Страница 83 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

312 Преобразуйте сумму так, чтобы удобно было складывать числа, и вычислите результат:

а) $23 + 11 + 47 + 29;$

б) $18 + 15 + 32 + 45;$

в) $27 + 36 + 28 + 23 + 14;$

г) $276 + 118 + 324;$

д) $127 + 32 + 93 + 308;$

е) $15 + 45 + 65 + 35 + 40.$

а) Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают круглое число. В данном случае это пары 23 и 47 (потому что $3+7=10$) и 11 и 29 (потому что $1+9=10$).
$23 + 11 + 47 + 29 = (23 + 47) + (11 + 29) = 70 + 40 = 110$.
Ответ: 110.

б) Сгруппируем слагаемые так, чтобы их последние цифры в сумме давали 10. Сгруппируем 18 и 32 ($8+2=10$), а также 15 и 45 ($5+5=10$).
$18 + 15 + 32 + 45 = (18 + 32) + (15 + 45) = 50 + 60 = 110$.
Ответ: 110.

в) Найдем пары чисел, которые удобно складывать. Сгруппируем 27 и 23 ($7+3=10$), а также 36 и 14 ($6+4=10$). Число 28 остается без пары.
$27 + 36 + 28 + 23 + 14 = (27 + 23) + (36 + 14) + 28 = 50 + 50 + 28 = 100 + 28 = 128$.
Ответ: 128.

г) Сгруппируем слагаемые 276 и 324, так как их последние цифры в сумме дают 10 ($6+4=10$), что упрощает сложение.
$276 + 118 + 324 = (276 + 324) + 118 = 600 + 118 = 718$.
Ответ: 718.

д) Сгруппируем слагаемые попарно для удобства сложения: 127 и 93 ($7+3=10$), а также 32 и 308 ($2+8=10$).
$127 + 32 + 93 + 308 = (127 + 93) + (32 + 308) = 220 + 340 = 560$.
Ответ: 560.

е) Здесь удобно сгруппировать несколько пар чисел. Например, 15 и 45, а также 65 и 35. Затем к результату удобно прибавить 40.
$15 + 45 + 65 + 35 + 40 = (15 + 45) + (65 + 35) + 40 = 60 + 100 + 40$.
Теперь сгруппируем 60 и 40: $(60 + 40) + 100 = 100 + 100 = 200$.
Ответ: 200.

313 Вычислите устно произведение и запишите, как вы рассуждали:

a) $13 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7;$

б) $5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 4;$

в) $7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5;$

г) $2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4;$

д) $8 \cdot 4 \cdot 125 \cdot 25;$

е) $5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 6.$

а) Для удобства устных вычислений сгруппируем множители так, чтобы получить круглое число. Умножим 5 на 2, что дает 10. Затем умножим 13 на 7 и полученный результат умножим на 10.
$13 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7 = 13 \cdot (5 \cdot 2) \cdot 7 = 13 \cdot 10 \cdot 7 = (13 \cdot 7) \cdot 10$
$13 \cdot 7 = 91$
$91 \cdot 10 = 910$
Ответ: 910

б) Сгруппируем множители для получения круглого числа. Произведение $5 \cdot 5$ равно 25, а $25 \cdot 4$ равно 100. Затем умножим 100 на оставшийся множитель 6.
$5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 4 = (5 \cdot 5 \cdot 4) \cdot 6 = (25 \cdot 4) \cdot 6 = 100 \cdot 6 = 600$
Ответ: 600

в) В этом произведении есть две пары множителей 2 и 5, каждая из которых в произведении дает 10. Сгруппируем их.
$7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = 7 \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 7 \cdot 10 \cdot 10 = 7 \cdot 100 = 700$
Ответ: 700

г) Сгруппируем множители $5, 5, 4$, чтобы получить 100 ($5 \cdot 5 \cdot 4 = 25 \cdot 4 = 100$). Затем умножим оставшиеся множители 2 и 9, и результат умножим на 100.
$2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 = (2 \cdot 9) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 4) = 18 \cdot (25 \cdot 4) = 18 \cdot 100 = 1800$
Ответ: 1800

д) Сгруппируем множители парами, которые дают круглые числа: 8 и 125, а также 4 и 25.
$8 \cdot 125 = 1000$
$4 \cdot 25 = 100$
$8 \cdot 4 \cdot 125 \cdot 25 = (8 \cdot 125) \cdot (4 \cdot 25) = 1000 \cdot 100 = 100000$
Ответ: 100000

е) В этом выражении четыре множителя 2 и четыре множителя 5. Каждая пара $2 \cdot 5$ дает 10. Таких пар четыре. Сгруппируем их и умножим на оставшийся множитель 6.
$5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 6 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot 6$
$= 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 6 = 10000 \cdot 6 = 60000$
Ответ: 60000

314 Вычислите каждую сумму, дополнив одно из слагаемых до круглого числа:

a) $96 + 47$, $75 + 98$, $88 + 95$;

б) $57 + 198$, $296 + 25$, $397 + 44$.

Образец. $199 + 63 = (199 + 1) + 62 = 200 + 62 = 262$.

а)

$96 + 47 = (96 + 4) + 43 = 100 + 43 = 143$
$75 + 98 = 73 + (98 + 2) = 73 + 100 = 173$
$88 + 95 = 83 + (95 + 5) = 83 + 100 = 183$
Ответ: 143; 173; 183.

б)

$57 + 198 = 55 + (198 + 2) = 55 + 200 = 255$
$296 + 25 = (296 + 4) + 21 = 300 + 21 = 321$
$397 + 44 = (397 + 3) + 41 = 400 + 41 = 441$
Ответ: 255; 321; 441.

315 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

Найдите разные способы вычисления произведения и запишите соответствующие цепочки равенств:

а) $36 \cdot 25$

б) $125 \cdot 12$

в) $24 \cdot 75$

г) $150 \cdot 42$

а) 36 · 25

Способ 1: Представим множитель 25 в виде дроби $100/4$. Это позволяет заменить умножение на 25 на умножение на 100 и деление на 4, что часто проще выполнить в уме.
$36 \cdot 25 = 36 \cdot \frac{100}{4} = \frac{36 \cdot 100}{4} = 9 \cdot 100 = 900$.

Способ 2: Разложим множитель 36 на $9 \cdot 4$ и воспользуемся сочетательным свойством умножения, чтобы сгруппировать множители 4 и 25, произведение которых равно 100.
$36 \cdot 25 = (9 \cdot 4) \cdot 25 = 9 \cdot (4 \cdot 25) = 9 \cdot 100 = 900$.

Ответ: 900.

б) 125 · 12

Способ 1: Воспользуемся распределительным свойством умножения, представив 12 как сумму $10 + 2$.
$125 \cdot 12 = 125 \cdot (10 + 2) = 125 \cdot 10 + 125 \cdot 2 = 1250 + 250 = 1500$.

Способ 2: Представим 125 как $1000/8$ и применим сочетательное свойство.
$125 \cdot 12 = \frac{1000}{8} \cdot 12 = 1000 \cdot \frac{12}{8} = 1000 \cdot \frac{3}{2} = 1000 \cdot 1.5 = 1500$.

Способ 3: Разложим 12 на множители $3 \cdot 4$. Это позволяет сгруппировать 125 и 4, произведение которых легко вычислить.
$125 \cdot 12 = 125 \cdot (3 \cdot 4) = (125 \cdot 4) \cdot 3 = 500 \cdot 3 = 1500$.

Ответ: 1500.

в) 24 · 75

Способ 1: Разложим множитель 24 как $6 \cdot 4$ и сгруппируем 4 с 75. Произведение $4 \cdot 75$ равно 300, что упрощает дальнейшие вычисления.
$24 \cdot 75 = (6 \cdot 4) \cdot 75 = 6 \cdot (4 \cdot 75) = 6 \cdot 300 = 1800$.

Способ 2: Представим множитель 75 как $3 \cdot 25$. Затем последовательно умножим 24 на 3, а результат — на 25.
$24 \cdot 75 = 24 \cdot (3 \cdot 25) = (24 \cdot 3) \cdot 25 = 72 \cdot 25 = 72 \cdot \frac{100}{4} = 18 \cdot 100 = 1800$.

Ответ: 1800.

г) 150 · 42

Способ 1: Используем метод "удвоения и деления пополам". Умножим первый множитель на 2, а второй разделим на 2. Произведение при этом не изменится.
$150 \cdot 42 = (150 \cdot 2) \cdot (42 : 2) = 300 \cdot 21 = 6300$.

Способ 2: Применим распределительное свойство, представив 42 в виде суммы $40 + 2$.
$150 \cdot 42 = 150 \cdot (40 + 2) = 150 \cdot 40 + 150 \cdot 2 = 6000 + 300 = 6300$.

Ответ: 6300.

316 Составьте выражение по условию задачи и вычислите его значение:

а) Туристы прошли маршрут за 5 дней. В первый день они прошли 15 км, а в каждый следующий день проходили на 5 км больше, чем в предыдущий. Какова длина маршрута?

$15 + (15+5) + (15+2 \cdot 5) + (15+3 \cdot 5) + (15+4 \cdot 5) = 15 + 20 + 25 + 30 + 35 = 125$ км

б) Слесарь обработал 6 деталей. Первую деталь он обрабатывал 23 мин, а каждую следующую – на 2 мин быстрее, чем предыдущую. Сколько минут потребовалось для обработки всех деталей?

$23 + (23-2) + (23-2 \cdot 2) + (23-3 \cdot 2) + (23-4 \cdot 2) + (23-5 \cdot 2) = 23 + 21 + 19 + 17 + 15 + 13 = 108$ мин

а) Чтобы найти общую длину маршрута, нужно сложить расстояния, которые туристы проходили каждый из 5 дней. По условию, в первый день они прошли 15 км, а в каждый следующий — на 5 км больше.

Найдем расстояние для каждого дня:

• День 1: $15$ км
• День 2: $15 + 5 = 20$ км
• День 3: $20 + 5 = 25$ км
• День 4: $25 + 5 = 30$ км
• День 5: $30 + 5 = 35$ км

Выражение для вычисления общей длины маршрута — это сумма расстояний, пройденных за все дни:

$15 + 20 + 25 + 30 + 35$

Теперь вычислим значение этого выражения:

$15 + 20 + 25 + 30 + 35 = 125$ км.

Ответ: 125 км.

б) Чтобы найти общее время, потребовавшееся для обработки всех деталей, нужно сложить время обработки каждой из 6 деталей. По условию, на первую деталь ушло 23 минуты, а на каждую следующую — на 2 минуты меньше (быстрее).

Найдем время обработки для каждой детали:

• Деталь 1: $23$ мин
• Деталь 2: $23 - 2 = 21$ мин
• Деталь 3: $21 - 2 = 19$ мин
• Деталь 4: $19 - 2 = 17$ мин
• Деталь 5: $17 - 2 = 15$ мин
• Деталь 6: $15 - 2 = 13$ мин

Выражение для вычисления общего времени — это сумма времени, затраченного на каждую деталь:

$23 + 21 + 19 + 17 + 15 + 13$

Теперь вычислим его значение:

$23 + 21 + 19 + 17 + 15 + 13 = 108$ минут.

Ответ: 108 минут.