Страница 76 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

298 Туристы отправились на прогулку на катере. Они проплыли 36 км по течению реки, сделали привал на 3 ч и затем вернулись обратно. Сколько времени заняла вся прогулка, если собственная скорость катера 15 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?

Для того чтобы найти общее время прогулки, необходимо последовательно рассчитать время, затраченное на путь по течению реки, время на обратный путь против течения, а затем сложить эти значения со временем привала.

1. Вычисление скорости и времени движения по течению.

Скорость катера по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения:

$V_{по\;течению} = V_{собственная} + V_{течения} = 15 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$

Время, затраченное на путь по течению, рассчитывается по формуле $t = S / V$, где $S$ - расстояние:

$t_{по\;течению} = 36 \text{ км} / 18 \text{ км/ч} = 2 \text{ ч}$

2. Вычисление скорости и времени движения против течения.

Скорость катера против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения:

$V_{против\;течения} = V_{собственная} - V_{течения} = 15 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$

Время, затраченное на обратный путь:

$t_{против\;течения} = 36 \text{ км} / 12 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$

3. Вычисление общего времени прогулки.

Общее время прогулки складывается из времени движения по течению, времени движения против течения и времени привала:

$T_{общая} = t_{по\;течению} + t_{против\;течения} + t_{привала} = 2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$

Ответ: 8 часов.

МОДЕЛИРУЕМ (299-304) Изобразите условие задачи схематически с помощью рисунка и решите её.

299 От двух станций, расстояние между которыми 40 км, одновременно в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга, отправились два поезда. Скорость первого $60 \text{ км/ч}$, второго $70 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между поездами:

а) через $2 \text{ ч}$;

б) через $5 \text{ ч}$?

Для наглядности представим условие задачи в виде схемы. Изобразим числовую прямую, где две станции (Ст.1 и Ст.2) находятся на расстоянии 40 км друг от друга. От этих станций в противоположные стороны начинают движение два поезда.

<-- Поезд 1 (v=60 км/ч) --- [Ст.1] --- 40 км --- [Ст.2] --- Поезд 2 (v=70 км/ч) -->

Чтобы найти расстояние между поездами через определенное время, нужно к начальному расстоянию прибавить общее расстояние, которое они проедут. Сначала найдем скорость удаления поездов. Так как они движутся в противоположных направлениях, их скорости складываются.

1) Найдем скорость удаления поездов ($v_{уд}$):
$v_{уд} = 60 \text{ км/ч} + 70 \text{ км/ч} = 130 \text{ км/ч}$

Это значит, что за каждый час расстояние между поездами увеличивается на 130 км.

а) Найдем расстояние между поездами через 2 часа.

Сначала вычислим, на какое расстояние поезда удалятся друг от друга за 2 часа, двигаясь с общей скоростью удаления 130 км/ч.

2) $130 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 260 \text{ км}$

Теперь к этому расстоянию прибавим начальное расстояние между станциями, чтобы найти итоговое расстояние между поездами.

3) $40 \text{ км} + 260 \text{ км} = 300 \text{ км}$

Ответ: через 2 часа расстояние между поездами будет 300 км.

б) Найдем расстояние между поездами через 5 часов.

Аналогично, вычислим, на какое расстояние поезда удалятся друг от друга за 5 часов.

4) $130 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 650 \text{ км}$

Прибавим полученное расстояние к начальному.

5) $40 \text{ км} + 650 \text{ км} = 690 \text{ км}$

Ответ: через 5 часов расстояние между поездами будет 690 км.

300 Андрей вышел из школы и направился к дому со скоростью $90 \text{ м/мин}$. Через 10 мин из школы вышел Николай и пошёл в противоположном направлении со скоростью $100 \text{ м/мин}$. Какое расстояние будет между мальчиками:

а) через 5 мин после выхода Николая;

б) через 20 мин после выхода Андрея?

Подсказка. Определите, какое расстояние будет между мальчиками в момент выхода Николая из школы.

Для решения задачи нам нужно вычислить, какое расстояние прошел каждый мальчик от школы за указанное время, и затем сложить эти расстояния, так как они двигались в противоположных направлениях.

Дано:

• Скорость Андрея: $v_А = 90$ м/мин.
• Скорость Николая: $v_Н = 100$ м/мин.
• Николай вышел на 10 минут позже Андрея.

а) через 5 мин после выхода Николая

1. Сначала определим, сколько всего времени был в пути Андрей. Он вышел на 10 минут раньше Николая и шел еще 5 минут. Общее время в пути для Андрея: $t_А = 10 \text{ мин} + 5 \text{ мин} = 15$ мин.

2. Рассчитаем расстояние, которое прошел Андрей за свое время: $S_А = v_А \times t_А = 90 \text{ м/мин} \times 15 \text{ мин} = 1350$ м.

3. Время в пути для Николая составляет 5 минут. Рассчитаем расстояние, которое прошел Николай: $S_Н = v_Н \times t_Н = 100 \text{ м/мин} \times 5 \text{ мин} = 500$ м.

4. Так как мальчики шли в противоположных направлениях от школы, общее расстояние между ними равно сумме расстояний, которые прошел каждый из них: $S_{общ} = S_А + S_Н = 1350 \text{ м} + 500 \text{ м} = 1850$ м.

Ответ: 1850 м.

б) через 20 мин после выхода Андрея

1. Время в пути для Андрея по условию составляет $t_А = 20$ мин. Рассчитаем пройденное им расстояние: $S_А = v_А \times t_А = 90 \text{ м/мин} \times 20 \text{ мин} = 1800$ м.

2. Николай вышел на 10 минут позже, значит, к этому моменту он был в пути: $t_Н = 20 \text{ мин} - 10 \text{ мин} = 10$ мин.

3. Рассчитаем расстояние, которое прошел Николай за свое время: $S_Н = v_Н \times t_Н = 100 \text{ м/мин} \times 10 \text{ мин} = 1000$ м.

4. Общее расстояние между мальчиками будет суммой пройденных ими расстояний: $S_{общ} = S_А + S_Н = 1800 \text{ м} + 1000 \text{ м} = 2800$ м.

Ответ: 2800 м.

301 От автобусной станции отошёл автобус со скоростью 40 км/ч. Через час в противоположном направлении вышел другой автобус, скорость которого 60 км/ч.

а) Через какое время после выхода второго автобуса расстояние между ними будет равно 140 км?

б) Через какое время после выхода первого автобуса расстояние между ними будет равно 240 км?

а)

Пусть $t$ — время в часах, которое прошло с момента выхода второго автобуса. Первый автобус вышел на 1 час раньше, поэтому он находился в пути $t + 1$ час.

За это время первый автобус, двигаясь со скоростью $v_1 = 40$ км/ч, проехал расстояние:
$S_1 = v_1 \times (t + 1) = 40 \times (t + 1)$ км.

Второй автобус, двигаясь со скоростью $v_2 = 60$ км/ч, за время $t$ проехал расстояние:
$S_2 = v_2 \times t = 60 \times t$ км.

Поскольку автобусы движутся в противоположных направлениях, расстояние между ними является суммой расстояний, пройденных каждым из них. По условию, это расстояние равно 140 км. Составим уравнение:
$S_1 + S_2 = 140$
$40(t + 1) + 60t = 140$

Решим полученное уравнение:
$40t + 40 + 60t = 140$
$100t + 40 = 140$
$100t = 140 - 40$
$100t = 100$
$t = 1$ час.

Следовательно, через 1 час после выхода второго автобуса расстояние между ними будет 140 км.
Ответ: через 1 час.

б)

Пусть $T$ — время в часах, которое прошло с момента выхода первого автобуса. Второй автобус вышел на час позже, поэтому он находился в пути $T - 1$ час.

Расстояние, которое проехал первый автобус за время $T$, равно:
$S_1 = v_1 \times T = 40T$ км.

Расстояние, которое проехал второй автобус за время $T-1$, равно:
$S_2 = v_2 \times (T - 1) = 60(T - 1)$ км.

Суммарное расстояние между автобусами должно быть равно 240 км. Составим уравнение:
$S_1 + S_2 = 240$
$40T + 60(T - 1) = 240$

Решим это уравнение:
$40T + 60T - 60 = 240$
$100T - 60 = 240$
$100T = 240 + 60$
$100T = 300$
$T = 3$ часа.

Следовательно, через 3 часа после выхода первого автобуса расстояние между ними будет 240 км.
Ответ: через 3 часа.

302 а) Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после выхода пассажирского поезда эти поезда встретятся?

б) От станции в направлении посёлка, расстояние до которого 24 км, вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из посёлка выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через сколько часов после своего выхода пешеход встретит велосипедиста?

а)

1. Сначала определим, какое расстояние проехал скорый поезд за 2 часа, пока пассажирский поезд еще не выехал. Для этого умножим скорость скорого поезда на время его движения:

$80 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 160 \text{ км}$

2. Теперь найдем, какое расстояние осталось между поездами к моменту выезда пассажирского поезда. Для этого вычтем из общего расстояния то, что уже проехал скорый поезд:

$720 \text{ км} - 160 \text{ км} = 560 \text{ км}$

3. Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Найдем скорость сближения:

$v_{сближения} = 80 \text{ км/ч} + 60 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$

4. Чтобы найти время до встречи, разделим оставшееся расстояние на скорость сближения. Это и будет время, прошедшее с момента выхода пассажирского поезда.

$t = \frac{560 \text{ км}}{140 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

Ответ: поезда встретятся через 4 часа после выхода пассажирского поезда.

б)

1. Сначала определим, какое расстояние прошел пешеход за 2 часа, пока велосипедист еще не выехал:

$4 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 8 \text{ км}$

2. Теперь найдем, какое расстояние было между пешеходом и велосипедистом в момент старта велосипедиста:

$24 \text{ км} - 8 \text{ км} = 16 \text{ км}$

3. Пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу, поэтому найдем их скорость сближения, сложив их скорости:

$v_{сближения} = 4 \text{ км/ч} + 12 \text{ км/ч} = 16 \text{ км/ч}$

4. Найдем время, через которое они встретятся после выезда велосипедиста, разделив оставшееся расстояние на скорость сближения:

$t_{встречи} = \frac{16 \text{ км}}{16 \text{ км/ч}} = 1 \text{ ч}$

5. Вопрос задачи — через сколько часов после своего выхода пешеход встретит велосипедиста. Пешеход был в пути 2 часа до выезда велосипедиста и еще 1 час после его выезда до момента встречи. Сложим это время:

$2 \text{ ч} + 1 \text{ ч} = 3 \text{ ч}$

Ответ: пешеход встретит велосипедиста через 3 часа после своего выхода.

303 Дима вышел из школы и направился к стадиону со скоростью 100 м/мин. Через 5 мин после его выхода от стадиона к школе направился Олег со скоростью 80 м/мин. Чему равно расстояние между школой и стадионом, если:

а) Олег встретил Диму через 10 мин после своего выхода;

б) Дима встретил Олега через 20 мин после выхода?

Для решения задачи обозначим:
$v_Д = 100$ м/мин — скорость Димы;
$v_О = 80$ м/мин — скорость Олега;
$S_Д$ — расстояние, которое прошел Дима до встречи;
$S_О$ — расстояние, которое прошел Олег до встречи;
$t_Д$ — время в пути Димы до встречи;
$t_О$ — время в пути Олега до встречи;
$S$ — расстояние между школой и стадионом.

Поскольку Дима и Олег движутся навстречу друг другу из начальных точек (школа и стадион), общее расстояние $S$ равно сумме расстояний, которые они пройдут до момента встречи: $S = S_Д + S_О$. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$.

Из условия известно, что Дима вышел на 5 минут раньше Олега, значит, его время в пути до встречи всегда будет на 5 минут больше, чем у Олега: $t_Д = t_О + 5$.

а) Олег встретил Диму через 10 мин после своего выхода

1. По условию этого пункта, время движения Олега до встречи $t_О = 10$ мин.

2. Найдем время движения Димы до встречи:
$t_Д = t_О + 5 = 10 + 5 = 15$ мин.

3. Вычислим расстояние, которое прошел каждый из них до встречи:
Дима прошел: $S_Д = v_Д \cdot t_Д = 100 \text{ м/мин} \cdot 15 \text{ мин} = 1500$ м.
Олег прошел: $S_О = v_О \cdot t_О = 80 \text{ м/мин} \cdot 10 \text{ мин} = 800$ м.

4. Найдем общее расстояние между школой и стадионом:
$S = S_Д + S_О = 1500 \text{ м} + 800 \text{ м} = 2300$ м.

Ответ: 2300 м.

б) Дима встретил Олега через 20 мин после выхода

1. По условию этого пункта, время движения Димы до встречи $t_Д = 20$ мин.

2. Найдем время движения Олега до встречи:
$t_О = t_Д - 5 = 20 - 5 = 15$ мин.

3. Вычислим расстояние, которое прошел каждый из них до встречи:
Дима прошел: $S_Д = v_Д \cdot t_Д = 100 \text{ м/мин} \cdot 20 \text{ мин} = 2000$ м.
Олег прошел: $S_О = v_О \cdot t_О = 80 \text{ м/мин} \cdot 15 \text{ мин} = 1200$ м.

4. Найдем общее расстояние между школой и стадионом:
$S = S_Д + S_О = 2000 \text{ м} + 1200 \text{ м} = 3200$ м.

Ответ: 3200 м.

304 Сергей и Глеб каждый день делают пробежку по дорожкам парка. Сергей бежит со скоростью $200 \text{ м/мин}$, а Глеб — со скоростью $160 \text{ м/мин}$. Они бегут по одной дорожке навстречу друг другу, и расстояние между ними в некоторый момент равно $900 \text{ м}$. Через сколько минут между ними будет $540 \text{ м}$?

Подсказка. Задача имеет два решения: один раз такое расстояние будет между мальчиками до встречи, а другой раз — после встречи.

Данная задача решается в несколько действий и имеет два возможных варианта ответа, как указано в подсказке.

Для начала найдем общую скорость, с которой мальчики сближаются (или удаляются друг от друга). Поскольку они бегут навстречу, их скорости складываются. Эта скорость называется скоростью сближения.

1. Скорость сближения (и последующего удаления) Сергея и Глеба:
$v_{сбл} = v_{Сергея} + v_{Глеба} = 200 \text{ м/мин} + 160 \text{ м/мин} = 360 \text{ м/мин}$

Теперь рассмотрим два возможных случая.

1. Расстояние 540 м будет между мальчиками до их встречи

Изначально расстояние между ними было 900 м. Чтобы расстояние сократилось до 540 м, им вместе нужно пробежать разницу между этими расстояниями.

2. Найдем расстояние, которое они должны пробежать вместе:
$\Delta S_1 = S_{начальное} - S_{конечное} = 900 \text{ м} - 540 \text{ м} = 360 \text{ м}$

3. Найдем время, за которое они преодолеют это расстояние со своей скоростью сближения:
$t_1 = \frac{\Delta S_1}{v_{сбл}} = \frac{360 \text{ м}}{360 \text{ м/мин}} = 1 \text{ мин}$

Ответ: 1 минута.

2. Расстояние 540 м будет между мальчиками после их встречи

В этом случае мальчикам нужно сначала полностью сократить первоначальное расстояние (900 м), чтобы встретиться, а затем, продолжая движение, удалиться друг от друга на 540 м.

4. Найдем общее расстояние, которое они должны пробежать вместе с начального момента:
$\Delta S_2 = S_{начальное} + S_{конечное} = 900 \text{ м} + 540 \text{ м} = 1440 \text{ м}$

5. Найдем время, за которое они преодолеют это общее расстояние со скоростью сближения/удаления:
$t_2 = \frac{\Delta S_2}{v_{сбл}} = \frac{1440 \text{ м}}{360 \text{ м/мин}} = 4 \text{ мин}$

Ответ: 4 минуты.