Номер 381, страница 100 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.1. Как обозначают и сравнивают углы. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 381, страница 100.

381 ИССЛЕДУЕМ

1) Постройте окружность и проведите её диаметр $AB$. Постройте угол $ACB$ с вершиной $C$, лежащей на окружности. Каким (острым, прямым или тупым) является этот угол?

2) Постройте ещё два угла с вершинами на окружности, опирающиеся на диаметр, и ответьте на тот же вопрос. Сопоставьте свои наблюдения с наблюдениями одноклассников. Закончите вывод: «Угол с вершиной на окружности, опирающийся на её диаметр, является...»

3) Как построить прямой угол, имея только циркуль и линейку?

1)

Построим окружность с центром в точке $O$ и произвольным радиусом $r$. Проведем через центр $O$ прямую, которая пересечет окружность в двух точках. Обозначим эти точки $A$ и $B$. Отрезок $AB$ является диаметром окружности. Выберем на окружности произвольную точку $C$, не совпадающую с $A$ или $B$, и построим угол $ACB$.

Чтобы определить вид угла $ACB$, докажем, что он является прямым. Проведем отрезок $OC$, который является радиусом окружности. Таким образом, $OA = OB = OC = r$.

Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOC$. Треугольник $AOC$ является равнобедренным, так как $OA = OC = r$. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle OAC = \angle OCA$. Треугольник $BOC$ также является равнобедренным, так как $OB = OC = r$. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle OBC = \angle OCB$.

Угол $ACB$ является суммой двух углов: $\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Для треугольника $ABC$ это записывается так: $\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^{\circ}$.

Подставим в это равенство выражения для углов через $\angle OCA$ и $\angle OCB$:

$\angle OCA + \angle OCB + (\angle OCA + \angle OCB) = 180^{\circ}$

$2 \cdot (\angle OCA + \angle OCB) = 180^{\circ}$

$2 \cdot \angle ACB = 180^{\circ}$

$\angle ACB = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$

Таким образом, угол $ACB$ является прямым углом. Это свойство известно как теорема Фалеса: вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Ответ: Угол $ACB$ является прямым.

2)

Если построить еще два угла с вершинами на окружности, опирающихся на тот же диаметр $AB$, то, проведя аналогичные рассуждения, мы придем к выводу, что эти углы также будут прямыми. Величина вписанного угла, опирающегося на диаметр, не зависит от положения его вершины на окружности (за исключением точек, совпадающих с концами диаметра).

Сопоставляя свои наблюдения с наблюдениями одноклассников, можно сделать однозначный вывод.

Законченный вывод: «Угол с вершиной на окружности, опирающийся на её диаметр, является прямым».

Ответ: Все углы, построенные таким образом, будут прямыми. Вывод: «Угол с вершиной на окружности, опирающийся на её диаметр, является прямым».

3)

Используя циркуль и линейку, можно построить прямой угол, основываясь на свойстве, доказанном в предыдущих пунктах. Алгоритм построения следующий:

1. С помощью линейки начертить произвольный отрезок $AB$.

2. Найти середину отрезка $AB$. Для этого: а) установить раствор циркуля на расстояние, заведомо большее половины длины отрезка $AB$; б) провести две дуги с центром в точке $A$ (одну над отрезком, другую под ним); в) не меняя раствора циркуля, провести две дуги с центром в точке $B$ так, чтобы они пересекли соответствующие дуги из предыдущего шага; г) с помощью линейки соединить точки пересечения дуг. Прямая, проходящая через эти точки, является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Точку пересечения этой прямой с отрезком $AB$ обозначим $O$. Это и есть середина отрезка.

3. Поставить ножку циркуля в точку $O$ и начертить окружность радиусом $OA$ (или $OB$). Отрезок $AB$ будет диаметром этой окружности.

4. Выбрать на построенной окружности любую точку $C$.

5. С помощью линейки соединить точку $C$ с точками $A$ и $B$.

Полученный угол $ACB$ будет прямым, так как это вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности.

Ответ: Чтобы построить прямой угол, нужно начертить окружность, провести её диаметр $AB$, выбрать на окружности любую точку $C$ и соединить её с концами диаметра. Угол $ACB$ будет прямым.