Страница 107 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

407 Чему равен периметр треугольника ABC со сторонами:

а) $AB = 3$ см, $BC = 4$ см $5$ мм, $AC = 5$ см $3$ мм;

б) $AB = BC = 4$ см, $AC = 7$ см $3$ мм;

в) $AB = BC = AC = 6$ см?

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Общая формула для вычисления периметра $P$ треугольника $ABC$ со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ следующая:

$P = AB + BC + AC$

а) Даны стороны треугольника: $AB = 3$ см, $BC = 4$ см $5$ мм, $AC = 5$ см $3$ мм.

Чтобы найти периметр, сложим длины всех сторон. Удобнее всего складывать сантиметры с сантиметрами, а миллиметры с миллиметрами.

Сумма сантиметров: $3 + 4 + 5 = 12$ см.

Сумма миллиметров: $0 + 5 + 3 = 8$ мм.

Таким образом, периметр равен $12$ см $8$ мм.

Для проверки можно перевести все длины в миллиметры ($1$ см = $10$ мм) и сложить их:

$P = 30 \text{ мм} + (40 + 5) \text{ мм} + (50 + 3) \text{ мм} = 30 \text{ мм} + 45 \text{ мм} + 53 \text{ мм} = 128$ мм.

$128$ мм = $12$ см $8$ мм.

Ответ: $12$ см $8$ мм.

б) Даны стороны треугольника: $AB = BC = 4$ см, $AC = 7$ см $3$ мм.

Складываем длины всех сторон по той же схеме:

$P = 4 \text{ см} + 4 \text{ см} + 7 \text{ см} 3 \text{ мм}$.

Сумма сантиметров: $4 + 4 + 7 = 15$ см.

Сумма миллиметров: $0 + 0 + 3 = 3$ мм.

Периметр треугольника равен $15$ см $3$ мм.

Проверка в миллиметрах:

$P = 40 \text{ мм} + 40 \text{ мм} + (70 + 3) \text{ мм} = 80 \text{ мм} + 73 \text{ мм} = 153$ мм.

$153$ мм = $15$ см $3$ мм.

Ответ: $15$ см $3$ мм.

в) Даны стороны треугольника: $AB = BC = AC = 6$ см.

В данном случае все стороны треугольника равны, такой треугольник называется равносторонним. Его периметр можно найти, сложив длины всех сторон или умножив длину одной стороны на 3.

$P = 6 \text{ см} + 6 \text{ см} + 6 \text{ см} = 18$ см.

Или:

$P = 3 \times 6 \text{ см} = 18$ см.

Ответ: $18$ см.

408 Периметр четырёхугольника $КОРТ$ равен $17 \text{ см}$, $КО = 5 \text{ см}$, $ОР = 6 \text{ см}$, $РТ = КТ$. Найдите длину стороны $КТ$.

Периметр четырехугольника — это сумма длин всех его сторон. Для четырехугольника КОРТ формула периметра ($P$) выглядит так:

$P = KO + OP + PT + KT$

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• $P = 17$ см
• $KO = 5$ см
• $OP = 6$ см
• $PT = KT$

Подставим известные значения в формулу периметра:

$17 = 5 + 6 + PT + KT$

Поскольку стороны $PT$ и $KT$ равны, мы можем записать их сумму как $2 \times KT$:

$17 = 5 + 6 + KT + KT$

$17 = 11 + 2 \times KT$

Теперь найдем, чему равна сумма длин двух неизвестных сторон, вычтя из периметра сумму длин известных сторон:

$2 \times KT = 17 - 11$

$2 \times KT = 6$

Чтобы найти длину одной стороны $KT$, разделим полученный результат на 2:

$KT = 6 \div 2$

$KT = 3$ см

Ответ: 3 см.

409 Отметьте в тетради три точки, не принадлежащие одной прямой. Начертите два треугольника так, чтобы у одного из них эти точки являлись вершинами, а у другого принадлежали его сторонам, но не являлись вершинами. Периметр какого треугольника больше?

Для решения задачи обозначим три заданные точки, не лежащие на одной прямой, как $A$, $B$ и $C$.

Согласно условию, необходимо начертить два треугольника.

1. Первый треугольник, назовем его $T_1$, имеет своими вершинами точки $A$, $B$ и $C$. Это треугольник $\triangle ABC$. Его периметр, обозначим его $P_1$, равен сумме длин его сторон: $P_1 = AB + BC + CA$.

2. Второй треугольник, назовем его $T_2$, должен быть таким, чтобы точки $A$, $B$ и $C$ принадлежали его сторонам, но не являлись его вершинами. Назовем вершины этого треугольника $D$, $E$ и $F$. Мы можем построить $\triangle DEF$ так, чтобы точка $A$ лежала на стороне $DE$, точка $B$ — на стороне $EF$, а точка $C$ — на стороне $FD$. Периметр этого треугольника, обозначим его $P_2$, равен $P_2 = DE + EF + FD$.

Периметр какого треугольника больше?

Для того чтобы сравнить периметры $P_1$ и $P_2$, рассмотрим три треугольника, которые образуются в углах большого треугольника $\triangle DEF$: это $\triangle ADC$, $\triangle BEA$ и $\triangle CFB$.

К каждому из этих треугольников применим неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Для $\triangle ADC$ справедливо неравенство: $DA + DC > AC$.

Для $\triangle BEA$ справедливо неравенство: $BE + AE > AB$.

Для $\triangle CFB$ справедливо неравенство: $CF + BF > BC$.

Теперь сложим левые и правые части этих трех неравенств:

$(DA + DC) + (BE + AE) + (CF + BF) > AC + AB + BC$

Перегруппируем слагаемые в левой части полученного неравенства:

$(DA + AE) + (BE + BF) + (CF + DC) > AC + AB + BC$

Заметим, что выражения в скобках являются сторонами треугольника $\triangle DEF$, так как точка $A$ лежит на отрезке $DE$ (значит, $DA + AE = DE$), точка $B$ лежит на отрезке $EF$ ($BE + BF = EF$), и точка $C$ лежит на отрезке $FD$ ($CF + DC = FD$).

Подставив эти значения, получим:

$DE + EF + FD > AC + AB + BC$

Левая часть этого неравенства — это периметр второго треугольника ($P_2$), а правая часть — периметр первого треугольника ($P_1$). Таким образом, мы доказали, что:

$P_2 > P_1$

Это означает, что периметр треугольника, у которого данные точки лежат на сторонах, всегда больше периметра треугольника, у которого эти точки являются вершинами.

Ответ: Периметр треугольника, у которого данные точки принадлежат сторонам, но не являются вершинами, больше.

410 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ Начертите четырёх-угольник, у которого являются тупыми:

а) два соседних угла;

б) два противоположных угла.

а) два соседних угла;

Чтобы начертить четырёхугольник, у которого два соседних угла являются тупыми, нужно учесть, что сумма всех углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$. Если два соседних угла, например $\angle A$ и $\angle B$, тупые, то их сумма $\angle A + \angle B > 180^\circ$. Следовательно, сумма двух других углов $\angle C + \angle D$ должна быть меньше $180^\circ$.

Примером такого четырёхугольника может служить равнобедренная трапеция, у которой углы при меньшем основании являются тупыми.

Порядок построения может быть следующим. Сначала начертим отрезок BC — будущее меньшее основание. Затем от лучей BC и CB отложим с одной стороны от отрезка два равных тупых угла, например, по $120^\circ$. На сторонах этих углов отложим равные отрезки AB и CD — боковые стороны. Наконец, соединим точки A и D. Получится равнобедренная трапеция ABCD, в которой соседние углы $\angle B$ и $\angle C$ равны $120^\circ$ и являются тупыми. Остальные два угла, $\angle A$ и $\angle D$, будут острыми и равными $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Сумма всех углов: $120^\circ + 120^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Примером такого четырёхугольника является равнобедренная трапеция, у которой углы при меньшем основании — тупые.

б) два противоположных угла.

Чтобы начертить четырёхугольник с двумя противоположными тупыми углами, можно использовать параллелограмм, не являющийся прямоугольником. Противоположные углы в четырёхугольнике не имеют общей стороны.

Вспомним свойства параллелограмма: его противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$. Если в параллелограмме есть один тупой угол, например $\angle A > 90^\circ$, то противоположный ему угол $\angle C$ также будет тупым ($\angle C = \angle A$). Два других угла, $\angle B$ и $\angle D$, будут равны между собой и являться острыми, так как $\angle B = \angle D = 180^\circ - \angle A < 90^\circ$.

Для построения можно взять любой тупой угол, например $110^\circ$. Пусть $\angle A = 110^\circ$. Тогда в параллелограмме ABCD противоположный угол $\angle C$ также будет равен $110^\circ$. Углы $\angle B$ и $\angle D$ будут равны $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Такой параллелограмм легко начертить, задав две смежные стороны и угол между ними.

Ответ: Примером такого четырёхугольника является любой параллелограмм, который не является прямоугольником.

411 Начертите четырёхугольник с двумя прямыми углами. Могут ли два других его угла быть не прямыми?

Начертите четырёхугольник с двумя прямыми углами.

Примером четырёхугольника с двумя прямыми углами может служить прямоугольная трапеция. Это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна её основаниям.

На рисунке ниже изображён такой четырёхугольник ABCD. В нём основания AD и BC параллельны, а боковая сторона AB перпендикулярна им. Вследствие этого углы при вершинах A и B являются прямыми: $\angle A = 90^\circ$ и $\angle B = 90^\circ$.

Ответ: На рисунке приведён пример такого четырёхугольника — это прямоугольная трапеция.

Могут ли два других его угла быть не прямыми?

Да, два других угла такого четырёхугольника могут быть не прямыми. Докажем это, используя свойство о сумме углов четырёхугольника.

Сумма всех внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника составляет $360^\circ$. Пусть в нашем четырёхугольнике ABCD углы при вершинах A и B прямые, то есть $\angle A = 90^\circ$ и $\angle B = 90^\circ$.

Запишем равенство для суммы углов:
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

Подставим известные значения углов:
$90^\circ + 90^\circ + \angle C + \angle D = 360^\circ$
$180^\circ + \angle C + \angle D = 360^\circ$

Отсюда мы можем найти сумму двух других углов, $\angle C$ и $\angle D$:
$\angle C + \angle D = 360^\circ - 180^\circ$
$\angle C + \angle D = 180^\circ$

Углы $\angle C$ и $\angle D$ будут прямыми только в том случае, если каждый из них равен $90^\circ$ (тогда четырёхугольник будет являться прямоугольником). Однако их сумма может быть равна $180^\circ$ и в других случаях. Например, если один из углов острый (меньше $90^\circ$), то другой обязательно будет тупым (больше $90^\circ$), чтобы в сумме получилось $180^\circ$.

Например, если $\angle C = 125^\circ$, то $\angle D = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$. Оба этих угла не являются прямыми.

Ответ: Да, могут. В этом случае сумма этих двух непрямых углов будет равна $180^\circ$, и, если четырёхугольник не является прямоугольником, один из этих углов будет острым, а другой — тупым.

412 НАБЛЮДАЕМ

а) Сколько треугольников на рисунке 5.28?

б) Сколько четырёхугольников на рисунке 5.29?

Рис. 5.28

Рис. 5.29

а) Чтобы посчитать количество треугольников на рисунке 5.28, будем считать их по размеру:
1. Самые маленькие треугольники: в верхней части фигуры находятся 2 маленьких треугольника.
2. Треугольники, состоящие из двух областей:
- верхний треугольник, образованный объединением двух самых маленьких;
- левый большой треугольник;
- правый большой треугольник.
Всего 3 таких треугольника.
3. Самый большой треугольник (вся фигура) - 1.
Сложим все найденные треугольники: $2 + 3 + 1 = 6$.
Ответ: 6

б) Чтобы посчитать количество четырёхугольников на рисунке 5.29, будем считать их по количеству составных частей:
1. Самые маленькие четырёхугольники, на которые разделена фигура, - их 4.
2. Четырёхугольники, состоящие из двух маленьких:
- 2 горизонтальных (верхний и нижний);
- 2 вертикальных (левый и правый).
Всего $2 + 2 = 4$ таких четырёхугольника.
3. Самый большой четырёхугольник, который представляет собой всю фигуру, - 1.
Сложим все найденные четырёхугольники: $4 + 4 + 1 = 9$.
Ответ: 9

а) Сколько треугольников на рисунке 5.28?

б) Сколько четырёхугольников на рисунке 5.29?

413

Число диагоналей многоугольника (рис. 5.30) можно подсчитать так:

• найти число диагоналей, выходящих из одной вершины, — их на 3 меньше, чем вершин;
• умножить это число на число вершин;
• разделить результат на 2 (объясните почему).

Сколько диагоналей у семиугольника, десятиугольника, стоугольника?

Рис. 5.30

Для решения задачи воспользуемся предложенным алгоритмом и выведем из него общую формулу для подсчета количества диагоналей в многоугольнике с $n$ вершинами.

1. Найти число диагоналей, выходящих из одной вершины. Из любой вершины многоугольника можно провести диагональ ко всем другим вершинам, кроме самой себя и двух соседних (отрезки, соединяющие вершину с соседними, являются сторонами, а не диагоналями). Таким образом, из одной вершины выходит $n-3$ диагонали.
2. Умножить это число на число вершин. Поскольку в многоугольнике $n$ вершин, то общее число "исходящих" диагоналей будет равно $n \times (n-3)$.
3. Разделить результат на 2 (объяснение). На предыдущем шаге мы посчитали каждую диагональ ровно дважды. Например, диагональ, соединяющая вершину A и вершину C, была учтена и как выходящая из вершины A (в C), и как выходящая из вершины C (в A). Так как это одна и та же диагональ, для получения истинного числа уникальных диагоналей результат необходимо разделить на 2.

Таким образом, итоговая формула для числа диагоналей $D$ в $n$-угольнике выглядит так:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Теперь применим эту формулу для каждого случая.

Сколько диагоналей у семиугольника

У семиугольника $n=7$ вершин. Подставляем это значение в формулу:

$D = \frac{7 \times (7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$

Ответ: 14.

Сколько диагоналей у десятиугольника

У десятиугольника $n=10$ вершин. Подставляем это значение в формулу:

$D = \frac{10 \times (10-3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$

Ответ: 35.

Сколько диагоналей у стоугольника

У стоугольника $n=100$ вершин. Подставляем это значение в формулу:

$D = \frac{100 \times (100-3)}{2} = \frac{100 \times 97}{2} = \frac{9700}{2} = 4850$

Ответ: 4850.