Вопросы, страница 82 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

4.1. Свойства сложения и умножения. Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях - страница 82.

Сформулируйте словами и запишите с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения. Проверьте себя по учебнику.

Объясните, как выполнено преобразование выражения:

а) $12 + (18 + 9) = (12 + 18) + 9;$

б) $16 + (57 + 4) = 16 + (4 + 57) = (16 + 4) + 57;$

в) $15 \cdot (7 \cdot 2) = 15 \cdot (2 \cdot 7) = (15 \cdot 2) \cdot 7;$

г) $(25 \cdot 9) \cdot 4 = (9 \cdot 25) \cdot 4 = 9 \cdot (25 \cdot 4).$

Вычислите сумму $(3 + 49) + (17 + 11)$, сгруппировав слагаемые иначе.

Измените группировку множителей в произведении $2 \cdot (9 \cdot 5) \cdot 3$ и вычислите результат.

Запишите подробно решение примера 3 с использованием скобок.

Какие свойства сложения были использованы при вычислении суммы в примере 4?

Вычислите сумму $5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15$, используя «приём Гаусса».

Сформулируйте словами и запишите с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения.

Переместительное свойство сложения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
В буквенном виде: $a + b = b + a$.

Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
В буквенном виде: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Переместительное свойство умножения: от перемены мест множителей произведение не меняется.
В буквенном виде: $a \cdot b = b \cdot a$.

Сочетательное свойство умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.
В буквенном виде: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

---

Объясните, как выполнено преобразование выражения:

а) $12 + (18 + 9) = (12 + 18) + 9$

В этом преобразовании было применено сочетательное свойство сложения. Порядок слагаемых остался прежним, но изменилась их группировка (порядок выполнения сложения), что не влияет на конечный результат.

Ответ: Использовано сочетательное свойство сложения.

б) $16 + (57 + 4) = 16 + (4 + 57) = (16 + 4) + 57$

Сначала внутри скобок было применено переместительное свойство сложения ($57 + 4 = 4 + 57$). Затем было применено сочетательное свойство сложения для изменения группировки слагаемых ($16 + (4 + 57) = (16 + 4) + 57$), что позволило упростить вычисления.

Ответ: Использованы переместительное и сочетательное свойства сложения.

в) $15 \cdot (7 \cdot 2) = 15 \cdot (2 \cdot 7) = (15 \cdot 2) \cdot 7$

На первом шаге было применено переместительное свойство умножения для множителей в скобках ($7 \cdot 2 = 2 \cdot 7$). На втором шаге было применено сочетательное свойство умножения, чтобы сгруппировать множители по-другому ($15 \cdot (2 \cdot 7) = (15 \cdot 2) \cdot 7$) для удобства счёта.

Ответ: Использованы переместительное и сочетательное свойства умножения.

г) $(25 \cdot 9) \cdot 4 = (9 \cdot 25) \cdot 4 = 9 \cdot (25 \cdot 4)$

Сначала было использовано переместительное свойство умножения в скобках ($25 \cdot 9 = 9 \cdot 25$). Затем было использовано сочетательное свойство умножения для изменения группировки множителей ($(9 \cdot 25) \cdot 4 = 9 \cdot (25 \cdot 4)$). Это позволяет легко умножить 25 на 4 и получить 100, что упрощает дальнейшие вычисления.

Ответ: Использованы переместительное и сочетательное свойства умножения.

---

Вычислите сумму $(3 + 49) + (17 + 11)$, сгруппировав слагаемые иначе.

Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые так, чтобы их суммы были круглыми числами. Для этого используем переместительное и сочетательное свойства сложения.

$(3 + 49) + (17 + 11) = 3 + 49 + 17 + 11 = (3 + 17) + (49 + 11) = 20 + 60 = 80$.

Ответ: 80.

---

Измените группировку множителей в произведении $2 \cdot (9 \cdot 5) \cdot 3$ и вычислите результат.

Чтобы упростить вычисление, изменим группировку множителей, используя сочетательное и переместительное свойства умножения. Сгруппируем 2 и 5, так как их произведение равно 10.

$2 \cdot (9 \cdot 5) \cdot 3 = 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 3 = (2 \cdot 5) \cdot (9 \cdot 3) = 10 \cdot 27 = 270$.

Ответ: 270.

---

Запишите подробно решение примера 3 с использованием скобок.

Пример 3: вычислить сумму $(3 + 49) + (17 + 11)$.

1. Исходное выражение: $(3 + 49) + (17 + 11)$.

2. Раскроем скобки: $3 + 49 + 17 + 11$.

3. Применим переместительное свойство сложения, чтобы поменять местами слагаемые 49 и 17: $3 + 17 + 49 + 11$.

4. Применим сочетательное свойство сложения, чтобы сгруппировать слагаемые для удобства вычислений: $(3 + 17) + (49 + 11)$.

5. Выполним сложение в каждой паре скобок: $20 + 60$.

6. Найдем окончательную сумму: $80$.

Ответ: 80.

---

Какие свойства сложения были использованы при вычислении суммы в примере 4?

Предположительно, в вопросе допущена опечатка, и он относится к примеру 3 (о вычислении суммы), а не к примеру 4 (о вычислении произведения), поскольку в вопросе говорится о свойствах сложения. При вычислении суммы в примере $(3 + 49) + (17 + 11)$ для перегруппировки слагаемых были использованы переместительное и сочетательное свойства сложения.

Ответ: Переместительное и сочетательное свойства сложения.

---

Вычислите сумму $5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15$, используя «приём Гаусса».

«Приём Гаусса» заключается в попарном сложении чисел с начала и с конца ряда. Сгруппируем слагаемые в пары:

Первое и последнее: $5 + 15 = 20$.

Второе и предпоследнее: $7 + 13 = 20$.

Третье и третье с конца: $9 + 11 = 20$.

Получилось 3 пары, сумма в каждой из которых равна 20. Теперь сложим эти суммы:

$20 + 20 + 20 = 3 \cdot 20 = 60$.

Таким образом, искомая сумма равна $ (5 + 15) + (7 + 13) + (9 + 11) = 60$.

Ответ: 60.