов.

Перерисовка «бабочек»

Вторая часть задания, «Перерисуйте этих «бабочек» на нелинованный лист бумаги», является практическим упражнением. Для его выполнения необходимо взять чистый (нелинованный) лист бумаги и карандаш. При рисовании важно передать главные отличия фигур:

1. Для верхней, зеленой «бабочки» можно использовать линейку, чтобы все отрезки получились прямыми, а углы — чёткими.
2. Для нижней, фиолетовой «бабочки» линейку использовать не нужно. Её следует рисовать от руки, стараясь делать линии максимально плавными и изогнутыми.

Ответ: Задание по перерисовке является практическим и выполняется самостоятельно на листе бумаги с учётом стилистических различий фигур (ломаная и кривая линии).