Страница 88 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

333 Вычислите:

а) $90 \cdot 25 + 10 \cdot 25;$

б) $123 \cdot 27 - 23 \cdot 27;$

в) $23 \cdot 16 + 16 \cdot 27;$

г) $40 \cdot 87 - 39 \cdot 87.$

а) $90 \cdot 25 + 10 \cdot 25$

Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения. Мы можем вынести общий множитель, в данном случае 25, за скобки:

$90 \cdot 25 + 10 \cdot 25 = (90 + 10) \cdot 25$

Сначала выполним действие в скобках:

$90 + 10 = 100$

Теперь умножим полученную сумму на 25:

$100 \cdot 25 = 2500$

Ответ: 2500

б) $123 \cdot 27 - 23 \cdot 27$

В этом примере также применим распределительное свойство умножения, но уже относительно вычитания. Вынесем общий множитель 27 за скобки:

$123 \cdot 27 - 23 \cdot 27 = (123 - 23) \cdot 27$

Выполним вычитание в скобках:

$123 - 23 = 100$

Теперь умножим полученную разность на 27:

$100 \cdot 27 = 2700$

Ответ: 2700

в) $23 \cdot 16 + 16 \cdot 27$

Здесь также можно применить распределительное свойство умножения. Общим множителем является число 16. Вынесем его за скобки:

$23 \cdot 16 + 16 \cdot 27 = (23 + 27) \cdot 16$

Выполним сложение в скобках:

$23 + 27 = 50$

Теперь умножим полученный результат на 16:

$50 \cdot 16 = 800$

Ответ: 800

г) $40 \cdot 87 - 39 \cdot 87$

Используем распределительное свойство умножения относительно вычитания. Общий множитель — 87. Выносим его за скобки:

$40 \cdot 87 - 39 \cdot 87 = (40 - 39) \cdot 87$

Выполним действие в скобках:

$40 - 39 = 1$

Теперь умножим результат на 87:

$1 \cdot 87 = 87$

Ответ: 87

334 РАССУЖДАЕМ Как вычислить значение выражения $29 \cdot 11 + 29^2$ с помощью распределительного свойства? Мы знаем, что степень можно записать в виде произведения, т. е. $29 \cdot 11 + 29^2 = 29 \cdot 11 + 29 \cdot 29 = \dots$.

Закончите вычисления.

Рассуждая так же, вычислите:

а) $37^2 + 37 \cdot 13;$

б) $25^2 - 25 \cdot 15.$

Сначала закончим вычисление из примера в условии, используя распределительное свойство умножения: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.

$29 \cdot 11 + 29^2 = 29 \cdot 11 + 29 \cdot 29 = 29 \cdot (11 + 29) = 29 \cdot 40 = 1160$.

Рассуждая так же, вычислим значения выражений:

а) Чтобы вычислить значение выражения $37^2 + 37 \cdot 13$, представим степень $37^2$ в виде произведения $37 \cdot 37$. Затем воспользуемся распределительным свойством, вынеся общий множитель 37 за скобки.
$37^2 + 37 \cdot 13 = 37 \cdot 37 + 37 \cdot 13 = 37 \cdot (37 + 13)$
Сначала выполняем действие в скобках:
$37 + 13 = 50$
Затем выполняем умножение:
$37 \cdot 50 = 1850$
Ответ: 1850

б) Чтобы вычислить значение выражения $25^2 - 25 \cdot 15$, представим степень $25^2$ в виде произведения $25 \cdot 25$. Затем воспользуемся распределительным свойством ($a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$), вынеся общий множитель 25 за скобки.
$25^2 - 25 \cdot 15 = 25 \cdot 25 - 25 \cdot 15 = 25 \cdot (25 - 15)$
Сначала выполняем действие в скобках:
$25 - 15 = 10$
Затем выполняем умножение:
$25 \cdot 10 = 250$
Ответ: 250

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ (335–336)

335 1) Разберите, как выполнено умножение на 15:

$24 \cdot 15 = 24 \cdot (10 + 5) =$

$= 24 \cdot 10 + 24 \cdot 5 = 240 + 120 = 360.$

Вы видите, что

$24 \cdot 15 = 240 + 120 = 360.$

Отсюда понятен приём умножения числа на 15: к числу надо приписать 0 и к результату прибавить его половину.

Например:

$36 \cdot 15 = 360 + 180 = 540.$

2) Пользуясь рассмотренным приёмом, вычислите:

а) $180 \cdot 15$; б) $32 \cdot 15$; в) $840 \cdot 15$; г) $56 \cdot 15.$

В задании объясняется приём быстрого умножения числа на 15. Алгоритм состоит из двух шагов:
1. Умножить число на 10 (добавить 0 в конце).
2. К результату прибавить его половину.
Этот метод основан на свойстве умножения: $a \cdot 15 = a \cdot (10 + 5) = a \cdot 10 + a \cdot 5$. Так как $a \cdot 5$ — это половина от $a \cdot 10$, мы просто складываем число, умноженное на 10, с его половиной.

Применим этот приём для вычислений:

а) $180 \cdot 15$
Сначала умножаем 180 на 10: $180 \cdot 10 = 1800$.
Затем находим половину от 1800: $1800 / 2 = 900$.
Складываем полученные числа: $1800 + 900 = 2700$.
Ответ: $2700$

б) $32 \cdot 15$
Сначала умножаем 32 на 10: $32 \cdot 10 = 320$.
Затем находим половину от 320: $320 / 2 = 160$.
Складываем полученные числа: $320 + 160 = 480$.
Ответ: $480$

в) $840 \cdot 15$
Сначала умножаем 840 на 10: $840 \cdot 10 = 8400$.
Затем находим половину от 8400: $8400 / 2 = 4200$.
Складываем полученные числа: $8400 + 4200 = 12600$.
Ответ: $12600$

г) $56 \cdot 15$
Сначала умножаем 56 на 10: $56 \cdot 10 = 560$.
Затем находим половину от 560: $560 / 2 = 280$.
Складываем полученные числа: $560 + 280 = 840$.
Ответ: $840$

336 1) С помощью распределительного свойства вычислите произведение $27 \cdot 101$. Используя полученный результат, найдите короткий способ умножения двузначного числа на 101.

2) Найдите произведение:

а) $19 \cdot 101$; б) $25 \cdot 101$; в) $33 \cdot 101$.

1)

Для вычисления произведения $27 \cdot 101$ с помощью распределительного свойства, представим число 101 в виде суммы $(100 + 1)$.

Распределительное свойство умножения относительно сложения выглядит так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Применим его к нашему выражению:

$27 \cdot 101 = 27 \cdot (100 + 1) = 27 \cdot 100 + 27 \cdot 1 = 2700 + 27 = 2727$.

Анализируя полученный результат ($27 \cdot 101 = 2727$), можно заметить, что он состоит из числа 27, записанного два раза подряд. Это наблюдение позволяет сформулировать короткий способ умножения любого двузначного числа на 101: нужно просто записать это двузначное число дважды.

Ответ: 2727. Короткий способ: чтобы умножить двузначное число на 101, нужно записать это число два раза подряд.

2)

Используем короткий способ, найденный в предыдущем пункте, для вычисления произведений.

а) $19 \cdot 101$

Записываем число 19 два раза подряд: $1919$.

Ответ: 1919.

б) $25 \cdot 101$

Записываем число 25 два раза подряд: $2525$.

Ответ: 2525.

в) $33 \cdot 101$

Записываем число 33 два раза подряд: $3333$.

Ответ: 3333.

337 Найдите значение выражения, дважды воспользовавшись распределительным свойством:

а) $22 \cdot 26 - 11 \cdot 26;$

б) $32 \cdot 26 - 11 \cdot 32;$

в) $43 \cdot 16 + 43 \cdot 13;$

г) $48 \cdot 11 + 48 \cdot 4.$

Образец. $43 \cdot 25 - 43 \cdot 13 = 43 \cdot (25 - 13) = 43 \cdot 12 = 43 \cdot (10 + 2) = 430 + 86 = 516.$

а) $22 \cdot 26 - 11 \cdot 26$

Первым шагом вынесем общий множитель $26$ за скобки, используя распределительное свойство умножения относительно вычитания $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$:

$22 \cdot 26 - 11 \cdot 26 = (22 - 11) \cdot 26 = 11 \cdot 26$.

Вторым шагом вычислим произведение $11 \cdot 26$, снова применив распределительное свойство. Представим число $11$ в виде суммы $(10 + 1)$ и воспользуемся свойством $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$:

$11 \cdot 26 = (10 + 1) \cdot 26 = 10 \cdot 26 + 1 \cdot 26 = 260 + 26 = 286$.

Ответ: 286

б) $32 \cdot 26 - 11 \cdot 32$

Сначала вынесем общий множитель $32$ за скобки, используя распределительное свойство:

$32 \cdot 26 - 11 \cdot 32 = 32 \cdot (26 - 11) = 32 \cdot 15$.

Теперь для вычисления произведения $32 \cdot 15$ снова применим распределительное свойство. Представим число $15$ как сумму $(10 + 5)$:

$32 \cdot 15 = 32 \cdot (10 + 5) = 32 \cdot 10 + 32 \cdot 5 = 320 + 160 = 480$.

Ответ: 480

в) $43 \cdot 16 + 43 \cdot 13$

Вынесем общий множитель $43$ за скобки, используя распределительное свойство умножения относительно сложения $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$:

$43 \cdot 16 + 43 \cdot 13 = 43 \cdot (16 + 13) = 43 \cdot 29$.

Для вычисления произведения $43 \cdot 29$ воспользуемся распределительным свойством второй раз. Для удобства вычислений представим число $29$ в виде разности $(30 - 1)$:

$43 \cdot 29 = 43 \cdot (30 - 1) = 43 \cdot 30 - 43 \cdot 1 = 1290 - 43 = 1247$.

Ответ: 1247

г) $48 \cdot 11 + 48 \cdot 4$

Вынесем общий множитель $48$ за скобки, применив распределительное свойство:

$48 \cdot 11 + 48 \cdot 4 = 48 \cdot (11 + 4) = 48 \cdot 15$.

Снова используем распределительное свойство для нахождения произведения. Представим число $48$ как разность $(50 - 2)$:

$48 \cdot 15 = (50 - 2) \cdot 15 = 50 \cdot 15 - 2 \cdot 15 = 750 - 30 = 720$.

Ответ: 720

338 Вычислите удобным способом:

а) $12 \cdot 17 + 35 \cdot 13 + 17 \cdot 23$;

б) $41 \cdot 80 - 25 \cdot 41 + 55 \cdot 29$;

в) $29 \cdot 25 + 15 \cdot 6 + 19 \cdot 15$;

г) $26 \cdot 18 + 26 \cdot 17 + 14 \cdot 35$.

а) $12 \cdot 17 + 35 \cdot 13 + 17 \cdot 23$

Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые с общим множителем 17, применив переместительное свойство сложения:

$(12 \cdot 17 + 17 \cdot 23) + 35 \cdot 13$

Вынесем общий множитель 17 за скобки, используя распределительное свойство умножения относительно сложения ($a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$):

$17 \cdot (12 + 23) + 35 \cdot 13$

Выполним сложение в скобках:

$12 + 23 = 35$

Выражение примет вид:

$17 \cdot 35 + 35 \cdot 13$

Теперь у нас появился новый общий множитель 35. Снова вынесем его за скобки:

$35 \cdot (17 + 13)$

Выполним сложение в скобках:

$17 + 13 = 30$

Вычислим конечное произведение:

$35 \cdot 30 = 1050$

Ответ: 1050

б) $41 \cdot 80 - 25 \cdot 41 + 55 \cdot 29$

В первых двух членах выражения есть общий множитель 41. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство умножения относительно вычитания ($a \cdot c - b \cdot c = (a-b) \cdot c$):

$41 \cdot (80 - 25) + 55 \cdot 29$

Выполним вычитание в скобках:

$80 - 25 = 55$

Выражение примет вид:

$41 \cdot 55 + 55 \cdot 29$

Теперь у нас появился общий множитель 55. Вынесем его за скобки:

$55 \cdot (41 + 29)$

Выполним сложение в скобках:

$41 + 29 = 70$

Вычислим конечное произведение:

$55 \cdot 70 = 3850$

Ответ: 3850

в) $29 \cdot 25 + 15 \cdot 6 + 19 \cdot 15$

Сгруппируем слагаемые с общим множителем 15:

$29 \cdot 25 + (15 \cdot 6 + 19 \cdot 15)$

Вынесем общий множитель 15 за скобки, используя распределительное свойство:

$29 \cdot 25 + 15 \cdot (6 + 19)$

Выполним сложение в скобках:

$6 + 19 = 25$

Выражение примет вид:

$29 \cdot 25 + 15 \cdot 25$

Теперь у нас появился общий множитель 25. Вынесем его за скобки:

$25 \cdot (29 + 15)$

Выполним сложение в скобках:

$29 + 15 = 44$

Вычислим конечное произведение:

$25 \cdot 44 = 25 \cdot (4 \cdot 11) = (25 \cdot 4) \cdot 11 = 100 \cdot 11 = 1100$

Ответ: 1100

г) $26 \cdot 18 + 26 \cdot 17 + 14 \cdot 35$

В первых двух слагаемых есть общий множитель 26. Вынесем его за скобки:

$26 \cdot (18 + 17) + 14 \cdot 35$

Выполним сложение в скобках:

$18 + 17 = 35$

Выражение примет вид:

$26 \cdot 35 + 14 \cdot 35$

Теперь у нас появился общий множитель 35. Вынесем его за скобки:

$35 \cdot (26 + 14)$

Выполним сложение в скобках:

$26 + 14 = 40$

Вычислим конечное произведение:

$35 \cdot 40 = 1400$

Ответ: 1400

339 Даны числа: 526 000, 520 060, 5260, 5 260 000.

а) Расположите числа в порядке убывания.

б) На сколько наименьшее число меньше наибольшего?

а) Чтобы расположить числа в порядке убывания (от самого большого к самому маленькому), сравним их.
Сначала сравниваем числа по количеству цифр. Чем больше цифр в числе, тем оно больше.

• 5 260 000 (7 цифр)
• 526 000 (6 цифр)
• 520 060 (6 цифр)
• 5260 (4 цифры)

Самое большое число — то, в котором больше всего цифр: 5 260 000.
Самое маленькое число — то, в котором меньше всего цифр: 5260.
Теперь сравним два шестизначных числа: 526 000 и 520 060. Сравниваем их поразрядно, слева направо. Первые две цифры (5 и 2) у них совпадают. Третья цифра у числа 526 000 — это 6, а у числа 520 060 — это 0. Поскольку $6 > 0$, то $526~000 > 520~060$.
Таким образом, порядок убывания чисел следующий: 5 260 000, 526 000, 520 060, 5260.
Ответ: 5 260 000, 526 000, 520 060, 5260.

б) Чтобы определить, на сколько наименьшее число меньше наибольшего, необходимо найти разность между ними.
Из пункта а) мы знаем, что:
Наибольшее число: 5 260 000.
Наименьшее число: 5260.
Вычислим разность:
$5~260~000 - 5260 = 5~254~740$
Значит, наименьшее число меньше наибольшего на 5 254 740.
Ответ: на 5 254 740.