Страница 104 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Рис. 5.19

397 РАССУЖДАЕМ

Угол $AOB$ равен $48^\circ$ (рис. 5.19, а–в). Луч $OC$ – биссектриса угла $AOB$, луч $OM$ – биссектриса угла $AOC$. Какой из рисунков соответствует этим условиям?

По условию задачи, угол $\angle AOB$ равен 48°. Луч OC является биссектрисой угла $\angle AOB$, а луч OM — биссектрисой угла $\angle AOC$.

Чтобы определить, какой из рисунков соответствует этим условиям, найдем величины образовавшихся углов.

1. Луч OC — биссектриса угла $\angle AOB$. Это означает, что он делит угол $\angle AOB$ на два равных угла: $\angle AOC$ и $\angle COB$.

   $\angle AOC = \angle COB = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ$.

2. Луч OM — биссектриса угла $\angle AOC$. Это означает, что он делит угол $\angle AOC$ на два равных угла: $\angle AOM$ и $\angle MOC$.

   $\angle AOM = \angle MOC = \frac{\angle AOC}{2} = \frac{24^\circ}{2} = 12^\circ$.

Теперь проанализируем каждый рисунок, обращая внимание на дужки, которыми отмечены равные углы.

• а) На этом рисунке одинаковыми дужками отмечены углы $\angle MOC$ и $\angle COB$, что означает их равенство. Однако, по нашим расчетам, $\angle MOC = 12^\circ$, а $\angle COB = 24^\circ$. Поскольку $12^\circ \neq 24^\circ$, этот рисунок неверный.

• б) Здесь отмечено, что три угла равны: $\angle AOM = \angle MOC = \angle COB$. Мы вычислили, что $\angle AOM = 12^\circ$, $\angle MOC = 12^\circ$, а $\angle COB = 24^\circ$. Так как $12^\circ \neq 24^\circ$, этот рисунок также не соответствует условиям.

• в) На этом рисунке отмечено равенство углов $\angle AOC$ и $\angle COB$. По нашим расчетам, $\angle AOC = 24^\circ$ и $\angle COB = 24^\circ$. Это равенство истинно, так как OC является биссектрисой угла $\angle AOB$. Расположение луча OM внутри угла $\angle AOC$ также соответствует условию. Таким образом, этот рисунок правильно отражает условия задачи.

Ответ: Этим условиям соответствует рисунок в).

398 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ И АНАЛИЗИРУЕМ

1) Следуя алгоритму, сделайте модель:

• Начертите на листе бумаги угол, равный $120^\circ$; обозначьте его $AOB$ (буквы проставьте внутри угла).
• Вырежите угол.
• Проведите внутри угла произвольный луч $OC$.
• Перегните $\angle AOC$ пополам, получившуюся биссектрису обозначьте $OK$.
• Перегните $\angle BOC$ пополам, получившуюся биссектрису обозначьте $OM$.

Рис. 5.20

2) Используя модель, догадайтесь, чему равна величина угла $MOK$.

3) Решите задачу: «Угол $AOB$ равен $90^\circ$ (рис. 5.20). Лучи $OM$ и $OK$ – биссектрисы углов $COB$ и $COA$. Найдите величину угла $MOK$».

2) Используя модель, догадайтесь, чему равна величина угла MOK.

Модель, созданная в пункте 1, основывается на угле $\angle AOB = 120^{\circ}$. Луч $OC$ делит этот угол на два других угла: $\angle AOC$ и $\angle BOC$. Лучи $OK$ и $OM$ являются биссектрисами этих углов соответственно.

Угол $MOK$ складывается из двух углов: $\angle MOC$ и $\angle KOC$.
По определению биссектрисы, $\angle KOC$ составляет половину угла $\angle AOC$, а $\angle MOC$ составляет половину угла $\angle BOC$.
$\angle KOC = \frac{1}{2} \angle AOC$
$\angle MOC = \frac{1}{2} \angle BOC$

Таким образом, величина угла $MOK$ равна:
$\angle MOK = \angle KOC + \angle MOC = \frac{1}{2} \angle AOC + \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOC)$

Поскольку $\angle AOC + \angle BOC$ в сумме дают исходный угол $\angle AOB$, то:
$\angle MOK = \frac{1}{2} \angle AOB$

Так как по условию для модели $\angle AOB = 120^{\circ}$, то можно сделать предположение, что:
$\angle MOK = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
Это предположение не зависит от того, где именно проведен луч $OC$.

Ответ: $60^{\circ}$.

3) Решите задачу: «Угол AOB равен 90° (рис. 5.20). Лучи OM и OK — биссектрисы углов COB и COA. Найдите величину угла MOK».

Дано:
$\angle AOB = 90^{\circ}$
$OC$ — луч внутри $\angle AOB$
$OK$ — биссектриса $\angle COA$
$OM$ — биссектриса $\angle COB$

Найти:
$\angle MOK$

Решение:

Угол $\angle MOK$ является суммой углов $\angle MOC$ и $\angle KOC$:
$\angle MOK = \angle MOC + \angle KOC$.

По определению биссектрисы угла:
$\angle KOC = \frac{1}{2} \angle COA$
$\angle MOC = \frac{1}{2} \angle COB$

Подставим эти равенства в формулу для $\angle MOK$:
$\angle MOK = \frac{1}{2} \angle COB + \frac{1}{2} \angle COA$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\angle MOK = \frac{1}{2} (\angle COB + \angle COA)$

Так как луч $OC$ проходит внутри угла $AOB$, то сумма углов $\angle COB$ и $\angle COA$ равна углу $\angle AOB$:
$\angle COB + \angle COA = \angle AOB$.

Таким образом, мы можем заменить сумму в скобках на $\angle AOB$:
$\angle MOK = \frac{1}{2} \angle AOB$.

Из условия задачи известно, что $\angle AOB = 90^{\circ}$. Подставим это значение:
$\angle MOK = \frac{1}{2} \cdot 90^{\circ} = 45^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$.

399 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) Сколько углов, равных $60^\circ$ и имеющих общую вершину и общие с «соседями» стороны, можно построить? Обратите внимание: углы не могут частично перекрываться.

2) Отметьте точку и проведите из неё лучи так, чтобы все углы между двумя соседними лучами были тупыми.

3) Какое наименьшее число лучей с началом в одной точке надо провести, чтобы все углы, образованные двумя соседними лучами, были острыми?

1) Сумма всех углов с общей вершиной, которые полностью и без перекрытия заполняют пространство вокруг этой вершины, составляет $360^\circ$ (полный угол). Чтобы найти максимальное количество углов по $60^\circ$, которые можно построить таким образом, необходимо разделить полный угол на величину одного такого угла.
$360^\circ \div 60^\circ = 6$
Следовательно, можно построить ровно 6 таких углов, которые будут прилегать друг к другу без зазоров и перекрытий.
Ответ: 6 углов.

2) Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Сумма всех углов, образованных лучами вокруг одной точки, всегда равна $360^\circ$. Обозначим количество лучей (а значит, и количество углов между ними) как $n$.
Если все $n$ углов тупые, то каждый из них больше $90^\circ$. Следовательно, их сумма будет больше, чем $n \times 90^\circ$. Так как эта сумма равна $360^\circ$, получаем неравенство:
$360^\circ > n \times 90^\circ$
Разделив обе части на $90^\circ$, получим:
$4 > n$
Таким образом, количество лучей должно быть меньше 4. Если взять 2 луча, то они образуют два угла, сумма которых $360^\circ$. Если один из них тупой (например, $100^\circ$), то второй будет $360^\circ - 100^\circ = 260^\circ$, что не является тупым углом. Следовательно, минимально возможное количество лучей — 3. Например, можно провести 3 луча так, чтобы они образовали три равных угла. Величина каждого угла будет $360^\circ \div 3 = 120^\circ$. Угол $120^\circ$ является тупым ($90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$), что удовлетворяет условию.
Ответ: Нужно отметить точку и провести из неё 3 луча, например, так, чтобы углы между соседними лучами были равны $120^\circ$.

3) Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. Сумма всех углов вокруг одной точки равна $360^\circ$. Пусть $n$ — наименьшее число лучей. Эти лучи образуют $n$ углов между соседними лучами. По условию, все эти углы должны быть острыми, то есть каждый из них должен быть меньше $90^\circ$.
Сумма $n$ углов, каждый из которых меньше $90^\circ$, будет строго меньше чем $n \times 90^\circ$. Поскольку по условию эта сумма должна быть равна $360^\circ$, мы получаем неравенство:
$360^\circ < n \times 90^\circ$
Разделив обе части на $90^\circ$, получаем:
$4 < n$
Поскольку число лучей $n$ должно быть целым, наименьшее целое число, большее 4, это 5. Проверим, возможно ли это. Если провести 5 лучей, образовав 5 равных углов, то величина каждого угла будет $360^\circ \div 5 = 72^\circ$. Угол $72^\circ$ является острым ($0^\circ < 72^\circ < 90^\circ$), что удовлетворяет условию.
Ответ: 5 лучей.

400 a) В школе 92 пятиклассника, причём девочек на 16 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек в пятых классах?

б) В соревнованиях приняли участие 117 спортсменов, причём юношей на 39 больше, чем девушек. Сколько юношей и сколько девушек приняло участие в соревнованиях?

а)

Это задача на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Решить ее можно несколькими способами.

Способ 1: Арифметический

1. Узнаем, сколько было бы учеников, если бы мальчиков и девочек было поровну (столько же, сколько девочек). Для этого из общего числа учеников вычтем разницу в 16 человек:

$92 - 16 = 76$ (учеников) — удвоенное количество девочек.

2. Теперь найдем количество девочек, разделив полученное число на 2:

$76 / 2 = 38$ (девочек).

3. Найдем количество мальчиков, которое на 16 больше, чем количество девочек:

$38 + 16 = 54$ (мальчика).

Проверка: $38 + 54 = 92$.

Способ 2: Алгебраический (с помощью уравнения)

Пусть $x$ — количество девочек. Тогда количество мальчиков — $(x + 16)$.

Зная, что всего 92 ученика, составим уравнение:

$x + (x + 16) = 92$

$2x + 16 = 92$

$2x = 92 - 16$

$2x = 76$

$x = 38$ (девочек).

Количество мальчиков: $38 + 16 = 54$.

Ответ: в пятых классах 54 мальчика и 38 девочек.

б)

Эта задача также на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

Способ 1: Арифметический

1. Узнаем, сколько было бы спортсменов, если бы юношей и девушек было поровну (столько же, сколько девушек). Для этого из общего числа спортсменов вычтем разницу в 39 человек:

$117 - 39 = 78$ (спортсменов) — удвоенное количество девушек.

2. Теперь найдем количество девушек, разделив полученное число на 2:

$78 / 2 = 39$ (девушек).

3. Найдем количество юношей, которое на 39 больше, чем количество девушек:

$39 + 39 = 78$ (юношей).

Проверка: $39 + 78 = 117$.

Способ 2: Алгебраический (с помощью уравнения)

Пусть $y$ — количество девушек. Тогда количество юношей — $(y + 39)$.

Зная, что всего 117 спортсменов, составим уравнение:

$y + (y + 39) = 117$

$2y + 39 = 117$

$2y = 117 - 39$

$2y = 78$

$y = 39$ (девушек).

Количество юношей: $39 + 39 = 78$.

Ответ: в соревнованиях приняли участие 78 юношей и 39 девушек.

401 Найдите значение выражения $(7470 \div 18 - 319) + (2060 - 24 \cdot 45) \div 28$.

Для нахождения значения выражения необходимо выполнить действия в соответствии с их порядком: сначала действия в скобках, при этом умножение и деление имеют приоритет над сложением и вычитанием, а затем выполняются остальные действия слева направо.

Исходное выражение: $(7470 : 18 - 319) + (2060 - 24 \cdot 45) : 28$.

Разобьем решение на действия:

1. Деление в первой скобке.

$7470 : 18 = 415$

2. Вычитание в первой скобке.

$415 - 319 = 96$

3. Умножение во второй скобке.

$24 \cdot 45 = 1080$

4. Вычитание во второй скобке.

$2060 - 1080 = 980$

5. Подстановка результатов в выражение и деление.

После выполнения действий в скобках выражение принимает вид: $96 + 980 : 28$.

Теперь выполняем деление:

$980 : 28 = 35$

6. Сложение.

Последнее действие — сложение полученных результатов:

$96 + 35 = 131$

Ответ: 131

402 Запишите число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых:

а) $4 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10 + 1;$

б) $9 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10 + 9;$

в) $5 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 + 4;$

г) $3 \cdot 10^4 + 9 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 3.$

а) $4 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10 + 1$

Данное выражение представляет собой сумму разрядных слагаемых. Каждое слагаемое соответствует определённому разряду в десятичной системе счисления:

$4 \cdot 10^2 = 4 \cdot 100 = 400$ (разряд сотен)

$8 \cdot 10 = 80$ (разряд десятков)

$1$ (разряд единиц)

Сложив эти слагаемые, мы получим искомое число:

$400 + 80 + 1 = 481$

Также можно составить число, взяв коэффициенты при степенях десяти в качестве цифр соответствующих разрядов: 4 сотни, 8 десятков, 1 единица.

Ответ: 481

б) $9 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10 + 9$

Это сумма разрядных слагаемых. Вычислим значение каждого слагаемого:

$9 \cdot 10^2 = 9 \cdot 100 = 900$ (разряд сотен)

$0 \cdot 10 = 0$ (разряд десятков)

$9$ (разряд единиц)

Сложим полученные значения:

$900 + 0 + 9 = 909$

Коэффициенты при степенях десяти формируют число: 9 сотен, 0 десятков, 9 единиц.

Ответ: 909

в) $5 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 + 4$

Вычислим значение каждого разрядного слагаемого:

$5 \cdot 10^3 = 5 \cdot 1000 = 5000$ (разряд тысяч)

$2 \cdot 10^2 = 2 \cdot 100 = 200$ (разряд сотен)

$4 \cdot 10 = 40$ (разряд десятков)

$4$ (разряд единиц)

Просуммируем все слагаемые:

$5000 + 200 + 40 + 4 = 5244$

Составляя число из коэффициентов, получаем: 5 тысяч, 2 сотни, 4 десятка, 4 единицы.

Ответ: 5244

г) $3 \cdot 10^4 + 9 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 3$

Это разложение числа по разрядам. Вычислим каждое слагаемое:

$3 \cdot 10^4 = 3 \cdot 10000 = 30000$ (разряд десятков тысяч)

$9 \cdot 10^3 = 9 \cdot 1000 = 9000$ (разряд тысяч)

$0 \cdot 10^2 = 0 \cdot 100 = 0$ (разряд сотен)

$1 \cdot 10 = 10$ (разряд десятков)

$3$ (разряд единиц)

Теперь сложим их:

$30000 + 9000 + 0 + 10 + 3 = 39013$

Коэффициенты при степенях десяти (3, 9, 0, 1, 3) образуют цифры числа слева направо, начиная со старшего разряда.

Ответ: 39013