Страница 94 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

359 а) В двух коробках 60 кассет. В одной из них на 12 кассет меньше, чем в другой. Сколько кассет в каждой коробке?

б) Саша собрал на 5 кг картофеля больше, чем Катя, а вместе они собрали 43 кг картофеля. Сколько картофеля собрал каждый?

а)

Пусть в коробке с меньшим количеством кассет находится $x$ кассет. Тогда в другой коробке, где на 12 кассет больше, находится $(x + 12)$ кассет. Всего в двух коробках 60 кассет. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 12) = 60$

$2x + 12 = 60$

$2x = 60 - 12$

$2x = 48$

$x = 48 / 2$

$x = 24$

Таким образом, в одной коробке 24 кассеты. Теперь найдем количество кассет во второй коробке:

$24 + 12 = 36$ (кассет)

Ответ: в одной коробке 24 кассеты, а в другой 36 кассет.

б)

Пусть Катя собрала $y$ кг картофеля. По условию, Саша собрал на 5 кг больше, то есть $(y + 5)$ кг. Вместе они собрали 43 кг. Составим и решим уравнение:

$y + (y + 5) = 43$

$2y + 5 = 43$

$2y = 43 - 5$

$2y = 38$

$y = 38 / 2$

$y = 19$

Следовательно, Катя собрала 19 кг картофеля. Теперь найдем, сколько картофеля собрал Саша:

$19 + 5 = 24$ (кг)

Ответ: Катя собрала 19 кг картофеля, а Саша – 24 кг.

360 a) Таня на 3 года младше своей сестры, а вместе им 27 лет. Сколько лет каждой из них?

б) Журнал дороже газеты на 25 р., а вместе они стоят 43 р. Сколько стоят газета и журнал в отдельности?

а)

Для решения этой задачи можно воспользоваться двумя способами: арифметическим и алгебраическим.

Способ 1: Арифметический

1. Сначала уравняем возраст сестер. Если бы Таня была того же возраста, что и ее старшая сестра, то их суммарный возраст был бы на 3 года больше. Найдем эту сумму:
$27 + 3 = 30$ лет.

2. Теперь мы имеем удвоенный возраст старшей сестры. Чтобы найти ее возраст, разделим полученную сумму на 2:
$30 / 2 = 15$ лет.

3. Зная возраст старшей сестры, найдем возраст Тани, которая на 3 года младше:
$15 - 3 = 12$ лет.

Способ 2: Алгебраический (с помощью уравнения)

Пусть возраст Тани равен $x$ лет. Так как ее сестра на 3 года старше, ее возраст равен $(x + 3)$ лет. Зная, что вместе им 27 лет, составим и решим уравнение:

$x + (x + 3) = 27$
$2x + 3 = 27$
$2x = 27 - 3$
$2x = 24$
$x = 24 / 2$
$x = 12$

Таким образом, возраст Тани – 12 лет. Тогда возраст сестры: $12 + 3 = 15$ лет.

Ответ: Тане 12 лет, а ее сестре 15 лет.

б)

Данная задача решается аналогично предыдущей.

Способ 1: Арифметический

1. Узнаем, сколько бы стоили два товара, если бы их цена была одинаковой и равнялась цене газеты. Для этого из общей стоимости вычтем разницу в цене:
$43 - 25 = 18$ рублей.

2. Полученная сумма (18 рублей) – это удвоенная стоимость газеты. Найдем цену одной газеты, разделив эту сумму на 2:
$18 / 2 = 9$ рублей.

3. Журнал на 25 рублей дороже газеты. Найдем его стоимость:
$9 + 25 = 34$ рубля.

Способ 2: Алгебраический (с помощью уравнения)

Пусть цена газеты равна $y$ рублей. Тогда цена журнала, который дороже на 25 рублей, составляет $(y + 25)$ рублей. Их общая стоимость — 43 рубля. Составим и решим уравнение:

$y + (y + 25) = 43$
$2y + 25 = 43$
$2y = 43 - 25$
$2y = 18$
$y = 18 / 2$
$y = 9$

Следовательно, цена газеты – 9 рублей. Тогда цена журнала: $9 + 25 = 34$ рубля.

Ответ: газета стоит 9 рублей, а журнал – 34 рубля.

361 Из «Арифметики» Л. Н. Толстого:

а) У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?

б) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого?

а)

Пусть $x$ — количество овец у мужика, у которого их меньше. Тогда у второго мужика, у которого на 9 овец больше, их будет $x + 9$. Зная, что всего у них 35 овец, составим и решим уравнение:

$x + (x + 9) = 35$

$2x + 9 = 35$

$2x = 35 - 9$

$2x = 26$

$x = \frac{26}{2}$

$x = 13$

Таким образом, у одного мужика 13 овец. Тогда у второго будет $13 + 9 = 22$ овцы.

Ответ: у одного мужика 13 овец, а у другого 22 овцы.

б)

Пусть $y$ — количество овец у мужика, у которого их больше. Тогда у второго мужика, у которого их на 6 меньше, будет $y - 6$ овец. Всего у них 40 овец. Составим и решим уравнение:

$y + (y - 6) = 40$

$2y - 6 = 40$

$2y = 40 + 6$

$2y = 46$

$y = \frac{46}{2}$

$y = 23$

Следовательно, у одного мужика 23 овцы. Тогда у второго будет $23 - 6 = 17$ овец.

Ответ: у одного мужика 17 овец, а у другого 23 овцы.

362 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

1) Разберите способ решения задачи: «На трёх полках 47 книг. На средней полке на 4 книги меньше, чем на верхней, и на 2 книги больше, чем на нижней полке. Сколько книг на верхней полке?»

Решение. Если на среднюю полку добавить 4 книги, а на нижнюю — 6 книг (рис. 4.14), то книг на полках станет поровну — столько, сколько на верхней полке. Всего добавили 10 книг. Сколько теперь книг будет на трёх полках?

$47 + 10 = 57 \text{ (кн.)}$

Верхняя полка

Средняя полка

Нижняя полка

Рис. 4.14

Сколько книг на верхней полке?

$57 : 3 = 19 \text{ (кн.)}$

Ответ. 19 книг.

2) Решите рассмотренным способом задачу:

а) Для занятий художественным творчеством ребята собрали библиотечку из 34 книг и разместили их на трёх полках. На верхней — книги по рисованию. На средней — книги по рукоделию; их на 6 меньше, чем книг по рисованию. На нижней полке — книги по лепке; их на 5 меньше, чем книг по рукоделию. Сколько в библиотечке книг по каждому виду творчества?

б) У плиточника есть ящик с синей и ящик с белой плиткой для облицовки стен, по 60 штук в каждом. Он выложил синей плиткой три ряда: в верхнем ряду синих плиток на 3 больше, чем в среднем, а в среднем на 3 больше, чем в нижнем. Каждый ряд плиточник закончил белой плиткой. Сколько синих плиток в каждом ряду, если израсходованы все синие плитки, лежащие в ящике?

а)

Для решения этой задачи воспользуемся методом приведения к равенству, как показано в примере. За точку отсчета возьмем количество книг по рисованию, поскольку их, согласно условию, больше всего.

1. Установим зависимости. Пусть количество книг по рисованию — это наибольшая часть. Тогда:
- книг по рукоделию на 6 меньше, чем по рисованию.
- книг по лепке на 5 меньше, чем по рукоделию, а значит на $6 + 5 = 11$ меньше, чем по рисованию.

2. Чтобы мысленно уравнять количество книг во всех трех стопках до количества книг по рисованию, нужно "добавить" недостающие книги:
- к стопке по рукоделию добавляем 6 книг.
- к стопке по лепке добавляем 11 книг.

3. Вычислим общее количество "добавленных" книг:
$6 + 11 = 17$ (книг).

4. Найдем, каким стало бы общее количество книг, если бы во всех стопках книг было поровну (столько же, сколько по рисованию):
$34 + 17 = 51$ (книга).

5. Теперь, когда у нас три равные части, найдем количество книг в одной части (количество книг по рисованию):
$51 : 3 = 17$ (книг).

6. Рассчитаем количество книг для остальных видов творчества:
- Книги по рукоделию: $17 - 6 = 11$ (книг).
- Книги по лепке: $11 - 5 = 6$ (книг).

Ответ: 17 книг по рисованию, 11 книг по рукоделию, 6 книг по лепке.

б)

Из условия задачи следует, что для облицовки трех рядов были использованы все 60 синих плиток. Решим задачу методом приведения к равенству, взяв за основу верхний ряд, в котором больше всего синих плиток.

1. Установим зависимости между количеством синих плиток в рядах:
- В среднем ряду на 3 плитки меньше, чем в верхнем.
- В нижнем ряду на 3 плитки меньше, чем в среднем. Следовательно, в нижнем ряду на $3 + 3 = 6$ плиток меньше, чем в верхнем.

2. Чтобы мысленно уравнять количество синих плиток во всех трех рядах до количества в верхнем ряду, нужно "добавить" плитки:
- К среднему ряду нужно добавить 3 плитки.
- К нижнему ряду нужно добавить 6 плиток.

3. Найдем общее количество "добавленных" плиток:
$3 + 6 = 9$ (плиток).

4. Теперь вычислим, сколько всего синих плиток стало бы, если бы в каждом ряду их было столько же, сколько в верхнем:
$60 + 9 = 69$ (плиток).

5. Так как теперь у нас три равных ряда, мы можем найти количество синих плиток в одном ряду (то есть в верхнем):
$69 : 3 = 23$ (плитки) — в верхнем ряду.

6. Теперь найдем количество синих плиток в остальных рядах:
- В среднем ряду: $23 - 3 = 20$ (плиток).
- В нижнем ряду: $20 - 3 = 17$ (плиток).

Ответ: в верхнем ряду 23 синие плитки, в среднем — 20 синих плиток, в нижнем — 17 синих плиток.