Номер 399, страница 104 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.2. Измерение углов. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 399, страница 104.

399 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) Сколько углов, равных $60^\circ$ и имеющих общую вершину и общие с «соседями» стороны, можно построить? Обратите внимание: углы не могут частично перекрываться.

2) Отметьте точку и проведите из неё лучи так, чтобы все углы между двумя соседними лучами были тупыми.

3) Какое наименьшее число лучей с началом в одной точке надо провести, чтобы все углы, образованные двумя соседними лучами, были острыми?

1) Сумма всех углов с общей вершиной, которые полностью и без перекрытия заполняют пространство вокруг этой вершины, составляет $360^\circ$ (полный угол). Чтобы найти максимальное количество углов по $60^\circ$, которые можно построить таким образом, необходимо разделить полный угол на величину одного такого угла.
$360^\circ \div 60^\circ = 6$
Следовательно, можно построить ровно 6 таких углов, которые будут прилегать друг к другу без зазоров и перекрытий.
Ответ: 6 углов.

2) Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Сумма всех углов, образованных лучами вокруг одной точки, всегда равна $360^\circ$. Обозначим количество лучей (а значит, и количество углов между ними) как $n$.
Если все $n$ углов тупые, то каждый из них больше $90^\circ$. Следовательно, их сумма будет больше, чем $n \times 90^\circ$. Так как эта сумма равна $360^\circ$, получаем неравенство:
$360^\circ > n \times 90^\circ$
Разделив обе части на $90^\circ$, получим:
$4 > n$
Таким образом, количество лучей должно быть меньше 4. Если взять 2 луча, то они образуют два угла, сумма которых $360^\circ$. Если один из них тупой (например, $100^\circ$), то второй будет $360^\circ - 100^\circ = 260^\circ$, что не является тупым углом. Следовательно, минимально возможное количество лучей — 3. Например, можно провести 3 луча так, чтобы они образовали три равных угла. Величина каждого угла будет $360^\circ \div 3 = 120^\circ$. Угол $120^\circ$ является тупым ($90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$), что удовлетворяет условию.
Ответ: Нужно отметить точку и провести из неё 3 луча, например, так, чтобы углы между соседними лучами были равны $120^\circ$.

3) Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. Сумма всех углов вокруг одной точки равна $360^\circ$. Пусть $n$ — наименьшее число лучей. Эти лучи образуют $n$ углов между соседними лучами. По условию, все эти углы должны быть острыми, то есть каждый из них должен быть меньше $90^\circ$.
Сумма $n$ углов, каждый из которых меньше $90^\circ$, будет строго меньше чем $n \times 90^\circ$. Поскольку по условию эта сумма должна быть равна $360^\circ$, мы получаем неравенство:
$360^\circ < n \times 90^\circ$
Разделив обе части на $90^\circ$, получаем:
$4 < n$
Поскольку число лучей $n$ должно быть целым, наименьшее целое число, большее 4, это 5. Проверим, возможно ли это. Если провести 5 лучей, образовав 5 равных углов, то величина каждого угла будет $360^\circ \div 5 = 72^\circ$. Угол $72^\circ$ является острым ($0^\circ < 72^\circ < 90^\circ$), что удовлетворяет условию.
Ответ: 5 лучей.