Страница 92 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

349 a) Мальчик и девочка собирали в лесу орехи. Всего они собрали 120 орехов. Девочка собрала орехов в 2 раза меньше мальчика. Сколько орехов собрал мальчик и сколько — девочка?

Подсказка. Примите количество орехов у девочки за 1 часть.

б) Надо разложить в два пакета 56 орехов так, чтобы в одном было в 3 раза меньше, чем в другом. Сколько орехов надо положить в каждый пакет?

а)

Согласно подсказке, примем количество орехов у девочки за 1 часть. По условию, она собрала в 2 раза меньше орехов, чем мальчик. Это значит, что мальчик собрал в 2 раза больше, то есть 2 части.

1. Найдем, сколько всего частей орехов собрали дети вместе:

$1 + 2 = 3$ (части) — составляют все орехи.

2. Всего было собрано 120 орехов, что соответствует 3 частям. Найдем, сколько орехов приходится на 1 часть (количество орехов у девочки):

$120 \div 3 = 40$ (орехов) — собрала девочка.

3. Теперь найдем, сколько орехов собрал мальчик (2 части):

$40 \times 2 = 80$ (орехов) — собрал мальчик.

Проверка: $40 + 80 = 120$ орехов. Все верно.

Ответ: мальчик собрал 80 орехов, а девочка — 40 орехов.

б)

Эта задача решается по тому же принципу, что и предыдущая. Пусть в одном, меньшем пакете, будет 1 часть орехов.

Так как в нем в 3 раза меньше орехов, чем в другом, то во втором, большем пакете, будет 3 части.

1. Найдем общее количество частей:

$1 + 3 = 4$ (части) — составляют все орехи.

2. Всего нужно разложить 56 орехов, что соответствует 4 частям. Найдем, сколько орехов в 1 части (количество орехов в меньшем пакете):

$56 \div 4 = 14$ (орехов) — в меньшем пакете.

3. Найдем количество орехов в большем пакете (3 части):

$14 \times 3 = 42$ (ореха) — в большем пакете.

Проверка: $14 + 42 = 56$ орехов. Все верно.

Ответ: в один пакет надо положить 14 орехов, а в другой — 42 ореха.

350 a) На первой полке стояло в 4 раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг на каждой полке?

б) Коля заметил, что в первой пачке тетрадей в 5 раз меньше, чем во второй. Оля сказала, что в ней на 20 тетрадей меньше, чем во второй пачке. Сколько тетрадей в каждой пачке?

а)

Пусть $x$ — это количество книг на второй полке.
Согласно условию, на первой полке книг в 4 раза больше, чем на второй, значит, на первой полке $4x$ книг.
Также известно, что на первой полке на 12 книг больше, чем на второй. Это означает, что количество книг на первой полке равно $x + 12$.
Теперь мы можем приравнять два выражения, описывающие количество книг на первой полке, и составить уравнение:
$4x = x + 12$
Вычтем $x$ из обеих частей уравнения, чтобы сгруппировать неизвестные члены:
$4x - x = 12$
$3x = 12$
Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:
$x = 12 / 3$
$x = 4$
Таким образом, на второй полке 4 книги.
Теперь найдем количество книг на первой полке, подставив значение $x$ в одно из выражений:
$4x = 4 \cdot 4 = 16$
Проверим, выполняется ли второе условие: на первой полке (16) на 12 книг больше, чем на второй (4). $16 - 4 = 12$. Условие выполнено.
Ответ: на первой полке 16 книг, на второй — 4 книги.

б)

Пусть $x$ — это количество тетрадей в первой пачке.
По словам Коли, в первой пачке в 5 раз меньше тетрадей, чем во второй. Это значит, что во второй пачке в 5 раз больше тетрадей, то есть $5x$.
По словам Оли, в первой пачке на 20 тетрадей меньше, чем во второй. Это значит, что количество тетрадей во второй пачке можно также выразить как $x + 20$.
Приравняем два выражения для количества тетрадей во второй пачке и составим уравнение:
$5x = x + 20$
Вычтем $x$ из обеих частей уравнения:
$5x - x = 20$
$4x = 20$
Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:
$x = 20 / 4$
$x = 5$
Следовательно, в первой пачке 5 тетрадей.
Теперь найдем количество тетрадей во второй пачке:
$5x = 5 \cdot 5 = 25$
Проверим, выполняется ли второе условие: в первой пачке (5) на 20 тетрадей меньше, чем во второй (25). $25 - 5 = 20$. Условие выполнено.
Ответ: в первой пачке 5 тетрадей, во второй — 25 тетрадей.

351 а) За три дня Федя прочитал 84 страницы. В первый день он прочитал в 3 раза больше страниц, чем во второй, а в третий – 16 страниц. Сколько страниц прочитал Федя в первый день?

Подсказка. Сначала узнайте, сколько страниц Федя прочитал за два первых дня.

б) Кусок ткани длиной 76 м разрезали на три части. Первая из них имеет длину 25 м, а вторая – в 2 раза короче третьей. Найдите длину второй и третьей частей.

а)

1. Сначала, следуя подсказке, найдем, сколько страниц Федя прочитал за первые два дня. Для этого из общего количества прочитанных страниц вычтем количество страниц, прочитанных в третий день:

$84 - 16 = 68$ (страниц) — прочитано за первый и второй дни вместе.

2. Пусть во второй день Федя прочитал $x$ страниц. Тогда в первый день, согласно условию, он прочитал в 3 раза больше, то есть $3x$ страниц. Зная, что за два дня он прочитал 68 страниц, составим уравнение:

$x + 3x = 68$

3. Решим уравнение, чтобы найти количество страниц, прочитанных во второй день:

$4x = 68$

$x = 68 / 4$

$x = 17$ (страниц) — прочитано во второй день.

4. Теперь найдем, сколько страниц Федя прочитал в первый день, умножив количество страниц за второй день на 3:

$17 * 3 = 51$ (страница) — прочитано в первый день.

Ответ: 51 страница.

б)

1. Найдем общую длину второй и третьей частей ткани. Для этого из общей длины куска вычтем длину первой части:

$76 - 25 = 51$ (м) — суммарная длина второй и третьей частей.

2. Пусть длина второй части ткани равна $y$ м. По условию, она в 2 раза короче третьей, значит, третья часть в 2 раза длиннее второй. Следовательно, длина третьей части равна $2y$ м. Зная, что их общая длина 51 м, составим уравнение:

$y + 2y = 51$

3. Решим уравнение, чтобы найти длину второй части:

$3y = 51$

$y = 51 / 3$

$y = 17$ (м) — длина второй части.

4. Теперь найдем длину третьей части, которая в 2 раза длиннее второй:

$17 * 2 = 34$ (м) — длина третьей части.

Ответ: длина второй части — 17 м, длина третьей части — 34 м.

б) Кусок ткани длиной 76 м разрезали на три части. Первая из них имеет длину 25 м, а вторая — в 2 раза короче третьей. Найдите длину второй и третьей частей.

352 В трёх больших пакетах и четырёх маленьких содержится 550 г печенья. Сколько граммов печенья в маленьком пакете, если в него входит в 2 раза меньше печенья, чем в большой?

Подсказка. Воспользуйтесь рисунком 4.10.

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

1. Обозначение неизвестных

Пусть масса печенья в маленьком пакете равна $x$ граммов.
Согласно условию, в маленький пакет входит в 2 раза меньше печенья, чем в большой. Это означает, что в большом пакете содержится в 2 раза больше печенья, чем в маленьком.
Следовательно, масса печенья в большом пакете составляет $2x$ граммов.

2. Составление уравнения

У нас есть 3 больших пакета и 4 маленьких пакета.
Общая масса печенья в трёх больших пакетах: $3 \cdot (2x) = 6x$ граммов.
Общая масса печенья в четырёх маленьких пакетах: $4 \cdot x = 4x$ граммов.
Суммарная масса всего печенья составляет 550 граммов.
Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:
$6x + 4x = 550$

3. Решение уравнения

Сложим слагаемые в левой части уравнения:
$10x = 550$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 10:
$x = \frac{550}{10}$
$x = 55$
Итак, мы нашли, что масса печенья в одном маленьком пакете составляет 55 граммов.

4. Проверка

Масса печенья в маленьком пакете: 55 г.
Масса печенья в большом пакете: $2 \cdot 55 = 110$ г.
Общая масса в 3 больших и 4 маленьких пакетах:
$3 \cdot 110 + 4 \cdot 55 = 330 + 220 = 550$ г.
Полученное значение соответствует условию задачи.

Ответ: 55 граммов.

353 а) Дочка младше мамы в 4 раза и младше бабушки в 9 раз. Сколько лет каждой, если вместе им 98 лет?

б) Щенок тяжелее котёнка в 3 раза и тяжелее хомяка в 6 раз, а вместе они весят 1 кг 350 г. Сколько весит каждый?

Обозначим возраст дочки за $x$ лет. Из условия задачи следует, что дочка младше мамы в 4 раза, значит, возраст мамы составляет $4x$ лет. Также дочка младше бабушки в 9 раз, следовательно, возраст бабушки равен $9x$ лет. Сумма их возрастов равна 98 лет. Составим и решим уравнение:

$x + 4x + 9x = 98$

Складываем все части с $x$:

$14x = 98$

Находим $x$:

$x = 98 / 14$

$x = 7$

Итак, возраст дочки — 7 лет.

Теперь найдем возраст мамы и бабушки:

Возраст мамы: $4x = 4 * 7 = 28$ лет.

Возраст бабушки: $9x = 9 * 7 = 63$ года.

Проверка: $7 + 28 + 63 = 98$.

Ответ: дочке 7 лет, маме 28 лет, а бабушке 63 года.

Сначала переведем общий вес в граммы для удобства вычислений: 1 кг 350 г = $1000$ г + $350$ г = $1350$ г.

Пусть вес щенка равен $x$ грамм. Согласно условию, щенок тяжелее котенка в 3 раза, значит, вес котенка равен $x/3$ грамм. Щенок также тяжелее хомяка в 6 раз, значит, вес хомяка равен $x/6$ грамм. Суммарный вес всех животных составляет 1350 г. Составим и решим уравнение:

$x + x/3 + x/6 = 1350$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$(6x)/6 + (2x)/6 + x/6 = 1350$

$(9x)/6 = 1350$

Умножим обе части уравнения на 6:

$9x = 1350 * 6$

$9x = 8100$

Находим $x$:

$x = 8100 / 9$

$x = 900$

Итак, вес щенка — 900 г.

Теперь найдем вес котенка и хомяка:

Вес котенка: $x/3 = 900 / 3 = 300$ г.

Вес хомяка: $x/6 = 900 / 6 = 150$ г.

Проверка: $900 + 300 + 150 = 1350$ г.

Ответ: щенок весит 900 г, котенок — 300 г, хомяк — 150 г.

354 a) Катя сделала ожерелье из красных, синих и белых бусин. Красных бусин в 5 раз меньше, чем синих, и в 3 раза меньше, чем белых. Сколько бусин каждого цвета, если синих больше, чем белых, на 12 бусин?

б) У Серёжи в коллекции в 3 раза меньше марок, чем у Васи, а у Андрея в 2 раза больше, чем у Васи. Сколько марок у каждого, если у Андрея на 80 марок больше, чем у Серёжи?

а)

Пусть $x$ — количество красных бусин. Тогда, согласно условию, количество синих бусин равно $5x$, а количество белых бусин — $3x$.

Известно, что синих бусин больше, чем белых, на 12. Составим уравнение:

$5x - 3x = 12$

$2x = 12$

$x = 12 / 2$

$x = 6$

Итак, в ожерелье было 6 красных бусин.

Теперь найдем количество синих и белых бусин:

Синих бусин: $5x = 5 \cdot 6 = 30$ бусин.

Белых бусин: $3x = 3 \cdot 6 = 18$ бусин.

Проверим: $30 - 18 = 12$. Условие выполняется.

Ответ: 6 красных бусин, 30 синих бусин и 18 белых бусин.

б)

Пусть $x$ — количество марок у Васи. Тогда у Серёжи $x/3$ марок, а у Андрея $2x$ марок.

Известно, что у Андрея на 80 марок больше, чем у Серёжи. Составим уравнение:

$2x - \frac{x}{3} = 80$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot 2x - 3 \cdot \frac{x}{3} = 80 \cdot 3$

$6x - x = 240$

$5x = 240$

$x = 240 / 5$

$x = 48$

Итак, у Васи 48 марок.

Теперь найдем количество марок у Серёжи и Андрея:

У Серёжи: $x/3 = 48 / 3 = 16$ марок.

У Андрея: $2x = 2 \cdot 48 = 96$ марок.

Проверим: $96 - 16 = 80$. Условие выполняется.

Ответ: у Серёжи 16 марок, у Васи 48 марок, у Андрея 96 марок.

355 Шарф дешевле куртки в 6 раз, куртка дороже шапки в 2 раза. Что де-шевле:

а) 7 шарфов или 3 шапки;

б) 5 шапок или 2 куртки?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие цены каждого предмета:

• Пусть $Ц_{ш}$ — цена шарфа.
• Пусть $Ц_{к}$ — цена куртки.
• Пусть $Ц_{п}$ — цена шапки.

Исходя из условий задачи, составим математические соотношения:

1. "Шарф дешевле куртки в 6 раз" означает, что цена куртки в 6 раз больше цены шарфа: $Ц_{к} = 6 \times Ц_{ш}$.

2. "Куртка дороже шапки в 2 раза" означает, что цена куртки в 2 раза больше цены шапки: $Ц_{к} = 2 \times Ц_{п}$.

Чтобы сравнивать стоимость разных наборов вещей, выразим все цены через одну переменную. Удобнее всего выразить все через цену самого дешевого предмета — шарфа ($Ц_{ш}$).

Из первого условия мы уже знаем, что $Ц_{к} = 6 \times Ц_{ш}$.

Поскольку $Ц_{к} = 6 \times Ц_{ш}$ и одновременно $Ц_{к} = 2 \times Ц_{п}$, мы можем приравнять правые части этих выражений: $2 \times Ц_{п} = 6 \times Ц_{ш}$.

Теперь найдем цену шапки, выраженную через цену шарфа: $Ц_{п} = \frac{6 \times Ц_{ш}}{2} = 3 \times Ц_{ш}$.

Итак, мы получили следующие соотношения цен:

• Цена 1 шарфа = $Ц_{ш}$.
• Цена 1 шапки = $3 \times Ц_{ш}$.
• Цена 1 куртки = $6 \times Ц_{ш}$.

Теперь мы можем ответить на вопросы задачи.

а) 7 шарфов или 3 шапки

1. Вычислим стоимость 7 шарфов: $7 \times Ц_{ш}$.

2. Вычислим стоимость 3 шапок, используя установленное соотношение: $3 \times Ц_{п} = 3 \times (3 \times Ц_{ш}) = 9 \times Ц_{ш}$.

3. Сравним полученные стоимости: $7 \times Ц_{ш}$ и $9 \times Ц_{ш}$.

Так как $7 < 9$, то $7 \times Ц_{ш} < 9 \times Ц_{ш}$. Следовательно, 7 шарфов стоят дешевле, чем 3 шапки.

Ответ: 7 шарфов.

б) 5 шапок или 2 куртки

1. Вычислим стоимость 5 шапок: $5 \times Ц_{п} = 5 \times (3 \times Ц_{ш}) = 15 \times Ц_{ш}$.

2. Вычислим стоимость 2 курток: $2 \times Ц_{к} = 2 \times (6 \times Ц_{ш}) = 12 \times Ц_{ш}$.

3. Сравним полученные стоимости: $15 \times Ц_{ш}$ и $12 \times Ц_{ш}$.

Так как $12 < 15$, то $12 \times Ц_{ш} < 15 \times Ц_{ш}$. Следовательно, 2 куртки стоят дешевле, чем 5 шапок.

Ответ: 2 куртки.