Страница 87 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

327 Составьте два выражения для ответа на вопрос задачи:

a) Токарь за 1 ч делает 15 деталей, а его ученик – 11 деталей. Сколько деталей сделают они за 8 ч работы?

б) Две копировальные машины одновременно включили на 20 мин. Первая распечатывает 6 страниц в минуту, а вторая – 8 страниц. На сколько больше страниц было распечатано на второй машине?

а) Для ответа на вопрос можно составить два выражения, основанных на разных порядках действий.
1. Сначала можно найти, сколько деталей изготовил каждый работник за 8 часов, а затем сложить полученные результаты. Это соответствует свойству умножения относительно сложения.
Выражение: $15 \cdot 8 + 11 \cdot 8$.
Решение: $15 \cdot 8 + 11 \cdot 8 = 120 + 88 = 208$ (деталей).
2. Второй способ — сначала найти их общую производительность (сколько деталей они делают вместе за 1 час), а затем умножить это число на 8 часов.
Выражение: $(15 + 11) \cdot 8$.
Решение: $(15 + 11) \cdot 8 = 26 \cdot 8 = 208$ (деталей).
Ответ: 208 деталей.

б) Эту задачу также можно решить двумя способами.
1. Сначала можно посчитать, сколько страниц распечатала каждая машина за 20 минут, а затем найти разницу между этими значениями.
Выражение: $8 \cdot 20 - 6 \cdot 20$.
Решение: $8 \cdot 20 - 6 \cdot 20 = 160 - 120 = 40$ (страниц).
2. Второй способ — найти разницу в производительности машин (на сколько страниц в минуту вторая машина печатает больше, чем первая) и умножить эту разницу на время работы.
Выражение: $(8 - 6) \cdot 20$.
Решение: $(8 - 6) \cdot 20 = 2 \cdot 20 = 40$ (страниц).
Ответ: на 40 страниц.

328 Придумайте задачу, решить которую можно, составив любое из выражений:

a) $(4 + 6) \cdot 2$ или $4 \cdot 2 + 6 \cdot 2$;

б) $(10 - 7) \cdot 3$ или $10 \cdot 3 - 7 \cdot 3$.

Пример задачи: В школьную столовую привезли 4 ящика с яблоками и 6 таких же ящиков с грушами. В каждом ящике было по 2 кг фруктов. Сколько всего килограммов фруктов привезли в столовую?

Решение (1 способ):

Сначала можно узнать, сколько всего ящиков с фруктами привезли, а затем умножить это количество на массу фруктов в одном ящике. Это соответствует выражению $(4 + 6) \cdot 2$.

1. Найдем общее количество ящиков: $4 + 6 = 10$ (ящиков).

2. Найдем общую массу фруктов: $10 \cdot 2 = 20$ (кг).

Таким образом, $(4 + 6) \cdot 2 = 10 \cdot 2 = 20$ (кг).

Решение (2 способ):

Сначала можно узнать массу яблок и массу груш по отдельности, а затем сложить полученные значения. Это соответствует выражению $4 \cdot 2 + 6 \cdot 2$.

1. Найдем массу яблок: $4 \cdot 2 = 8$ (кг).

2. Найдем массу груш: $6 \cdot 2 = 12$ (кг).

3. Найдем общую массу фруктов: $8 + 12 = 20$ (кг).

Таким образом, $4 \cdot 2 + 6 \cdot 2 = 8 + 12 = 20$ (кг).

Ответ: 20 кг.

Пример задачи: У портнихи было 10 метров ткани. Она сшила 3 платья, потратив на каждое по 1 метру ткани. Позже она продала еще 7 метров этой же ткани. Сколько метров ткани у нее осталось? Нет, эта задача не подходит. Давайте другую.

Пример задачи: На двух полках стояли книги. На первой полке было 10 рядов по 3 книги в каждом, а на второй полке — 7 рядов по 3 книги в каждом. На сколько больше книг было на первой полке, чем на второй?

Решение (1 способ):

Сначала можно найти разницу в количестве рядов на полках, а затем умножить эту разницу на количество книг в одном ряду. Это соответствует выражению $(10 - 7) \cdot 3$.

1. Найдем, на сколько рядов на первой полке больше, чем на второй: $10 - 7 = 3$ (ряда).

2. Найдем, на сколько больше книг на первой полке: $3 \cdot 3 = 9$ (книг).

Таким образом, $(10 - 7) \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$ (книг).

Решение (2 способ):

Сначала можно найти общее количество книг на каждой полке, а затем найти разницу между этими количествами. Это соответствует выражению $10 \cdot 3 - 7 \cdot 3$.

1. Найдем количество книг на первой полке: $10 \cdot 3 = 30$ (книг).

2. Найдем количество книг на второй полке: $7 \cdot 3 = 21$ (книга).

3. Найдем, на сколько больше книг на первой полке, чем на второй: $30 - 21 = 9$ (книг).

Таким образом, $10 \cdot 3 - 7 \cdot 3 = 30 - 21 = 9$ (книг).

Ответ: на 9 книг.

329 Вычислите произведение с помощью распределительного свойства:

а) $98 \cdot 3$;

б) $99 \cdot 5$;

в) $196 \cdot 15$.

Образец. $97 \cdot 14 = (100 - 3) \cdot 14 = 100 \cdot 14 - 3 \cdot 14 = 1400 - 42 = 1358$.

Для решения примеров используем распределительное свойство умножения относительно вычитания: $ (a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c $.

а) Представим число 98 как разность $100 - 2$, чтобы упростить умножение.
$98 \cdot 3 = (100 - 2) \cdot 3$
Теперь применим распределительное свойство:
$(100 - 2) \cdot 3 = 100 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = 300 - 6 = 294$.
Ответ: 294

б) Представим число 99 как разность $100 - 1$.
$99 \cdot 5 = (100 - 1) \cdot 5$
Применим распределительное свойство:
$(100 - 1) \cdot 5 = 100 \cdot 5 - 1 \cdot 5 = 500 - 5 = 495$.
Ответ: 495

в) Представим число 196 как разность $200 - 4$.
$196 \cdot 15 = (200 - 4) \cdot 15$
Применим распределительное свойство:
$(200 - 4) \cdot 15 = 200 \cdot 15 - 4 \cdot 15 = 3000 - 60 = 2940$.
Ответ: 2940

330 Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

а) $ (30 + 56) \cdot 5 $ и $ 30 \cdot 5 + 56 \cdot 5; $

б) $ (19 + 4) \cdot 7 $ и $ 19 \cdot 7 + 10 \cdot 7; $

в) $ 6 \cdot 18 + 6 \cdot 21 $ и $ (18 + 17) \cdot 6; $

г) $ (14 - 7) \cdot 6 $ и $ 16 \cdot 6 - 7 \cdot 6; $

д) $ (18 - 9) \cdot 7 $ и $ 18 \cdot 7 - 11 \cdot 7; $

е) $ 23 \cdot 15 - 5 \cdot 15 $ и $ (23 - 4) \cdot 15. $

а) Сравним выражения $(30 + 56) \cdot 5$ и $30 \cdot 5 + 56 \cdot 5$.

Для решения воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения, которое гласит: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

Применим это свойство к первому выражению: $(30 + 56) \cdot 5 = 30 \cdot 5 + 56 \cdot 5$.

Как видим, после раскрытия скобок первое выражение полностью совпадает со вторым. Значит, значения этих выражений равны.

Ответ: $(30 + 56) \cdot 5 = 30 \cdot 5 + 56 \cdot 5$.

б) Сравним выражения $(19 + 4) \cdot 7$ и $19 \cdot 7 + 10 \cdot 7$.

Раскроем скобки в первом выражении, используя распределительное свойство умножения: $(19 + 4) \cdot 7 = 19 \cdot 7 + 4 \cdot 7$.

Теперь нам нужно сравнить $19 \cdot 7 + 4 \cdot 7$ и $19 \cdot 7 + 10 \cdot 7$.

Оба выражения имеют общее слагаемое $19 \cdot 7$. Следовательно, для сравнения достаточно сравнить вторые слагаемые: $4 \cdot 7$ и $10 \cdot 7$.

Поскольку $4 < 10$, то и произведение $4 \cdot 7$ будет меньше, чем $10 \cdot 7$.

Таким образом, $19 \cdot 7 + 4 \cdot 7 < 19 \cdot 7 + 10 \cdot 7$.

Ответ: $(19 + 4) \cdot 7 < 19 \cdot 7 + 10 \cdot 7$.

в) Сравним выражения $6 \cdot 18 + 6 \cdot 21$ и $(18 + 17) \cdot 6$.

Преобразуем первое выражение, вынеся общий множитель $6$ за скобки (применив распределительное свойство в обратном порядке): $6 \cdot 18 + 6 \cdot 21 = 6 \cdot (18 + 21)$.

Второе выражение можно переписать как $6 \cdot (18 + 17)$ (от перемены мест множителей произведение не меняется).

Теперь сравним $6 \cdot (18 + 21)$ и $6 \cdot (18 + 17)$.

Так как оба выражения имеют общий множитель $6$, сравним выражения в скобках: $18 + 21$ и $18 + 17$.

Поскольку $21 > 17$, то сумма $18 + 21$ больше суммы $18 + 17$.

Следовательно, $6 \cdot (18 + 21) > 6 \cdot (18 + 17)$.

Ответ: $6 \cdot 18 + 6 \cdot 21 > (18 + 17) \cdot 6$.

г) Сравним выражения $(14 - 7) \cdot 6$ и $16 \cdot 6 - 7 \cdot 6$.

Используем распределительное свойство умножения относительно вычитания: $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

Раскроем скобки в первом выражении: $(14 - 7) \cdot 6 = 14 \cdot 6 - 7 \cdot 6$.

Теперь сравним $14 \cdot 6 - 7 \cdot 6$ и $16 \cdot 6 - 7 \cdot 6$.

В обоих выражениях вычитается одно и то же число ($7 \cdot 6$). Значит, результат будет больше там, где больше уменьшаемое. Сравним уменьшаемые: $14 \cdot 6$ и $16 \cdot 6$.

Так как $14 < 16$, то $14 \cdot 6 < 16 \cdot 6$.

Следовательно, и вся разность в первом случае будет меньше.

Ответ: $(14 - 7) \cdot 6 < 16 \cdot 6 - 7 \cdot 6$.

д) Сравним выражения $(18 - 9) \cdot 7$ и $18 \cdot 7 - 11 \cdot 7$.

Раскроем скобки в первом выражении, используя распределительное свойство: $(18 - 9) \cdot 7 = 18 \cdot 7 - 9 \cdot 7$.

Теперь сравним $18 \cdot 7 - 9 \cdot 7$ и $18 \cdot 7 - 11 \cdot 7$.

В обоих выражениях уменьшаемое одинаково ($18 \cdot 7$). Значит, результат будет больше там, где меньше вычитаемое. Сравним вычитаемые: $9 \cdot 7$ и $11 \cdot 7$.

Так как $9 < 11$, то $9 \cdot 7 < 11 \cdot 7$.

Поскольку в первом выражении мы вычитаем меньшее число, результат будет больше.

Следовательно, $18 \cdot 7 - 9 \cdot 7 > 18 \cdot 7 - 11 \cdot 7$.

Ответ: $(18 - 9) \cdot 7 > 18 \cdot 7 - 11 \cdot 7$.

е) Сравним выражения $23 \cdot 15 - 5 \cdot 15$ и $(23 - 4) \cdot 15$.

Преобразуем первое выражение, вынеся общий множитель $15$ за скобки: $23 \cdot 15 - 5 \cdot 15 = (23 - 5) \cdot 15$.

Теперь сравним $(23 - 5) \cdot 15$ и $(23 - 4) \cdot 15$.

Оба выражения имеют общий множитель $15$. Для сравнения достаточно сравнить выражения в скобках: $23 - 5$ и $23 - 4$.

В обоих случаях из числа $23$ вычитается некоторое число. Чем больше вычитаемое, тем меньше разность. Так как $5 > 4$, то $23 - 5 < 23 - 4$.

Следовательно, $(23 - 5) \cdot 15 < (23 - 4) \cdot 15$.

Ответ: $23 \cdot 15 - 5 \cdot 15 < (23 - 4) \cdot 15$.

331 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Правильно ли выполнены преобразования?

Если нет, то объясните, в чём ошибка, и дайте верный ответ:

1) $38 \cdot 5 = (30 + 8) \cdot 5 = 30 \cdot 5 + 8;$

2) $(27 - 14) \cdot 9 = 27 \cdot 9 - 14 \cdot 9;$

3) $6 \cdot (a - b) = 6 \cdot a - 6 \cdot b;$

4) $(2 + a) \cdot 6 = 2 \cdot 6 + a \cdot 6 = 12 + 6 \cdot a;$

5) $(b + 4) \cdot 3 = b \cdot 3 + 4;$

6) $5 + 5 \cdot 4 + 7 \cdot 5 = 5 \cdot (4 + 7);$

7) $3 \cdot 23 - 17 \cdot 3 = 3 \cdot (23 - 17);$

8) $5 + 5 \cdot a = 5 \cdot (1 + a);$

9) $b \cdot 7 + b \cdot 9 = b \cdot (7 + 9);$

10) $4 \cdot a + 12 = 4 \cdot a + 4 \cdot 3 = 4 \cdot (a + 3).$

1) Неверно. Ошибка в применении распределительного свойства умножения относительно сложения: $(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. В данном примере множитель 5 был умножен только на первое слагаемое (30), но не был умножен на второе слагаемое (8).
Верное преобразование: $38 \cdot 5 = (30 + 8) \cdot 5 = 30 \cdot 5 + 8 \cdot 5 = 150 + 40 = 190$.
Ответ: $38 \cdot 5 = (30 + 8) \cdot 5 = 30 \cdot 5 + 8 \cdot 5$.

2) Верно. Преобразование выполнено правильно на основе распределительного свойства умножения относительно вычитания: $(a-b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.
Проверка: $(27-14) \cdot 9 = 13 \cdot 9 = 117$ и $27 \cdot 9 - 14 \cdot 9 = 243 - 126 = 117$.
Ответ: Верно.

3) Верно. Это прямое применение распределительного свойства умножения относительно вычитания: $c \cdot (a - b) = c \cdot a - c \cdot b$.
Ответ: Верно.

4) Верно. Все преобразования выполнены правильно: сначала применено распределительное свойство умножения, а затем переместительное свойство ($a \cdot 6 = 6 \cdot a$).
Ответ: Верно.

5) Неверно. Ошибка в применении распределительного свойства умножения относительно сложения: $(a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. Множитель 3 не был умножен на второе слагаемое (4).
Верное преобразование: $(b + 4) \cdot 3 = b \cdot 3 + 4 \cdot 3 = 3b + 12$.
Ответ: $(b + 4) \cdot 3 = b \cdot 3 + 4 \cdot 3$.

6) Неверно. Ошибка заключается в неправильном вынесении общего множителя 5 за скобки. Первое слагаемое 5 не было учтено при вынесении (его можно представить как $5 \cdot 1$).
Проверка: левая часть $5 + 5 \cdot 4 + 7 \cdot 5 = 5 + 20 + 35 = 60$. Правая часть $5 \cdot (4 + 7) = 5 \cdot 11 = 55$. Равенство не выполняется.
Верное преобразование: $5 + 5 \cdot 4 + 7 \cdot 5 = 5 \cdot 1 + 5 \cdot 4 + 5 \cdot 7 = 5 \cdot (1 + 4 + 7)$.
Ответ: $5 + 5 \cdot 4 + 7 \cdot 5 = 5 \cdot (1 + 4 + 7)$.

7) Верно. Преобразование является правильным применением распределительного свойства (вынесение общего множителя за скобки).
Проверка: $3 \cdot 23 - 17 \cdot 3 = 69 - 51 = 18$ и $3 \cdot (23 - 17) = 3 \cdot 6 = 18$.
Ответ: Верно.

8) Верно. Общий множитель 5 правильно вынесен за скобки. Первое слагаемое 5 представлено как $5 \cdot 1$.
Ответ: Верно.

9) Верно. Общий множитель $b$ правильно вынесен за скобки на основе распределительного свойства.
Ответ: Верно.

10) Верно. Преобразования выполнены правильно: сначала число 12 было представлено в виде произведения $4 \cdot 3$, а затем общий множитель 4 был вынесен за скобки.
Ответ: Верно.

332 Найдите значения выражений, применив вынесение общего множителя за скобки:

а) $14 \cdot 4 + 16 \cdot 4$, $18 \cdot 3 + 18 \cdot 7$, $33 \cdot 7 + 7 \cdot 17$;

б) $68 \cdot 8 - 28 \cdot 8$, $74 \cdot 16 - 74 \cdot 15$, $33 \cdot 52 - 31 \cdot 52$.

а)

Для выражения $14 \cdot 4 + 16 \cdot 4$ общим множителем является число 4. Выносим его за скобки и вычисляем значение:
$14 \cdot 4 + 16 \cdot 4 = 4 \cdot (14 + 16) = 4 \cdot 30 = 120$.
Ответ: 120

Для выражения $18 \cdot 3 + 18 \cdot 7$ общим множителем является число 18. Выносим его за скобки и вычисляем значение:
$18 \cdot 3 + 18 \cdot 7 = 18 \cdot (3 + 7) = 18 \cdot 10 = 180$.
Ответ: 180

Для выражения $33 \cdot 7 + 7 \cdot 17$ общим множителем является число 7. Выносим его за скобки и вычисляем значение:
$33 \cdot 7 + 7 \cdot 17 = 7 \cdot (33 + 17) = 7 \cdot 50 = 350$.
Ответ: 350

б)

Для выражения $68 \cdot 8 - 28 \cdot 8$ общим множителем является число 8. Выносим его за скобки и вычисляем значение:
$68 \cdot 8 - 28 \cdot 8 = 8 \cdot (68 - 28) = 8 \cdot 40 = 320$.
Ответ: 320

Для выражения $74 \cdot 16 - 74 \cdot 15$ общим множителем является число 74. Выносим его за скобки и вычисляем значение:
$74 \cdot 16 - 74 \cdot 15 = 74 \cdot (16 - 15) = 74 \cdot 1 = 74$.
Ответ: 74

Для выражения $33 \cdot 52 - 31 \cdot 52$ общим множителем является число 52. Выносим его за скобки и вычисляем значение:
$33 \cdot 52 - 31 \cdot 52 = 52 \cdot (33 - 31) = 52 \cdot 2 = 104$.
Ответ: 104