Страница 69 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

НАХОДИМ ИНФОРМАЦИЮ (266–268) Воспользуйтесь результатами таблиц из упражнений 259 и 260 для нахождения значений выражений:

266 а) $6 \cdot 15^2$;

б) $5 \cdot 13^2$;

в) $25 \cdot 8^3$;

г) $14 \cdot 9^3$;

д) $(2 \cdot 8)^2$;

е) $(3 \cdot 3)^3$;

ж) $12^2 \cdot 100$;

з) $7^3 \cdot 20$.

а) Для нахождения значения выражения $6 \cdot 15^2$ сначала необходимо вычислить $15^2$. Согласно таблице квадратов (из упражнения 259) или прямому вычислению, $15^2 = 15 \cdot 15 = 225$. Далее умножаем полученное значение на 6: $6 \cdot 225 = 1350$.
Ответ: 1350

б) Для нахождения значения выражения $5 \cdot 13^2$ сначала вычислим $13^2$. Из таблицы квадратов (из упражнения 259) или путем вычисления получаем: $13^2 = 13 \cdot 13 = 169$. Теперь умножим результат на 5: $5 \cdot 169 = 845$.
Ответ: 845

в) Чтобы найти значение выражения $25 \cdot 8^3$, сначала вычислим куб числа 8. Из таблицы кубов (из упражнения 260) или путем вычисления находим, что $8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$. Затем умножим полученный результат на 25: $25 \cdot 512 = 12800$.
Ответ: 12800

г) Чтобы найти значение выражения $14 \cdot 9^3$, сначала вычислим $9^3$. Согласно таблице кубов (из упражнения 260) или прямому вычислению, $9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$. Далее умножаем результат на 14: $14 \cdot 729 = 10206$.
Ответ: 10206

д) В выражении $(2 \cdot 8)^2$ сначала выполним действие в скобках: $2 \cdot 8 = 16$. Затем возведем результат в квадрат: $16^2 = 16 \cdot 16 = 256$. Значение $16^2$ можно также найти в таблице квадратов (из упражнения 259).
Ответ: 256

е) В выражении $(3 \cdot 3)^3$ сначала выполним умножение в скобках: $3 \cdot 3 = 9$. Затем возведем результат в куб: $9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$. Значение $9^3$ можно также найти в таблице кубов (из упражнения 260).
Ответ: 729

ж) Для нахождения значения выражения $12^2 \cdot 100$ сначала вычислим $12^2$. Из таблицы квадратов (из упражнения 259) или путем вычисления получаем: $12^2 = 12 \cdot 12 = 144$. Теперь умножим результат на 100: $144 \cdot 100 = 14400$.
Ответ: 14400

з) Чтобы найти значение выражения $7^3 \cdot 20$, сначала вычислим $7^3$. Согласно таблице кубов (из упражнения 260) или прямому вычислению, $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$. Далее умножаем полученное значение на 20: $343 \cdot 20 = 6860$.
Ответ: 6860

267 a) $231 + 12^2;$

б) $(4 + 15)^2;$

в) $312 - 17^2;$

г) $(914 - 896)^2;$

д) $14^2 + 11^2;$

е) $10^3 + 10^2.$

а) $231 + 12^2$

Для решения этого примера сначала необходимо выполнить возведение в степень, а затем сложение.

1. Возводим 12 в квадрат: $12^2 = 12 \cdot 12 = 144$.

2. Выполняем сложение: $231 + 144 = 375$.

$231 + 12^2 = 231 + 144 = 375$.

Ответ: 375

б) $(4 + 15)^2$

В этом примере сначала выполняется действие в скобках, а затем возведение в степень.

1. Выполняем сложение в скобках: $4 + 15 = 19$.

2. Возводим полученный результат в квадрат: $19^2 = 19 \cdot 19 = 361$.

$(4 + 15)^2 = 19^2 = 361$.

Ответ: 361

в) $312 - 17^2$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем вычитание.

1. Возводим 17 в квадрат: $17^2 = 17 \cdot 17 = 289$.

2. Выполняем вычитание: $312 - 289 = 23$.

$312 - 17^2 = 312 - 289 = 23$.

Ответ: 23

г) $(914 - 896)^2$

Сначала выполняем действие в скобках, затем возводим результат в степень.

1. Выполняем вычитание в скобках: $914 - 896 = 18$.

2. Возводим полученный результат в квадрат: $18^2 = 18 \cdot 18 = 324$.

$(914 - 896)^2 = 18^2 = 324$.

Ответ: 324

д) $14^2 + 11^2$

Сначала выполняем возведение в степень для каждого числа, а затем сложение.

1. Возводим 14 в квадрат: $14^2 = 14 \cdot 14 = 196$.

2. Возводим 11 в квадрат: $11^2 = 11 \cdot 11 = 121$.

3. Складываем результаты: $196 + 121 = 317$.

$14^2 + 11^2 = 196 + 121 = 317$.

Ответ: 317

е) $10^3 + 10^2$

Сначала выполняем возведение в степень, затем сложение.

1. Возводим 10 в куб: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

2. Возводим 10 в квадрат: $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$.

3. Складываем результаты: $1000 + 100 = 1100$.

$10^3 + 10^2 = 1000 + 100 = 1100$.

Ответ: 1100

268 a) $100 - 12^2 : 3$;

б) $5 \cdot 4^3 - 319$;

в) $(14 + 36) \cdot 11^2$;

г) $25 \cdot 11 - 16^2$;

д) $600 - 750 : 5^3$;

е) $904 + (12 \cdot 3)^2$.

а)

Решим пример $100 - 12^2 : 3$ по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполняется возведение в степень, затем деление, и в последнюю очередь вычитание.

1. Возведение в степень:
$12^2 = 12 \cdot 12 = 144$.

2. Деление:
$144 : 3 = 48$.

3. Вычитание:
$100 - 48 = 52$.

Ответ: 52

б)

Решим пример $5 \cdot 4^3 - 319$ по действиям. Сначала возведение в степень, затем умножение, и в конце вычитание.

1. Возведение в степень:
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.

2. Умножение:
$5 \cdot 64 = 320$.

3. Вычитание:
$320 - 319 = 1$.

Ответ: 1

в)

Решим пример $(14 + 36) \cdot 11^2$ по действиям. Первым действием выполняется операция в скобках, затем возведение в степень, и в конце умножение.

1. Сложение в скобках:
$14 + 36 = 50$.

2. Возведение в степень:
$11^2 = 11 \cdot 11 = 121$.

3. Умножение:
$50 \cdot 121 = 6050$.

Ответ: 6050

г)

Решим пример $25 \cdot 11 - 16^2$ по действиям. Сначала возведение в степень, затем умножение, и в конце вычитание.

1. Возведение в степень:
$16^2 = 16 \cdot 16 = 256$.

2. Умножение:
$25 \cdot 11 = 275$.

3. Вычитание:
$275 - 256 = 19$.

Ответ: 19

д)

Решим пример $600 - 750 : 5^3$ по действиям. Сначала возведение в степень, затем деление, и в конце вычитание.

1. Возведение в степень:
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

2. Деление:
$750 : 125 = 6$.

3. Вычитание:
$600 - 6 = 594$.

Ответ: 594

е)

Решим пример $904 + (12 \cdot 3)^2$ по действиям. Сначала выполняется действие в скобках, затем возведение в степень, и в конце сложение.

1. Умножение в скобках:
$12 \cdot 3 = 36$.

2. Возведение в степень:
$36^2 = 36 \cdot 36 = 1296$.

3. Сложение:
$904 + 1296 = 2200$.

Ответ: 2200

РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ (269–270)

269 Вы знаете, что число 3267 можно представить в виде суммы разрядных слагаемых следующим образом: $3267 = 3 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 7$. Это представление принято записывать по-другому, используя степени числа 10: $326 = 3 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 6 \cdot 10 + 7$. Представьте таким же способом в виде суммы разрядных слагаемых число:

а) 531;

б) 4267;

в) 608;

г) 4051.

а) 531;
Число 531 состоит из 5 сотен, 3 десятков и 1 единицы. Чтобы представить его в виде суммы разрядных слагаемых, запишем: $531 = 500 + 30 + 1$. Теперь представим каждое слагаемое в виде произведения цифры на степень числа 10: $531 = 5 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 1$. Поскольку $100 = 10^2$ и $10 = 10^1$, окончательная запись будет выглядеть так: $531 = 5 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 1$.
Ответ: $531 = 5 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 1$.

б) 4267;
Число 4267 состоит из 4 тысяч, 2 сотен, 6 десятков и 7 единиц. Запишем это в виде суммы разрядных слагаемых: $4267 = 4000 + 200 + 60 + 7$. Далее представим каждое слагаемое как произведение цифры на степень числа 10: $4267 = 4 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 7$. Учитывая, что $1000 = 10^3$ и $100 = 10^2$, получаем: $4267 = 4 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 6 \cdot 10 + 7$.
Ответ: $4267 = 4 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 6 \cdot 10 + 7$.

в) 608;
Число 608 состоит из 6 сотен, 0 десятков и 8 единиц. Сумма разрядных слагаемых: $608 = 600 + 0 + 8$. Слагаемое, соответствующее разряду десятков, равно нулю, поэтому его можно опустить. Представим оставшиеся слагаемые через степени числа 10: $608 = 6 \cdot 100 + 8$. Так как $100 = 10^2$, итоговая запись: $608 = 6 \cdot 10^2 + 8$.
Ответ: $608 = 6 \cdot 10^2 + 8$.

г) 4051.
Число 4051 состоит из 4 тысяч, 0 сотен, 5 десятков и 1 единицы. Запишем сумму разрядных слагаемых: $4051 = 4000 + 0 + 50 + 1$. Слагаемое, соответствующее разряду сотен, равно нулю, поэтому его опускаем. Представим остальные слагаемые через степени числа 10: $4051 = 4 \cdot 1000 + 5 \cdot 10 + 1$. Так как $1000 = 10^3$, итоговая запись будет следующей: $4051 = 4 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10 + 1$.
Ответ: $4051 = 4 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10 + 1$.

270 Запишите число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых:

а) $2 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10 + 8;$

б) $7 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10 + 1;$

в) $9 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 3;$

г) $4 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 4.$

а) Данное выражение $2 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10 + 8$ представляет собой разложение числа по разрядам. Чтобы найти само число, нужно вычислить каждое слагаемое и сложить результаты. Коэффициенты при степенях десяти соответствуют цифрам в разрядах числа:
Цифра в разряде тысяч: 2 (так как $2 \cdot 10^3 = 2 \cdot 1000 = 2000$).
Цифра в разряде сотен: 4 (так как $4 \cdot 10^2 = 4 \cdot 100 = 400$).
Цифра в разряде десятков: 5 (так как $5 \cdot 10 = 50$).
Цифра в разряде единиц: 8.
Сложив значения, получаем: $2000 + 400 + 50 + 8 = 2458$. Таким образом, искомое число состоит из цифр 2, 4, 5, 8.
Ответ: 2458

б) Для выражения $7 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10 + 1$ проделаем аналогичные вычисления для каждого разрядного слагаемого:
Цифра в разряде тысяч: 7 ($7 \cdot 10^3 = 7000$).
Цифра в разряде сотен: 2 ($2 \cdot 10^2 = 200$).
Цифра в разряде десятков: 0 ($0 \cdot 10 = 0$).
Цифра в разряде единиц: 1.
Сумма слагаемых равна: $7000 + 200 + 0 + 1 = 7201$. Искомое число состоит из цифр 7, 2, 0, 1.
Ответ: 7201

в) Рассмотрим сумму разрядных слагаемых $9 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 3$. В данном случае старший разряд — сотни.
Цифра в разряде сотен: 9 ($9 \cdot 10^2 = 900$).
Цифра в разряде десятков: 3 ($3 \cdot 10 = 30$).
Цифра в разряде единиц: 3.
Складываем значения: $900 + 30 + 3 = 933$. Число состоит из цифр 9, 3, 3.
Ответ: 933

г) Для выражения $4 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 4$ определим цифры в каждом разряде:
Цифра в разряде тысяч: 4 ($4 \cdot 10^3 = 4000$).
Цифра в разряде сотен: 1 ($1 \cdot 10^2 = 100$).
Цифра в разряде десятков: 1 ($1 \cdot 10 = 10$).
Цифра в разряде единиц: 4.
Сумма слагаемых равна: $4000 + 100 + 10 + 4 = 4114$. Число состоит из цифр 4, 1, 1, 4.
Ответ: 4114

271 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ Определите, по какому правилу составлена последовательность чисел, и запишите следующие три числа:

a) 1, 4, 9, 16, ...;

б) 1, 8, 27, ...

Найдите сотое число в каждой последовательности.

а)

Проанализируем последовательность чисел: 1, 4, 9, 16, ...
Можно заметить, что каждый член последовательности является квадратом своего порядкового номера:
Первый член: $1 = 1^2$
Второй член: $4 = 2^2$
Третий член: $9 = 3^2$
Четвертый член: $16 = 4^2$
Следовательно, правило, по которому составлена данная последовательность, можно описать формулой $a_n = n^2$, где $n$ — это порядковый номер члена последовательности.

Чтобы найти следующие три числа, нужно вычислить пятый, шестой и седьмой члены последовательности:
Пятый член: $a_5 = 5^2 = 25$
Шестой член: $a_6 = 6^2 = 36$
Седьмой член: $a_7 = 7^2 = 49$

Чтобы найти сотое число в последовательности, подставим $n = 100$ в формулу:
$a_{100} = 100^2 = 10000$

Ответ: следующие три числа — 25, 36, 49; сотое число — 10000.

б)

Проанализируем последовательность чисел: 1, 8, 27, ...
Можно заметить, что каждый член последовательности является кубом своего порядкового номера:
Первый член: $1 = 1^3$
Второй член: $8 = 2^3$
Третий член: $27 = 3^3$
Следовательно, правило, по которому составлена данная последовательность, можно описать формулой $b_n = n^3$, где $n$ — это порядковый номер члена последовательности.

Чтобы найти следующие три числа, нужно вычислить четвертый, пятый и шестой члены последовательности:
Четвертый член: $b_4 = 4^3 = 64$
Пятый член: $b_5 = 5^3 = 125$
Шестой член: $b_6 = 6^3 = 216$

Чтобы найти сотое число в последовательности, подставим $n = 100$ в формулу:
$b_{100} = 100^3 = 1000000$

Ответ: следующие три числа — 64, 125, 216; сотое число — 1000000.

272 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Упростите выражение, используя степени:

а) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$;

б) $13 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6$;

в) $(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)$;

г) $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$;

а)

В данном выражении $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ множитель 2 повторяется 3 раза. Произведение одинаковых множителей можно записать в виде степени. Основанием степени является повторяющийся множитель, а показателем степени — количество повторений. Таким образом, произведение $2 \cdot 2 \cdot 2$ можно записать как $2^3$. Множитель 5 встречается один раз.

Следовательно, выражение можно упростить так:

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$

Ответ: $2^3 \cdot 5$

б)

В выражении $13 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6$ множитель 6 повторяется 4 раза. Это произведение можно записать как степень $6^4$. Множитель 13 встречается один раз.

Упрощенное выражение будет иметь вид:

$13 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 13 \cdot 6^4$

Ответ: $13 \cdot 6^4$

в)

В выражении $(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)$ множитель в скобках $(2 \cdot 5)$ повторяется 3 раза. Значит, все выражение можно записать как третью степень этого множителя.

$(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = (2 \cdot 5)^3$

Также, используя свойство степени произведения, можно записать это выражение по-другому, раскрыв скобки и сгруппировав одинаковые множители:

$(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 2^3 \cdot 5^3$

Можно также сначала выполнить умножение в скобках: $2 \cdot 5 = 10$. Тогда выражение примет вид $10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$.

Ответ: $(2 \cdot 5)^3$ (или $2^3 \cdot 5^3$, или $10^3$)

г)

В выражении $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ сгруппируем одинаковые множители. Множитель 7 повторяется 3 раза, что можно записать как степень $7^3$. Множитель 2 повторяется 4 раза, что записывается как степень $2^4$.

Таким образом, исходное выражение можно упростить, перемножив эти степени:

$7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 7^3 \cdot 2^4$

Ответ: $7^3 \cdot 2^4$

273 Проверьте равенство:

а) $41^2 + 43^2 + 45^2 = 5555;$

б) $11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 8000;$

в) $2^3 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 = 1000.$

а)

Для проверки равенства $41^2 + 43^2 + 45^2 = 5555$ необходимо вычислить сумму квадратов в левой части выражения.

1. Вычислим квадрат каждого числа:
$41^2 = 41 \times 41 = 1681$
$43^2 = 43 \times 43 = 1849$
$45^2 = 45 \times 45 = 2025$

2. Сложим полученные значения:
$1681 + 1849 + 2025 = 3530 + 2025 = 5555$

3. Сравним результат с правой частью равенства:
$5555 = 5555$

Так как левая и правая части равны, равенство является верным.

Ответ: равенство $41^2 + 43^2 + 45^2 = 5555$ верно.

б)

Для проверки равенства $11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 8000$ необходимо вычислить сумму кубов в левой части выражения.

1. Вычислим куб каждого числа:
$11^3 = 11 \times 11 \times 11 = 1331$
$12^3 = 12 \times 12 \times 12 = 1728$
$13^3 = 13 \times 13 \times 13 = 2197$
$14^3 = 14 \times 14 \times 14 = 2744$

2. Сложим полученные значения:
$1331 + 1728 + 2197 + 2744 = 3059 + 4941 = 8000$

3. Сравним результат с правой частью равенства:
$8000 = 8000$

Так как левая и правая части равны, равенство является верным.

Ответ: равенство $11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 8000$ верно.

в)

Для проверки равенства $2^3 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 = 1000$ необходимо вычислить сумму степеней в левой части выражения.

1. Вычислим значение каждой степени:
$2^3 = 8$
$2^5 = 32$
$2^6 = 64$
$2^7 = 128$
$2^8 = 256$
$2^9 = 512$

2. Сложим полученные значения:
$8 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 40 + 64 + 128 + 256 + 512 = 104 + 128 + 256 + 512 = 232 + 256 + 512 = 488 + 512 = 1000$

3. Сравним результат с правой частью равенства:
$1000 = 1000$

Так как левая и правая части равны, равенство является верным.

Ответ: равенство $2^3 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 = 1000$ верно.

Ищем способ решения (274-275)

274 Представьте всеми возможными способами число $2^2 \cdot 3^2$ в виде произведения двух множителей, ни один из которых не равен единице.

Подсказка. Замените степени произведением: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$, а затем воспользуйтесь способом перебора для поиска всех делителей данного произведения.

Для того чтобы представить число $2^2 \cdot 3^2$ всеми возможными способами в виде произведения двух множителей, ни один из которых не равен единице, выполним следующие шаги:

1. Вычислим значение числа.

Сначала найдем значение выражения:

$2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

2. Найдем все делители полученного числа.

Задача сводится к поиску всех пар множителей числа 36. Для этого найдем все его делители. Делителями числа 36 являются числа, на которые 36 делится без остатка. Это: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

3. Составим пары множителей.

Теперь составим пары из этих делителей так, чтобы их произведение было равно 36. По условию, ни один из множителей не должен быть равен 1, поэтому пару $1 \cdot 36$ мы исключаем.

Остаются следующие пары:

• $2 \cdot 18 = 36$

• $3 \cdot 12 = 36$

• $4 \cdot 9 = 36$

• $6 \cdot 6 = 36$

Мы нашли все возможные способы. Если поменять множители местами (например, $18 \cdot 2$), произведение не изменится, поэтому такие пары не считаются новыми способами.

Ответ: $2 \cdot 18$; $3 \cdot 12$; $4 \cdot 9$; $6 \cdot 6$.

275 Впишите вместо звёздочек такие цифры, чтобы получилось верное равенство. Сколько решений имеет каждая задача? Расскажите, как вы рассуждали:

а) $(2*)^2 = **1$

б) $(3*)^2 = ***6$

в) $(7*)^2 = ***5$

г) $(2*)^2 = **9$

а) Равенство: $(2*)^2 = **1$.
Чтобы квадрат числа оканчивался на 1, само число должно оканчиваться на 1 или 9, так как только квадраты этих цифр дают 1 в разряде единиц ($1^2=1$, $9^2=81$). Следовательно, вместо звёздочки могут стоять цифры 1 или 9.
Проверим оба варианта:
1. Если подставить цифру 1, получим число 21. Возведём его в квадрат: $21^2 = 441$. Результат является трёхзначным числом и оканчивается на 1. Это решение подходит.
2. Если подставить цифру 9, получим число 29. Возведём его в квадрат: $29^2 = 841$. Результат также является трёхзначным числом и оканчивается на 1. Это решение тоже подходит.
Таким образом, эта задача имеет два решения.
Ответ: $21^2 = 441$ и $29^2 = 841$.

б) Равенство: $(3*)^2 = ***6$.
Чтобы квадрат числа оканчивался на 6, само число должно оканчиваться на 4 или 6, так как $4^2=16$ и $6^2=36$. Следовательно, вместо звёздочки могут стоять цифры 4 или 6.
Проверим оба варианта:
1. Если подставить цифру 4, получим число 34. Возведём его в квадрат: $34^2 = 1156$. Результат является четырёхзначным числом и оканчивается на 6. Это решение подходит.
2. Если подставить цифру 6, получим число 36. Возведём его в квадрат: $36^2 = 1296$. Результат также является четырёхзначным числом и оканчивается на 6. Это решение тоже подходит.
Эта задача имеет два решения.
Ответ: $34^2 = 1156$ и $36^2 = 1296$.

в) Равенство: $(7*)^2 = ***5$.
Чтобы квадрат числа оканчивался на 5, само число должно оканчиваться на 5, так как только $5^2=25$ даёт 5 в разряде единиц. Таким образом, существует только один возможный вариант для цифры вместо звёздочки — это 5.
Проверим этот вариант:
1. Подставляем цифру 5 и получаем число 75. Возводим его в квадрат: $75^2 = 5625$. Результат является четырёхзначным числом и оканчивается на 5. Это решение подходит.
Эта задача имеет одно решение.
Ответ: $75^2 = 5625$.

г) Равенство: $(2*)^2 = **9$.
Чтобы квадрат числа оканчивался на 9, само число должно оканчиваться на 3 или 7, так как $3^2=9$ и $7^2=49$. Следовательно, вместо звёздочки могут стоять цифры 3 или 7.
Проверим оба варианта:
1. Если подставить цифру 3, получим число 23. Возведём его в квадрат: $23^2 = 529$. Результат является трёхзначным числом и оканчивается на 9. Это решение подходит.
2. Если подставить цифру 7, получим число 27. Возведём его в квадрат: $27^2 = 729$. Результат также является трёхзначным числом и оканчивается на 9. Это решение тоже подходит.
Эта задача имеет два решения.
Ответ: $23^2 = 529$ и $27^2 = 729$.