Страница 77 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

305 Два друга-охотника вышли навстречу друг другу из леса с двух сторон поляны и оказались на расстоянии 450 м друг от друга. Один шёл со скоростью 70 м/мин, другой — со скоростью 80 м/мин. Собака одного из охотников побежала навстречу другому. Добежав до него, она вернулась к хозяину и, повернув, снова бросилась к его другу. Так она продолжала свой бег до встречи двух охотников. Определите, какое расстояние пробежала собака, если она бегала со скоростью 12 км/ч.

Подсказка. Определите сначала, сколько времени бегала собака между двумя охотниками.

Для решения этой задачи не нужно вычислять расстояние, которое собака пробегала в каждом отдельном отрезке своего пути. Достаточно определить общее время, в течение которого она бегала. Собака бегала от одного охотника к другому до тех пор, пока они не встретились. Следовательно, время бега собаки равно времени, которое потребовалось охотникам для встречи.

1. Найдем время до встречи охотников.

Охотники движутся навстречу друг другу. Их скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 70 \text{ м/мин} + 80 \text{ м/мин} = 150 \text{ м/мин}$

Начальное расстояние между ними было $S = 450$ м. Время до встречи $t$ можно найти, разделив расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{450 \text{ м}}{150 \text{ м/мин}} = 3$ минуты

Таким образом, охотники встретились через 3 минуты, и всё это время собака находилась в движении.

2. Найдем расстояние, которое пробежала собака.

Теперь, зная время движения собаки, мы можем вычислить пройденное ею расстояние. Сначала необходимо привести скорость собаки к тем же единицам измерения (метры в минуту).

Скорость собаки $v_{собаки} = 12$ км/ч.

Переведем км/ч в м/мин, зная, что 1 км = 1000 м и 1 час = 60 мин:

$v_{собаки} = 12 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{12 \times 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{12000}{60} \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 200 \text{ м/мин}$

Теперь найдем расстояние $S_{собаки}$, которое пробежала собака, умножив ее скорость на время движения:

$S_{собаки} = v_{собаки} \times t = 200 \text{ м/мин} \times 3 \text{ мин} = 600 \text{ м}$

Ответ: собака пробежала 600 метров.

306 Скорость катера по течению реки $22 \text{ км/ч}$, а против течения $18 \text{ км/ч}$. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера.

Пусть $v_{к}$ – собственная скорость катера, а $v_{т}$ – скорость течения реки.

Когда катер движется по течению, его скорость равна сумме его собственной скорости и скорости течения. Когда он движется против течения, его скорость равна разности его собственной скорости и скорости течения.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Скорость по течению: $v_{к} + v_{т} = 22$ км/ч

2. Скорость против течения: $v_{к} - v_{т} = 18$ км/ч

$ \begin{cases} v_{к} + v_{т} = 22 \\ v_{к} - v_{т} = 18 \end{cases} $

Для решения этой системы можно использовать метод сложения и вычитания уравнений.

Собственную скорость катера

Чтобы найти собственную скорость катера ($v_{к}$), сложим первое и второе уравнения:

$(v_{к} + v_{т}) + (v_{к} - v_{т}) = 22 + 18$

Раскрыв скобки, получим:

$v_{к} + v_{т} + v_{к} - v_{т} = 40$

$2 \cdot v_{к} = 40$

$v_{к} = \frac{40}{2}$

$v_{к} = 20$ (км/ч)

Собственная скорость катера равна 20 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера 20 км/ч.

Скорость течения реки

Чтобы найти скорость течения реки ($v_{т}$), вычтем второе уравнение из первого:

$(v_{к} + v_{т}) - (v_{к} - v_{т}) = 22 - 18$

Раскрыв скобки, получим:

$v_{к} + v_{т} - v_{к} + v_{т} = 4$

$2 \cdot v_{т} = 4$

$v_{т} = \frac{4}{2}$

$v_{т} = 2$ (км/ч)

Скорость течения реки равна 2 км/ч. Также можно было подставить найденную скорость катера (20 км/ч) в любое из исходных уравнений: $20 + v_{т} = 22$, откуда $v_{т} = 2$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки 2 км/ч.

307 а) По течению реки моторная лодка проплыла 48 км за 3 ч, а против течения – за 4 ч. Найдите скорость течения реки.

б) Катер проплыл 72 км между пристанями по течению реки за 2 ч, а против течения за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывут плоты?

а)

1. Найдем скорость моторной лодки по течению реки. Для этого разделим расстояние на время, затраченное на путь по течению:

$V_{по\;течению} = S / t_1 = 48 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 16 \text{ км/ч}$.

2. Теперь найдем скорость моторной лодки против течения реки, разделив то же расстояние на время, затраченное на путь против течения:

$V_{против\;течения} = S / t_2 = 48 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 12 \text{ км/ч}$.

3. Скорость течения реки равна половине разности скорости по течению и скорости против течения. Вычислим ее по формуле:

$V_{течения} = (V_{по\;течению} - V_{против\;течения}) / 2$

$V_{течения} = (16 \text{ км/ч} - 12 \text{ км/ч}) / 2 = 4 \text{ км/ч} / 2 = 2 \text{ км/ч}$.

Ответ: 2 км/ч.

б)

1. Сначала найдем скорость катера по течению реки:

$V_{по\;течению} = S / t_1 = 72 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 36 \text{ км/ч}$.

2. Затем найдем скорость катера против течения реки:

$V_{против\;течения} = S / t_2 = 72 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 24 \text{ км/ч}$.

3. Плоты не имеют собственной скорости, они движутся со скоростью течения реки. Найдем скорость течения реки так же, как в предыдущей задаче:

$V_{течения} = (V_{по\;течению} - V_{против\;течения}) / 2$

Скорость плотов $V_{плотов} = (36 \text{ км/ч} - 24 \text{ км/ч}) / 2 = 12 \text{ км/ч} / 2 = 6 \text{ км/ч}$.

4. Теперь найдем время, за которое плоты проплывут расстояние 72 км. Для этого разделим расстояние на скорость плотов:

$t = S / V_{плотов} = 72 \text{ км} / 6 \text{ км/ч} = 12 \text{ часов}$.

Ответ: 12 часов.

308 Найдите значение выражения:

$3195 \div 15 \cdot 24 - (16 \cdot 375 - (175 - 157) \cdot 106)$

Для решения данного выражения необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий: сначала выполняются действия в скобках (начиная с самых внутренних), затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание (слева направо).

Выражение: $3195 : 15 \cdot 24 - (16 \cdot 375 - (175 - 157) \cdot 106)$.

Решим по действиям:

1. Выполним действие в самых внутренних скобках:

$175 - 157 = 18$

2. Далее выполним умножение внутри больших скобок:

$16 \cdot 375 = 6000$

3. Теперь выполним второе умножение внутри больших скобок, подставив результат первого действия:

$18 \cdot 106 = 1908$

4. Найдем значение выражения в больших скобках, выполнив вычитание:

$6000 - 1908 = 4092$

5. Теперь вернемся к началу примера и выполним деление:

$3195 : 15 = 213$

6. Выполним умножение, используя результат предыдущего действия:

$213 \cdot 24 = 5112$

7. Выполним последнее действие — вычитание, используя результаты 6-го и 4-го действий:

$5112 - 4092 = 1020$

Ответ: $1020$.

309 Найдите квадрат числа 82. Используя полученный результат, вычислите: $820^2$, $8200^2$.

Для начала найдем квадрат числа 82, как указано в условии. Это можно сделать, умножив число на само себя:
$82^2 = 82 \cdot 82 = 6724$

Теперь, используя полученный результат, вычислим квадраты чисел 820 и 8200.

820²
Представим число 820 в виде произведения $82 \cdot 10$. Тогда, используя свойство степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получим:
$820^2 = (82 \cdot 10)^2 = 82^2 \cdot 10^2$
Подставим известные нам значения $82^2 = 6724$ и $10^2 = 100$:
$6724 \cdot 100 = 672400$
Ответ: 672400.

8200²
Аналогично представим число 8200 в виде произведения $82 \cdot 100$. Тогда его квадрат равен:
$8200^2 = (82 \cdot 100)^2 = 82^2 \cdot 100^2$
Подставим известные значения $82^2 = 6724$ и $100^2 = 10000$:
$6724 \cdot 10000 = 67240000$
Ответ: 67240000.

310 Значение какого из выражений больше и на сколько:

а) $3 \cdot 6^2$ или $(3 \cdot 6)^2$;

б) $(7 + 12)^2$ или $7^2 + 12^2$?

а) Сравним значения выражений $3 \cdot 6^2$ и $(3 \cdot 6)^2$.

1. Вычислим значение первого выражения, соблюдая порядок действий (сначала возведение в степень, потом умножение):
$3 \cdot 6^2 = 3 \cdot 36 = 108$.

2. Вычислим значение второго выражения (сначала действие в скобках, потом возведение в степень):
$(3 \cdot 6)^2 = 18^2 = 324$.

3. Сравним полученные результаты и найдем разницу:
Поскольку $324 > 108$, значение второго выражения больше.
Разница составляет: $324 - 108 = 216$.

Ответ: значение выражения $(3 \cdot 6)^2$ больше значения выражения $3 \cdot 6^2$ на 216.

б) Сравним значения выражений $(7 + 12)^2$ и $7^2 + 12^2$.

1. Вычислим значение первого выражения (сначала действие в скобках):
$(7 + 12)^2 = 19^2 = 361$.

2. Вычислим значение второго выражения (сначала возведение в степень, потом сложение):
$7^2 + 12^2 = 49 + 144 = 193$.

3. Сравним полученные результаты и найдем разницу:
Поскольку $361 > 193$, значение первого выражения больше.
Разница составляет: $361 - 193 = 168$.

Ответ: значение выражения $(7 + 12)^2$ больше значения выражения $7^2 + 12^2$ на 168.

311 Начертите отрезок $AB$. Отметьте точку $K$, не принадлежащую прямой $AB$. Проведите через точку $K$ прямую $b$, пересекающую отрезок $AB$, и прямую $d$, не пересекающую отрезок $AB$. Пересечёт ли прямая $d$, которую вы построили, прямую $AB$?

Для решения этой задачи необходимо выполнить построения и проанализировать возможные варианты, основываясь на определениях геометрических фигур.

Сначала выполним шаги, описанные в условии:

1. Начертим отрезок $AB$.

2. Отметим точку $K$, не принадлежащую прямой, на которой лежит отрезок $AB$.

3. Проведем через точку $K$ прямую $b$, которая пересекает именно отрезок $AB$. Это значит, что точка пересечения прямой $b$ и прямой $AB$ лежит между точками $A$ и $B$.

4. Проведем через точку $K$ прямую $d$, которая не пересекает отрезок $AB$.

Теперь ответим на главный вопрос: Пересечёт ли прямая $d$, которую вы построили, прямую $AB$?

Для ответа на этот вопрос ключевым является различие между понятиями отрезок $AB$ и прямая $AB$.

• Отрезок $AB$ — это часть прямой, которая включает точки $A$, $B$ и все точки, лежащие между ними.
• Прямая $AB$ — это бесконечная линия, проходящая через точки $A$ и $B$. Отрезок $AB$ является лишь частью прямой $AB$.

Условие, что прямая $d$ не пересекает отрезок $AB$, можно выполнить двумя способами, которые приводят к разным ответам на вопрос.

Случай 1: Прямая $d$ параллельна прямой $AB$

Мы можем провести через точку $K$ прямую $d$ так, чтобы она была параллельна прямой $AB$ (пишется $d \parallel AB$). Согласно определению, параллельные прямые на плоскости никогда не пересекаются. В этом случае прямая $d$ не пересечет прямую $AB$. Такое построение полностью удовлетворяет условию, ведь если прямая $d$ не пересекает всю бесконечную прямую $AB$, она тем более не пересечет и её конечную часть — отрезок $AB$.

Случай 2: Прямая $d$ не параллельна прямой $AB$

Если две прямые на плоскости не параллельны, они обязательно пересекаются в одной точке. Мы можем провести прямую $d$ через точку $K$ так, чтобы она не была параллельна прямой $AB$. По условию задачи, эта прямая не должна пересекать отрезок $AB$. Это означает, что точка пересечения прямых $d$ и $AB$ должна существовать, но лежать за пределами отрезка $AB$. То есть, на продолжении отрезка либо за точку $A$, либо за точку $B$. Такое построение тоже возможно. В этом случае прямая $d$ пересечет прямую $AB$.

Вывод

Таким образом, на вопрос нельзя дать однозначный ответ "да" или "нет", потому что он зависит от того, как именно была построена прямая $d$. Оба описанных выше способа построения соответствуют условию задачи.

Ответ: Прямая $d$ может как пересекать прямую $AB$, так и не пересекать ее. Если прямая $d$ построена параллельно прямой $AB$, то она не пересечёт прямую $AB$. Если прямая $d$ построена не параллельно прямой $AB$, то она обязательно пересечёт прямую $AB$ в точке, не принадлежащей отрезку $AB$.