Страница 109 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1. Чему равна величина угла $A$? угла $B$?

Чему равна величина угла А?

Для определения точной величины угла А, выраженной в градусах, необходимо воспользоваться измерительным инструментом, таким как транспортир, либо иметь дополнительные условия в задаче (например, равенство с другими углами или числовые данные). Поскольку на изображении такая информация отсутствует, дать точный численный ответ невозможно.

Тем не менее, можно дать качественную оценку угла. Угол A является острым, так как он визуально меньше прямого угла ($90^\circ$). Математически это можно выразить неравенством: $0^\circ < \angle A < 90^\circ$. На вид его величина близка к $45^\circ$, но это лишь предположение.

Ответ: Точную величину угла А по данному изображению определить невозможно. Угол А является острым.

угла В?

Так же, как и в случае с углом А, точную величину угла В по представленному изображению определить нельзя. Отсутствуют какие-либо числовые данные или масштаб, позволяющие провести точные измерения или расчеты.

Визуально угол В является тупым, поскольку его градусная мера больше прямого угла ($90^\circ$), но меньше развернутого угла ($180^\circ$). В виде неравенства это записывается как $90^\circ < \angle B < 180^\circ$. Если предположить, что угол В дополняет острый угол, похожий на угол А, до развернутого угла, его величина могла бы быть около $135^\circ$. Однако это лишь визуальная оценка.

Ответ: Точную величину угла В по данному изображению определить невозможно. Угол В является тупым.

2. Постройте:

а) $\angle ABC = 57^\circ$;

б) $\angle KMN = 132^\circ$.

а) $\angle ABC = 57^{\circ}$

Чтобы построить угол $\angle ABC$ с градусной мерой $57^{\circ}$, необходимо использовать линейку и транспортир. Построение выполняется в следующем порядке:

1. С помощью линейки начертим произвольный луч с началом в точке $B$. Отметим на этом луче точку $A$. Мы получили сторону угла – луч $BA$.
2. Приложим транспортир к лучу $BA$ так, чтобы центр транспортира совпал с точкой $B$ (вершиной будущего угла), а сам луч прошел через нулевую отметку на шкале транспортира.
3. На той же шкале транспортира, по которой мы выровняли ноль, находим отметку, соответствующую $57^{\circ}$. Ставим рядом с этой отметкой точку $C$.
4. Убираем транспортир и с помощью линейки соединяем точку $B$ и точку $C$, проводя луч $BC$.
5. Полученный угол $\angle ABC$ и есть искомый угол, равный $57^{\circ}$. Это острый угол, так как его мера меньше $90^{\circ}$.

Ответ: Угол $\angle ABC$ величиной $57^{\circ}$ построен согласно описанным шагам.

б) $\angle KMN = 132^{\circ}$

Чтобы построить угол $\angle KMN$ с градусной мерой $132^{\circ}$, выполним аналогичные действия:

1. С помощью линейки начертим произвольный луч с началом в точке $M$. Отметим на луче точку $K$. Это будет сторона угла – луч $MK$.
2. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла, точкой $M$, а луч $MK$ прошел через отметку $0^{\circ}$ на его шкале.
3. На шкале транспортира, начинающейся от нуля, находим отметку $132^{\circ}$ и ставим напротив нее точку $N$.
4. Убираем транспортир и с помощью линейки проводим луч $MN$ из вершины $M$ через точку $N$.
5. Полученный угол $\angle KMN$ является искомым углом, равным $132^{\circ}$. Это тупой угол, так как его мера больше $90^{\circ}$ и меньше $180^{\circ}$.

Ответ: Угол $\angle KMN$ величиной $132^{\circ}$ построен согласно описанным шагам.

3. Каким (острым, тупым или прямым) является данный угол?

a) Прямой угол

б) Тупой угол

в) Острый угол

а) Угол, изображенный на рисунке, является прямым. Его стороны перпендикулярны друг другу, а его градусная мера составляет ровно $90^\circ$.
Ответ: прямым.

б) Этот угол является тупым. Он заметно больше прямого угла, то есть его градусная мера находится в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$ ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$).
Ответ: тупым.

в) Данный угол является острым. Он меньше прямого угла, и его градусная мера находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).
Ответ: острым.

4. Выберите из данных углов сначала острые, а затем тупые углы: $45^\circ$, $98^\circ$, $17^\circ$, $111^\circ$, $166^\circ$, $74^\circ$.

Для решения этой задачи необходимо классифицировать предложенные углы на острые и тупые. Для этого воспользуемся определениями видов углов в зависимости от их градусной меры.
- Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше 90°. Математически это можно записать как $0° < \alpha < 90°$.
- Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°. Математически это можно записать как $90° < \beta < 180°$.
- Прямой угол равен ровно 90°.

Теперь проанализируем каждый угол из предложенного списка: $45°, 98°, 17°, 111°, 166°, 74°$.

Острые углы
В эту группу мы отнесем все углы, которые строго меньше 90°.
- $45°$: так как $45 < 90$, этот угол является острым.
- $17°$: так как $17 < 90$, этот угол является острым.
- $74°$: так как $74 < 90$, этот угол является острым.
Углы $98°, 111°, 166°$ больше 90° и, следовательно, не являются острыми.
Ответ: $45°, 17°, 74°$.

Тупые углы
В эту группу мы отнесем все углы, которые строго больше 90°.
- $98°$: так как $98 > 90$, этот угол является тупым.
- $111°$: так как $111 > 90$, этот угол является тупым.
- $166°$: так как $166 > 90$, этот угол является тупым.
Углы $45°, 17°, 74°$ меньше 90° и, следовательно, не являются тупыми.
Ответ: $98°, 111°, 166°$.

5. Проведите биссектрису угла $AOB$.

Решение:

Биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла. Для построения биссектрисы угла $AOB$ с помощью циркуля и линейки, необходимо выполнить следующие действия:

1. Поместить острие циркуля в вершину угла — точку $O$.
2. Начертить дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла обе стороны угла, лучи $OA$ и $OB$. Назовем точки пересечения $M$ и $N$ соответственно.
3. Не меняя раствора циркуля (или установив новый, но одинаковый для обоих построений), поместить острие циркуля сначала в точку $M$ и начертить дугу внутри угла.
4. Затем поместить острие циркуля в точку $N$ и начертить вторую дугу так, чтобы она пересекла первую. Точку пересечения этих двух дуг назовем $C$.
5. С помощью линейки провести луч из вершины $O$ через точку $C$.

Полученный луч $OC$ и есть биссектриса угла $AOB$. По определению, он делит исходный угол на два равных угла: $\angle AOC = \angle COB$.

На изображении это будет выглядеть следующим образом:

Ответ:

Луч $OC$ (показан на рисунке выше) является биссектрисой угла $AOB$, так как он делит его на два равных угла: $\angle AOC = \angle COB$.