Номер 379, страница 100 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.1. Как обозначают и сравнивают углы. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 379, страница 100.

379 АНАЛИЗИРУЕМ

1) Начертите какой-нибудь острый угол и постройте угол, дополняющий его до развёрнутого угла. Начертите тупой угол. Постройте угол, дополняющий его до развёрнутого угла.

2) Пусть углы $AOB$ и $BOC$ составляют развёрнутый угол. Каким является угол $BOC$, если угол $AOB$: а) острый; б) прямой; в) тупой?

1)

Чтобы построить угол, дополняющий данный до развёрнутого, необходимо продолжить одну из сторон данного угла за его вершину по прямой. Полученная прямая линия образует развёрнутый угол, величина которого составляет $180^\circ$. Развёрнутый угол будет состоять из двух смежных углов: исходного и построенного.

Если исходный угол — острый:

Начертим острый угол $\angle AOB$, то есть угол, величина которого меньше $90^\circ$. Продолжим луч $AO$ за вершину $O$, получив прямую, на которой лежит точка $C$. Угол $\angle BOC$ является смежным с углом $\angle AOB$, и вместе они образуют развёрнутый угол $\angle AOC = 180^\circ$. Так как $\angle AOB$ — острый ($0^\circ < \angle AOB < 90^\circ$), то величина угла $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB$ будет находиться в пределах от $90^\circ$ до $180^\circ$. Следовательно, угол $\angle BOC$ будет тупым.

Если исходный угол — тупой:

Начертим тупой угол $\angle AOB$, то есть угол, величина которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Аналогично, продолжим луч $AO$ за вершину $O$ до точки $C$. Угол $\angle BOC$ дополнит $\angle AOB$ до развёрнутого. Так как $\angle AOB$ — тупой ($90^\circ < \angle AOB < 180^\circ$), то величина угла $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB$ будет находиться в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$. Следовательно, угол $\angle BOC$ будет острым.

Ответ: Угол, дополняющий острый угол до развёрнутого, является тупым. Угол, дополняющий тупой угол до развёрнутого, является острым.

2)

По условию, углы $AOB$ и $BOC$ составляют развёрнутый угол. Это значит, что они являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Математически это записывается так:

$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$

Из этого соотношения мы можем выразить величину угла $BOC$:

$\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB$

Теперь рассмотрим каждый случай.

а) Если угол $AOB$ острый.
Острый угол имеет градусную меру больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$, то есть $0^\circ < \angle AOB < 90^\circ$.
Тогда для угла $BOC$ получаем:
$180^\circ - 90^\circ < \angle BOC < 180^\circ - 0^\circ$
$90^\circ < \angle BOC < 180^\circ$
Угол, который больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$, является тупым.

Ответ: угол $BOC$ является тупым.

б) Если угол $AOB$ прямой.
Прямой угол равен $90^\circ$, то есть $\angle AOB = 90^\circ$.
Тогда для угла $BOC$ получаем:
$\angle BOC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
Угол, равный $90^\circ$, является прямым.

Ответ: угол $BOC$ является прямым.

в) Если угол $AOB$ тупой.
Тупой угол имеет градусную меру больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$, то есть $90^\circ < \angle AOB < 180^\circ$.
Тогда для угла $BOC$ получаем:
$180^\circ - 180^\circ < \angle BOC < 180^\circ - 90^\circ$
$0^\circ < \angle BOC < 90^\circ$
Угол, который больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$, является острым.

Ответ: угол $BOC$ является острым.