Страница 103 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

392 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Запишите условие задачи с помощью символов. Решите задачу.

а) На рисунке 5.16 угол $BAC$ равен $28^\circ$, а угол $CAD$ равен $56^\circ$. Чему равна величина угла $BAD$?

б) На рисунке 5.17 угол $BAC$ равен $136^\circ$, а угол $BAD$ равен $56^\circ$. Чему равна величина угла $CAD$?

Рис. 5.17

а)

Запишем условие задачи с помощью символов:
Дано: $\angle BAC = 28^\circ$, $\angle CAD = 56^\circ$.
Найти: $\angle BAD$.

Для нахождения величины угла $BAD$ необходимо сложить величины углов $BAC$ и $CAD$, так как, исходя из условия, они являются смежными углами, образующими вместе угол $BAD$. Луч $AC$ является общей стороной для этих углов и лежит между лучами $AB$ и $AD$.

Математически это записывается так:

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$

Подставим данные значения в формулу:

$\angle BAD = 28^\circ + 56^\circ = 84^\circ$

Ответ: $84^\circ$.

б)

Запишем условие задачи с помощью символов:
Дано: $\angle BAC = 136^\circ$, $\angle BAD = 56^\circ$.
Найти: $\angle CAD$.

На рисунке 5.17 видно, что луч $AD$ проходит между сторонами угла $BAC$. Это означает, что угол $BAC$ состоит из двух углов: $BAD$ и $CAD$. Следовательно, величина угла $BAC$ равна сумме величин этих двух углов.

Математически это записывается так:

$\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD$

Чтобы найти величину неизвестного угла $CAD$, необходимо из величины большего угла $BAC$ вычесть величину известного угла $BAD$:

$\angle CAD = \angle BAC - \angle BAD$

Подставим данные значения в формулу:

$\angle CAD = 136^\circ - 56^\circ = 80^\circ$

Ответ: $80^\circ$.

393 Начертите в тетради полукруг. С помощью транспортира проведите радиусы так, чтобы они разделили его:

а) на четыре равные части;

б) на три равные части. Чему равна градусная мера угла каждой части?

Полукруг представляет собой половину круга. Диаметр полукруга образует развернутый угол, градусная мера которого равна $180^\circ$. Чтобы разделить полукруг на равные части с помощью радиусов, нужно разделить этот развернутый угол на соответствующее количество равных углов.

а) Чтобы разделить полукруг на четыре равные части, необходимо разделить угол в $180^\circ$ на 4:
$180^\circ : 4 = 45^\circ$
Следовательно, градусная мера угла каждой из четырех частей будет равна $45^\circ$. Для построения нужно с помощью транспортира отложить от одного из радиусов, образующих диаметр, последовательно углы $45^\circ$, $90^\circ$ и $135^\circ$ и провести соответствующие радиусы.
Ответ: $45^\circ$.

б) Чтобы разделить полукруг на три равные части, необходимо разделить угол в $180^\circ$ на 3:
$180^\circ : 3 = 60^\circ$
Следовательно, градусная мера угла каждой из трех частей будет равна $60^\circ$. Для построения нужно с помощью транспортира отложить от одного из радиусов, образующих диаметр, последовательно углы $60^\circ$ и $120^\circ$ и провести соответствующие радиусы.
Ответ: $60^\circ$.

394 ИЩЕМ ИНФОРМАЦИЮ

Помимо транспира, существуют и другие инструменты, позволяющие измерять величины углов. Самые древние из них — это астролябия в астрономии, теодолит в геодезии. Найдите информацию об этих приборах в литературе или в Интернете.

Астролябия

Астролябия — это один из древнейших и важнейших астрономических инструментов, который использовался на протяжении многих веков для решения широкого круга задач. По сути, это сложный аналоговый вычислитель, позволяющий моделировать движение небесных тел. Инструмент был изобретен в Древней Греции (его создание приписывают Гиппарху во II веке до н.э.), получил значительное развитие и распространение в исламском мире, а затем стал незаменимым прибором для астрономов, мореплавателей и астрологов в средневековой Европе.

Классическая астролябия состоит из нескольких основных частей:

• Тарелка (Mater): основа инструмента, полый диск с нанесенной по краю градусной шкалой.
• Тимпан (Tympan): сменная пластина, на которой методом стереографической проекции нанесена сетка небесных координат (азимутов и высот) для определенной географической широты.
• Паук (Rete): вращающаяся ажурная пластина, представляющая собой карту звездного неба. Острия на "пауке" указывают на положение самых ярких звезд, а также на нем изображен круг эклиптики — видимый путь Солнца среди звезд в течение года.
• Алидада (Alidade): поворотная линейка с визирами (прицельными приспособлениями), расположенная на обратной стороне тарелки.

С помощью астролябии можно было выполнять множество операций:

• Измерять угловую высоту Солнца или звезд над горизонтом. Для этого наблюдатель, держа астролябию вертикально, наводил алидаду на светило и считывал показания на градусной шкале.
• Определять время суток. Измерив высоту Солнца, пользователь поворачивал "паука" так, чтобы положение Солнца на эклиптике (соответствующее текущей дате) совпало с линией измеренной высоты на тимпане. Специальный указатель показывал текущий час.
• Определять время восхода и захода небесных тел.
• Находить на небе звезды и определять их координаты.
• Вычислять географическую широту, измеряя высоту Полярной звезды или максимальную высоту Солнца в полдень.

Ответ: Астролябия — это древний многофункциональный астрономический прибор, представляющий собой механическую модель небесной сферы и служащий для измерения углов, определения положения небесных тел, а также для вычисления времени и географической широты.

Теодолит

Теодолит — это высокоточный геодезический инструмент, предназначенный для измерения горизонтальных и вертикальных углов на местности. Он является ключевым прибором в геодезии, топографии, маркшейдерском деле, строительстве и других областях, где требуются точные угловые измерения. Предшественники теодолита существовали с древних времен, но прибор в его современном виде (со зрительной трубой и точными отсчетными кругами) появился в XVIII веке. С развитием технологий механические теодолиты сменились оптическими, а затем и электронными, которые часто совмещают функции измерения углов и расстояний (такие приборы называются тахеометрами).

Основные конструктивные элементы теодолита:

• Зрительная труба: служит для точного наведения на удаленные объекты (визирные цели).
• Горизонтальный и вертикальный круги (лимбы): стеклянные диски с нанесенными на них точными угловыми делениями.
• Алидада: верхняя вращающаяся часть прибора, которая несет на себе зрительную трубу и отсчетную систему для снятия показаний с лимбов.
• Уровни: пузырьковые уровни, необходимые для точного горизонтирования прибора, то есть приведения его основной оси во вращение в строго вертикальное положение.
• Трегер: специальная подставка с тремя подъемными винтами для установки и выравнивания прибора над точкой на местности.

Принцип измерения горизонтального угла заключается в следующем: теодолит устанавливается на штатив над вершиной измеряемого угла. Сначала зрительную трубу наводят на одну точку и берут отсчет по шкале горизонтального круга ($R_1$). Затем трубу поворачивают и наводят на вторую точку, после чего берут второй отсчет ($R_2$). Величина угла вычисляется как разность этих отсчетов: $\beta = |R_2 - R_1|$. Вертикальные углы (углы наклона) измеряются аналогичным образом с помощью вертикального круга.

Ответ: Теодолит — это точный оптико-механический или электронный геодезический прибор для измерения горизонтальных и вертикальных углов, который широко применяется при создании карт, в строительстве и при выполнении различных инженерно-технических работ.

395 НАБЛЮДАЕМ

а) Чему равен угол между часовой и минутной стрелками, если часы показывают 1 ч? 3 ч? 4 ч? 11 ч 30 мин?

б) На сколько градусов поворачивается минутная стрелка часов за 15 мин, 30 мин, 1 ч? часовая стрелка за 1 ч, 30 мин, 10 мин?

в) Представьте, что часы показывают 10 ч. На сколько градусов изменится величина угла между стрелками через 1 ч?

C B O A $139^\circ$

Для решения задач, связанных с положением стрелок на циферблате часов, необходимо знать, на какой угол поворачиваются стрелки за определенное время. Циферблат представляет собой окружность, содержащую $360^\circ$.

• Минутная стрелка проходит полный круг ($360^\circ$) за 60 минут. Таким образом, ее скорость составляет $360^\circ / 60 = 6^\circ$ в минуту.
• Часовая стрелка проходит полный круг ($360^\circ$) за 12 часов (720 минут). Таким образом, ее скорость составляет $360^\circ / 12 = 30^\circ$ в час, или $30^\circ / 60 = 0.5^\circ$ в минуту.

а)

Для определения угла между стрелками найдем положение каждой стрелки в градусах, отсчитывая от отметки «12» по часовой стрелке.

• 1 ч 00 мин:
  Минутная стрелка находится на 12, ее угол $0^\circ$.
  Часовая стрелка находится на 1. Угол составляет $1/12$ от полного круга: $1 \times (360^\circ / 12) = 30^\circ$.
  Угол между стрелками: $|30^\circ - 0^\circ| = 30^\circ$.
• 3 ч 00 мин:
  Минутная стрелка на 12 ($0^\circ$).
  Часовая стрелка на 3. Угол: $3 \times 30^\circ = 90^\circ$.
  Угол между стрелками: $|90^\circ - 0^\circ| = 90^\circ$.
• 4 ч 00 мин:
  Минутная стрелка на 12 ($0^\circ$).
  Часовая стрелка на 4. Угол: $4 \times 30^\circ = 120^\circ$.
  Угол между стрелками: $|120^\circ - 0^\circ| = 120^\circ$.
• 11 ч 30 мин:
  Положение минутной стрелки: она прошла 30 минут от 12. Угол: $30 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 180^\circ$.
  Положение часовой стрелки: она прошла 11.5 часов от 12. Угол: $11.5 \text{ ч} \times 30^\circ/\text{ч} = 345^\circ$.
  Угол между стрелками равен разности их положений: $|345^\circ - 180^\circ| = 165^\circ$.

Ответ: 1 ч - $30^\circ$; 3 ч - $90^\circ$; 4 ч - $120^\circ$; 11 ч 30 мин - $165^\circ$.

б)

Используем скорости вращения стрелок: $6^\circ$ в минуту для минутной и $0.5^\circ$ в минуту для часовой.

Поворот минутной стрелки:

• За 15 мин: $15 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 90^\circ$.
• За 30 мин: $30 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 180^\circ$.
• За 1 ч (60 мин): $60 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 360^\circ$.

Поворот часовой стрелки:

• За 1 ч (60 мин): $60 \text{ мин} \times 0.5^\circ/\text{мин} = 30^\circ$.
• За 30 мин: $30 \text{ мин} \times 0.5^\circ/\text{мин} = 15^\circ$.
• За 10 мин: $10 \text{ мин} \times 0.5^\circ/\text{мин} = 5^\circ$.

Ответ: минутная стрелка поворачивается на $90^\circ$ за 15 мин, на $180^\circ$ за 30 мин, на $360^\circ$ за 1 ч; часовая стрелка поворачивается на $30^\circ$ за 1 ч, на $15^\circ$ за 30 мин, на $5^\circ$ за 10 мин.

в)

Для ответа на вопрос нужно сравнить величину угла между стрелками в 10:00 и через 1 час, то есть в 11:00.

Угол в 10:00:

• Минутная стрелка указывает на 12 ($0^\circ$).
• Часовая стрелка указывает на 10. Ее положение: $10 \times 30^\circ = 300^\circ$.
• Угол между ними равен $300^\circ$. Однако, принято считать меньший из двух возможных углов, поэтому угол равен $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$.

Угол в 11:00:

• Минутная стрелка указывает на 12 ($0^\circ$).
• Часовая стрелка указывает на 11. Ее положение: $11 \times 30^\circ = 330^\circ$.
• Меньший угол между ними равен $360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$.

Изменение величины угла:

• Угол изменился с $60^\circ$ до $30^\circ$.
• Изменение составляет: $60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

Ответ: величина угла изменится (уменьшится) на $30^\circ$.

396 РАССУЖДАЕМ

На рисунке 5.18 угол $AOC$

равен $139^\circ$. Найдите величину угла $COB$.

Рис. 5.18

На рисунке 5.18 изображен развернутый угол AOB, так как его стороны OA и OB лежат на одной прямой. Величина развернутого угла составляет $180^\circ$.

Этот угол разделен лучом OC на два смежных угла: $\angle AOC$ и $\angle COB$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Следовательно, мы можем записать:
$\angle AOC + \angle COB = \angle AOB = 180^\circ$

Согласно условию задачи, нам известна величина угла AOC:
$\angle AOC = 139^\circ$

Подставим известное значение в формулу, чтобы найти величину угла COB:
$139^\circ + \angle COB = 180^\circ$

Выразим $\angle COB$:
$\angle COB = 180^\circ - 139^\circ$
$\angle COB = 41^\circ$

Ответ: $41^\circ$