Номер 395, страница 103 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.2. Измерение углов. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 395, страница 103.

395 НАБЛЮДАЕМ

а) Чему равен угол между часовой и минутной стрелками, если часы показывают 1 ч? 3 ч? 4 ч? 11 ч 30 мин?

б) На сколько градусов поворачивается минутная стрелка часов за 15 мин, 30 мин, 1 ч? часовая стрелка за 1 ч, 30 мин, 10 мин?

в) Представьте, что часы показывают 10 ч. На сколько градусов изменится величина угла между стрелками через 1 ч?

C B O A $139^\circ$

Для решения задач, связанных с положением стрелок на циферблате часов, необходимо знать, на какой угол поворачиваются стрелки за определенное время. Циферблат представляет собой окружность, содержащую $360^\circ$.

• Минутная стрелка проходит полный круг ($360^\circ$) за 60 минут. Таким образом, ее скорость составляет $360^\circ / 60 = 6^\circ$ в минуту.
• Часовая стрелка проходит полный круг ($360^\circ$) за 12 часов (720 минут). Таким образом, ее скорость составляет $360^\circ / 12 = 30^\circ$ в час, или $30^\circ / 60 = 0.5^\circ$ в минуту.

а)

Для определения угла между стрелками найдем положение каждой стрелки в градусах, отсчитывая от отметки «12» по часовой стрелке.

• 1 ч 00 мин:
  Минутная стрелка находится на 12, ее угол $0^\circ$.
  Часовая стрелка находится на 1. Угол составляет $1/12$ от полного круга: $1 \times (360^\circ / 12) = 30^\circ$.
  Угол между стрелками: $|30^\circ - 0^\circ| = 30^\circ$.
• 3 ч 00 мин:
  Минутная стрелка на 12 ($0^\circ$).
  Часовая стрелка на 3. Угол: $3 \times 30^\circ = 90^\circ$.
  Угол между стрелками: $|90^\circ - 0^\circ| = 90^\circ$.
• 4 ч 00 мин:
  Минутная стрелка на 12 ($0^\circ$).
  Часовая стрелка на 4. Угол: $4 \times 30^\circ = 120^\circ$.
  Угол между стрелками: $|120^\circ - 0^\circ| = 120^\circ$.
• 11 ч 30 мин:
  Положение минутной стрелки: она прошла 30 минут от 12. Угол: $30 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 180^\circ$.
  Положение часовой стрелки: она прошла 11.5 часов от 12. Угол: $11.5 \text{ ч} \times 30^\circ/\text{ч} = 345^\circ$.
  Угол между стрелками равен разности их положений: $|345^\circ - 180^\circ| = 165^\circ$.

Ответ: 1 ч - $30^\circ$; 3 ч - $90^\circ$; 4 ч - $120^\circ$; 11 ч 30 мин - $165^\circ$.

б)

Используем скорости вращения стрелок: $6^\circ$ в минуту для минутной и $0.5^\circ$ в минуту для часовой.

Поворот минутной стрелки:

• За 15 мин: $15 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 90^\circ$.
• За 30 мин: $30 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 180^\circ$.
• За 1 ч (60 мин): $60 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 360^\circ$.

Поворот часовой стрелки:

• За 1 ч (60 мин): $60 \text{ мин} \times 0.5^\circ/\text{мин} = 30^\circ$.
• За 30 мин: $30 \text{ мин} \times 0.5^\circ/\text{мин} = 15^\circ$.
• За 10 мин: $10 \text{ мин} \times 0.5^\circ/\text{мин} = 5^\circ$.

Ответ: минутная стрелка поворачивается на $90^\circ$ за 15 мин, на $180^\circ$ за 30 мин, на $360^\circ$ за 1 ч; часовая стрелка поворачивается на $30^\circ$ за 1 ч, на $15^\circ$ за 30 мин, на $5^\circ$ за 10 мин.

в)

Для ответа на вопрос нужно сравнить величину угла между стрелками в 10:00 и через 1 час, то есть в 11:00.

Угол в 10:00:

• Минутная стрелка указывает на 12 ($0^\circ$).
• Часовая стрелка указывает на 10. Ее положение: $10 \times 30^\circ = 300^\circ$.
• Угол между ними равен $300^\circ$. Однако, принято считать меньший из двух возможных углов, поэтому угол равен $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$.

Угол в 11:00:

• Минутная стрелка указывает на 12 ($0^\circ$).
• Часовая стрелка указывает на 11. Ее положение: $11 \times 30^\circ = 330^\circ$.
• Меньший угол между ними равен $360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$.

Изменение величины угла:

• Угол изменился с $60^\circ$ до $30^\circ$.
• Изменение составляет: $60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

Ответ: величина угла изменится (уменьшится) на $30^\circ$.