Страница 100 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

378 НАБЛЮДАЕМ

1) Сравните углы, на которые поворачивается стрелка часов от цифры 1 до цифры 3 и от цифры 4 до цифры 6.

2) На какой угол (острый, прямой, тупой или развёрнутый) поворачивается часовая стрелка за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, 5 ч, 6 ч?

3) Минутная стрелка за 15 мин поворачивается на некоторый угол. За какое время на тот же угол поворачивается часовая стрелка?

1) Циферблат часов представляет собой окружность, градусная мера которой равна $360^\circ$. На циферблате 12 часовых делений. Следовательно, угол между двумя соседними цифрами составляет $360^\circ / 12 = 30^\circ$.
Когда стрелка поворачивается от цифры 1 до цифры 3, она проходит $3 - 1 = 2$ часовых деления. Угол поворота в этом случае равен $2 \times 30^\circ = 60^\circ$.
Когда стрелка поворачивается от цифры 4 до цифры 6, она также проходит $6 - 4 = 2$ часовых деления. Угол поворота в этом случае тоже равен $2 \times 30^\circ = 60^\circ$.
Таким образом, углы, на которые поворачивается стрелка, равны.
Ответ: углы равны.

2) Часовая стрелка за 1 час поворачивается на угол в $30^\circ$.
- За 1 ч стрелка повернется на $1 \times 30^\circ = 30^\circ$. Это острый угол (меньше $90^\circ$).
- За 2 ч стрелка повернется на $2 \times 30^\circ = 60^\circ$. Это острый угол (меньше $90^\circ$).
- За 3 ч стрелка повернется на $3 \times 30^\circ = 90^\circ$. Это прямой угол.
- За 4 ч стрелка повернется на $4 \times 30^\circ = 120^\circ$. Это тупой угол (больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$).
- За 5 ч стрелка повернется на $5 \times 30^\circ = 150^\circ$. Это тупой угол.
- За 6 ч стрелка повернется на $6 \times 30^\circ = 180^\circ$. Это развёрнутый угол.
Ответ: за 1 ч и 2 ч — на острый угол, за 3 ч — на прямой, за 4 ч и 5 ч — на тупой, за 6 ч — на развёрнутый.

3) Сначала найдём угол, на который поворачивается минутная стрелка за 15 минут. Минутная стрелка совершает полный оборот ($360^\circ$) за 60 минут. Скорость её движения составляет $360^\circ / 60 \text{ мин} = 6^\circ$ в минуту. За 15 минут она повернётся на угол: $15 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 90^\circ$.
Теперь определим, за какое время на этот же угол ($90^\circ$) повернётся часовая стрелка. Скорость движения часовой стрелки составляет $30^\circ$ в час. Время, которое потребуется часовой стрелке, чтобы повернуться на $90^\circ$, равно: $90^\circ / (30^\circ/\text{ч}) = 3$ часа.
Ответ: за 3 часа.

379 АНАЛИЗИРУЕМ

1) Начертите какой-нибудь острый угол и постройте угол, дополняющий его до развёрнутого угла. Начертите тупой угол. Постройте угол, дополняющий его до развёрнутого угла.

2) Пусть углы $AOB$ и $BOC$ составляют развёрнутый угол. Каким является угол $BOC$, если угол $AOB$: а) острый; б) прямой; в) тупой?

1)

Чтобы построить угол, дополняющий данный до развёрнутого, необходимо продолжить одну из сторон данного угла за его вершину по прямой. Полученная прямая линия образует развёрнутый угол, величина которого составляет $180^\circ$. Развёрнутый угол будет состоять из двух смежных углов: исходного и построенного.

Если исходный угол — острый:

Начертим острый угол $\angle AOB$, то есть угол, величина которого меньше $90^\circ$. Продолжим луч $AO$ за вершину $O$, получив прямую, на которой лежит точка $C$. Угол $\angle BOC$ является смежным с углом $\angle AOB$, и вместе они образуют развёрнутый угол $\angle AOC = 180^\circ$. Так как $\angle AOB$ — острый ($0^\circ < \angle AOB < 90^\circ$), то величина угла $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB$ будет находиться в пределах от $90^\circ$ до $180^\circ$. Следовательно, угол $\angle BOC$ будет тупым.

Если исходный угол — тупой:

Начертим тупой угол $\angle AOB$, то есть угол, величина которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Аналогично, продолжим луч $AO$ за вершину $O$ до точки $C$. Угол $\angle BOC$ дополнит $\angle AOB$ до развёрнутого. Так как $\angle AOB$ — тупой ($90^\circ < \angle AOB < 180^\circ$), то величина угла $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB$ будет находиться в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$. Следовательно, угол $\angle BOC$ будет острым.

Ответ: Угол, дополняющий острый угол до развёрнутого, является тупым. Угол, дополняющий тупой угол до развёрнутого, является острым.

2)

По условию, углы $AOB$ и $BOC$ составляют развёрнутый угол. Это значит, что они являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Математически это записывается так:

$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$

Из этого соотношения мы можем выразить величину угла $BOC$:

$\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB$

Теперь рассмотрим каждый случай.

а) Если угол $AOB$ острый.
Острый угол имеет градусную меру больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$, то есть $0^\circ < \angle AOB < 90^\circ$.
Тогда для угла $BOC$ получаем:
$180^\circ - 90^\circ < \angle BOC < 180^\circ - 0^\circ$
$90^\circ < \angle BOC < 180^\circ$
Угол, который больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$, является тупым.

Ответ: угол $BOC$ является тупым.

б) Если угол $AOB$ прямой.
Прямой угол равен $90^\circ$, то есть $\angle AOB = 90^\circ$.
Тогда для угла $BOC$ получаем:
$\angle BOC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
Угол, равный $90^\circ$, является прямым.

Ответ: угол $BOC$ является прямым.

в) Если угол $AOB$ тупой.
Тупой угол имеет градусную меру больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$, то есть $90^\circ < \angle AOB < 180^\circ$.
Тогда для угла $BOC$ получаем:
$180^\circ - 180^\circ < \angle BOC < 180^\circ - 90^\circ$
$0^\circ < \angle BOC < 90^\circ$
Угол, который больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$, является острым.

Ответ: угол $BOC$ является острым.

380 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ 1) Найдите на рисунке 5.10, а острые углы, тупые углы.

а) б) в)

Рис. 5.10

2) Углы $AOD$ и $COB$ можно сравнить на глаз: легко видеть, что $\angle AOD$ больше, чем $\angle COB$. Сравнить на глаз углы $DOB$ и $AOC$ сложнее, но можно сделать это с помощью рассуждений.

Способ 1. Угол $AOC$ состоит из двух углов – $DOC$ и $AOD$ (красный и синий); угол $DOB$ – из углов $DOC$ и $COB$ (красный и зелёный). Поскольку угол $DOC$ у них общий, а угол $AOD$ больше угла $COB$, то угол $AOC$ больше угла $DOB$.

Способ 2. Угол $COB$ дополняет угол $AOC$ до развёрнутого угла, а угол $AOD$ дополняет угол $DOB$ до развёрнутого угла; так как угол $COB$ меньше угла $AOD$, следовательно, угол $AOC$ больше угла $DOB$.

3) Используя один из приведённых способов рассуждения, сравните:

а) углы $AOC$ и $BOD$ (рис. 5.10, б);

б) отрезки $AC$ и $BD$ (рис. 5.10, в).

1)

На рисунке 5.10, а:

Острые углы (меньше 90°): $ \angle COB $ и $ \angle DOC $.

Тупые углы (больше 90°): $ \angle AOD $ и $ \angle AOC $.

Ответ: Острые углы: $ \angle COB, \angle DOC $. Тупые углы: $ \angle AOD, \angle AOC $.

3)

а) Сравним углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $ на рисунке 5.10, б. Разложим каждый угол на составляющие:

$ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC $

$ \angle BOD = \angle BOC + \angle COD $

Оба угла имеют общую часть — угол $ \angle BOC $. Чтобы сравнить $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $, достаточно сравнить их другие части: $ \angle AOB $ и $ \angle COD $. Из рисунка видно, что $ \angle AOB > \angle COD $. Поскольку к общему углу $ \angle BOC $ в первом случае прибавляется больший угол, а во втором — меньший, делаем вывод, что $ \angle AOC > \angle BOD $.

Ответ: $ \angle AOC > \angle BOD $.

б) Сравним отрезки $ AC $ и $ BD $ на рисунке 5.10, в. Используем аналогичный метод, представив длину каждого отрезка как сумму длин его частей:

$ AC = AB + BC $

$ BD = BC + CD $

Оба отрезка имеют общую часть — отрезок $ BC $. Значит, для сравнения длин $ AC $ и $ BD $ достаточно сравнить длины отрезков $ AB $ и $ CD $. Из рисунка видно, что длина отрезка $ AB $ меньше длины отрезка $ CD $, то есть $ AB < CD $. Поскольку к общей длине $ BC $ в первом случае прибавляется меньшая длина, а во втором — большая, делаем вывод, что $ AC < BD $.

Ответ: $ AC < BD $.

381 ИССЛЕДУЕМ

1) Постройте окружность и проведите её диаметр $AB$. Постройте угол $ACB$ с вершиной $C$, лежащей на окружности. Каким (острым, прямым или тупым) является этот угол?

2) Постройте ещё два угла с вершинами на окружности, опирающиеся на диаметр, и ответьте на тот же вопрос. Сопоставьте свои наблюдения с наблюдениями одноклассников. Закончите вывод: «Угол с вершиной на окружности, опирающийся на её диаметр, является...»

3) Как построить прямой угол, имея только циркуль и линейку?

1)

Построим окружность с центром в точке $O$ и произвольным радиусом $r$. Проведем через центр $O$ прямую, которая пересечет окружность в двух точках. Обозначим эти точки $A$ и $B$. Отрезок $AB$ является диаметром окружности. Выберем на окружности произвольную точку $C$, не совпадающую с $A$ или $B$, и построим угол $ACB$.

Чтобы определить вид угла $ACB$, докажем, что он является прямым. Проведем отрезок $OC$, который является радиусом окружности. Таким образом, $OA = OB = OC = r$.

Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOC$. Треугольник $AOC$ является равнобедренным, так как $OA = OC = r$. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle OAC = \angle OCA$. Треугольник $BOC$ также является равнобедренным, так как $OB = OC = r$. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle OBC = \angle OCB$.

Угол $ACB$ является суммой двух углов: $\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Для треугольника $ABC$ это записывается так: $\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^{\circ}$.

Подставим в это равенство выражения для углов через $\angle OCA$ и $\angle OCB$:

$\angle OCA + \angle OCB + (\angle OCA + \angle OCB) = 180^{\circ}$

$2 \cdot (\angle OCA + \angle OCB) = 180^{\circ}$

$2 \cdot \angle ACB = 180^{\circ}$

$\angle ACB = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$

Таким образом, угол $ACB$ является прямым углом. Это свойство известно как теорема Фалеса: вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Ответ: Угол $ACB$ является прямым.

2)

Если построить еще два угла с вершинами на окружности, опирающихся на тот же диаметр $AB$, то, проведя аналогичные рассуждения, мы придем к выводу, что эти углы также будут прямыми. Величина вписанного угла, опирающегося на диаметр, не зависит от положения его вершины на окружности (за исключением точек, совпадающих с концами диаметра).

Сопоставляя свои наблюдения с наблюдениями одноклассников, можно сделать однозначный вывод.

Законченный вывод: «Угол с вершиной на окружности, опирающийся на её диаметр, является прямым».

Ответ: Все углы, построенные таким образом, будут прямыми. Вывод: «Угол с вершиной на окружности, опирающийся на её диаметр, является прямым».

3)

Используя циркуль и линейку, можно построить прямой угол, основываясь на свойстве, доказанном в предыдущих пунктах. Алгоритм построения следующий:

1. С помощью линейки начертить произвольный отрезок $AB$.

2. Найти середину отрезка $AB$. Для этого: а) установить раствор циркуля на расстояние, заведомо большее половины длины отрезка $AB$; б) провести две дуги с центром в точке $A$ (одну над отрезком, другую под ним); в) не меняя раствора циркуля, провести две дуги с центром в точке $B$ так, чтобы они пересекли соответствующие дуги из предыдущего шага; г) с помощью линейки соединить точки пересечения дуг. Прямая, проходящая через эти точки, является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Точку пересечения этой прямой с отрезком $AB$ обозначим $O$. Это и есть середина отрезка.

3. Поставить ножку циркуля в точку $O$ и начертить окружность радиусом $OA$ (или $OB$). Отрезок $AB$ будет диаметром этой окружности.

4. Выбрать на построенной окружности любую точку $C$.

5. С помощью линейки соединить точку $C$ с точками $A$ и $B$.

Полученный угол $ACB$ будет прямым, так как это вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности.

Ответ: Чтобы построить прямой угол, нужно начертить окружность, провести её диаметр $AB$, выбрать на окружности любую точку $C$ и соединить её с концами диаметра. Угол $ACB$ будет прямым.