Страница 102 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Рис. 5.14

Покажите руками угол в $90^\circ$, $180^\circ$. Повернитесь на угол, равный $90^\circ$, $180^\circ$, $360^\circ$.

Каким (острым, прямым, тупым или развёрнутым) является угол, величина которого равна: $22^\circ$, $163^\circ$, $90^\circ$, $18^\circ$, $98^\circ$, $180^\circ$, $89^\circ$, $178^\circ$?

Обратите внимание, как связаны между собой внутренняя и внешняя шкалы транспортира. Каким делениям на внутренней шкале соответствуют метки $50^\circ$ и $140^\circ$ на внешней шкале?

Покажите руками угол в 90°, 180°. Повернитесь на угол, равный 90°, 180°, 360°.

Это практическое задание, которое выполняется физически. Вот как это можно сделать:

Показать угол руками:

• Угол в $90^\circ$ (прямой угол): Согните одну руку в локте так, чтобы предплечье было перпендикулярно плечу. Или вытяните одну руку прямо перед собой, а другую в сторону, чтобы между ними образовался прямой угол.
• Угол в $180^\circ$ (развёрнутый угол): Вытяните обе руки в противоположные стороны так, чтобы они образовали одну прямую линию.

Повернуться на заданный угол:

• Поворот на $90^\circ$: Это поворот на четверть полного круга. Если вы стояли лицом вперёд, то после поворота на $90^\circ$ вы будете стоять лицом направо или налево.
• Поворот на $180^\circ$: Это поворот на половину круга. Если вы стояли лицом вперёд, то после поворота вы будете стоять лицом в противоположную сторону (назад).
• Поворот на $360^\circ$: Это полный оборот вокруг своей оси. Вы вернётесь в исходное положение, то есть будете смотреть в ту же сторону, что и в начале.

Ответ: Задание носит демонстрационный характер и выполняется физическими действиями согласно описанию выше.

Каким (острым, прямым, тупым или развёрнутым) является угол, величина которого равна: 22°, 163°, 90°, 18°, 98°, 180°, 89°, 178°?

Для классификации углов используются следующие определения:

• Острый угол — угол, который меньше $90^\circ$.
• Прямой угол — угол, который равен $90^\circ$.
• Тупой угол — угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
• Развёрнутый угол — угол, который равен $180^\circ$.

Применим эти определения к каждому из углов:

• $22^\circ$ — острый (так как $22^\circ < 90^\circ$).
• $163^\circ$ — тупой (так как $90^\circ < 163^\circ < 180^\circ$).
• $90^\circ$ — прямой.
• $18^\circ$ — острый (так как $18^\circ < 90^\circ$).
• $98^\circ$ — тупой (так как $90^\circ < 98^\circ < 180^\circ$).
• $180^\circ$ — развёрнутый.
• $89^\circ$ — острый (так как $89^\circ < 90^\circ$).
• $178^\circ$ — тупой (так как $90^\circ < 178^\circ < 180^\circ$).

Ответ: Острые углы: $22^\circ, 18^\circ, 89^\circ$. Прямой угол: $90^\circ$. Тупые углы: $163^\circ, 98^\circ, 178^\circ$. Развёрнутый угол: $180^\circ$.

Обратите внимание, как связаны между собой внутренняя и внешняя шкалы транспортира. Каким делениям на внутренней шкале соответствуют метки 50° и 140° на внешней шкале?

Внутренняя и внешняя шкалы транспортира связаны таким образом, что сумма значений на них для одной и той же отметки всегда равна $180^\circ$. Это происходит потому, что они отсчитываются от разных концов базовой линии транспортира и вместе образуют развёрнутый угол.

Чтобы найти соответствующее деление на внутренней шкале, нужно вычесть значение на внешней шкале из $180^\circ$.

1. Для метки $50^\circ$ на внешней шкале:

Соответствующее значение на внутренней шкале равно: $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

2. Для метки $140^\circ$ на внешней шкале:

Соответствующее значение на внутренней шкале равно: $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Ответ: Метке $50^\circ$ на внешней шкале соответствует деление $130^\circ$ на внутренней. Метке $140^\circ$ на внешней шкале соответствует деление $40^\circ$ на внутренней.

385 Выберите из данных углов сначала острые, а затем тупые углы: $114^\circ$, $54^\circ$, $81^\circ$, $100^\circ$, $139^\circ$, $99^\circ$, $90^\circ$, $77^\circ$.

Для того чтобы выбрать острые и тупые углы из предложенного списка, необходимо вспомнить их определения:

• Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$, но меньше $90^\circ$.
• Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.
• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

Теперь проанализируем каждый угол из списка: $114^\circ, 54^\circ, 81^\circ, 100^\circ, 139^\circ, 99^\circ, 90^\circ, 77^\circ$.

Острые углы

Выберем углы, градусная мера которых меньше $90^\circ$.

• $54^\circ$ < $90^\circ$ — острый угол.
• $81^\circ$ < $90^\circ$ — острый угол.
• $77^\circ$ < $90^\circ$ — острый угол.

Следовательно, острыми являются углы $54^\circ, 81^\circ, 77^\circ$.

Ответ: $54^\circ, 81^\circ, 77^\circ$.

Тупые углы

Выберем углы, градусная мера которых больше $90^\circ$.

• $114^\circ$ > $90^\circ$ — тупой угол.
• $100^\circ$ > $90^\circ$ — тупой угол.
• $139^\circ$ > $90^\circ$ — тупой угол.
• $99^\circ$ > $90^\circ$ — тупой угол.

Угол $90^\circ$ не относится ни к острым, ни к тупым, так как он является прямым углом.

Следовательно, тупыми являются углы $114^\circ, 100^\circ, 139^\circ, 99^\circ$.

Ответ: $114^\circ, 100^\circ, 139^\circ, 99^\circ$.

386 Начертите в тетради прямой угол и разделите его на глаз на три равные части. Чему должна быть равна величина каждой части? Проверьте себя с помощью транспортира.

Чему должна быть равна величина каждой части?

Прямой угол по определению равен $90^\circ$. Чтобы найти величину каждой из трех равных частей, на которые его нужно разделить, необходимо величину прямого угла разделить на 3.
Выполним вычисление:
$90^\circ \div 3 = 30^\circ$
Таким образом, величина каждой части должна быть равна $30^\circ$.

Начертите в тетради прямой угол и разделите его на глаз на три равные части.

1. С помощью угольника или транспортира начертите прямой угол. Это угол, стороны которого перпендикулярны друг другу.
2. Из вершины угла проведите два луча так, чтобы они разделили исходный угол на три угла, которые на ваш взгляд равны. Это и есть деление "на глаз".

Проверьте себя с помощью транспортира.

После того как вы разделили угол, можно выполнить проверку с помощью транспортира:
1. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной вашего угла, а одна из сторон угла прошла через отметку $0^\circ$ на шкале.
2. Вторая сторона прямого угла должна проходить через отметку $90^\circ$.
3. Посмотрите, через какие отметки на шкале транспортира проходят два луча, которые вы провели для разделения угла. В идеале они должны проходить через отметки $30^\circ$ и $60^\circ$.
Это будет означать, что вы получили три равных угла, каждый по $30^\circ$. Поскольку деление производилось "на глаз", небольшие отклонения от этих значений вполне возможны.

Ответ: Величина каждой части должна быть равна $30^\circ$.

387 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Рассмотрите рисунок 5.15 и объясните, почему измерение величины угла выполнено неверно.

а) б) Рис. 5.15

а) Измерение угла выполнено неверно, потому что вершина измеряемого угла (точка А) не совмещена с центром транспортира (точкой отсчета). Для правильного измерения угла необходимо, чтобы его вершина находилась точно в центре транспортира, а одна из сторон угла проходила вдоль его прямой основы.
Ответ: Измерение неверно, так как вершина угла А не совмещена с центром транспортира.

б) Измерение угла выполнено неверно, потому что ни одна из сторон угла не совмещена с нулевой отметкой ($0°$) на шкале транспортира. Хотя вершина угла (точка А) и находится в центре транспортира, для корректного считывания показаний одна из сторон угла должна проходить через нулевое деление.
Ответ: Измерение неверно, так как ни одна из сторон угла не проходит через нулевую отметку на шкале транспортира.

388 Измерьте и запишите величины углов, изобра-женных на рисунке 5.7 (см. с. 99).

Углы:

$\angle A$

$\angle C$

$\angle N$

$\angle B$

$\angle K$

$\angle O$

$\angle D$

$\angle F$

$\angle G$

Рис. 5.7

Для измерения углов, изображенных на рисунке, необходимо использовать транспортир. Центр транспортира следует совместить с вершиной угла, а одну из его сторон — с нулевой отметкой на шкале. Вторая сторона угла укажет на его величину в градусах. Поскольку измерение производится по изображению на экране, полученные значения являются приблизительными и могут незначительно отличаться от измерений на бумажном носителе с помощью физического транспортира.

Угол с вершиной A
Это острый угол. После измерения с помощью транспортира его величина составляет приблизительно $35$ градусов.
Ответ: $\angle A \approx 35^\circ$.

Угол с вершиной C
Это тупой угол. Измерение показывает, что его величина примерно равна $115$ градусам.
Ответ: $\angle C \approx 115^\circ$.

Угол с вершиной N
Это острый угол. Приложив транспортир, находим, что его градусная мера составляет около $70$ градусов.
Ответ: $\angle N \approx 70^\circ$.

Угол с вершиной B
Это тупой угол. Его величина, измеренная транспортиром, равна приблизительно $135$ градусам.
Ответ: $\angle B \approx 135^\circ$.

Угол с вершиной K
Это острый угол. Измерение с помощью транспортира даёт результат около $55$ градусов.
Ответ: $\angle K \approx 55^\circ$.

Угол с вершиной O
Это острый угол. Его градусная мера, измеренная транспортиром, составляет примерно $25$ градусов.
Ответ: $\angle O \approx 25^\circ$.

Угол с вершиной D
Это тупой угол (имеется в виду внутренний угол, меньший $180^\circ$). Измерение показывает величину приблизительно $150$ градусов.
Ответ: $\angle D \approx 150^\circ$.

Угол с вершиной F
Это тупой угол, близкий к развернутому. Его величина составляет примерно $165$ градусов.
Ответ: $\angle F \approx 165^\circ$.

Угол с вершиной G
Это тупой угол. Измерение транспортиром показывает, что его величина равна приблизительно $100$ градусам.
Ответ: $\angle G \approx 100^\circ$.

389 Начертите в тетради два острых и два тупых угла. Измерьте величину каждого из них.

Для выполнения этого задания необходимо использовать карандаш, линейку для построения лучей и транспортир для измерения углов. Задание предполагает практическое выполнение, поэтому ниже приведён пример того, как это могло бы выглядеть.

Два острых угла

Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.

1. Начертим первый острый угол, например, $\angle AOB$. После измерения с помощью транспортира выясняем, что его величина равна $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

2. Начертим второй острый угол, например, $\angle CKD$. Измерим его. Его величина составляет $70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$

Два тупых угла

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

1. Начертим первый тупой угол, например, $\angle MNE$. С помощью транспортира измерим его величину. Она равна $110^\circ$.

Ответ: $110^\circ$

2. Начертим второй тупой угол, например, $\angle PQR$. Измерим его. Его величина составляет $155^\circ$.

Ответ: $155^\circ$

390 Определите сначала, каким (острым или тупым) является угол, а затем постройте его с помощью транспортира:

а) $35^{\circ}$;

б) $64^{\circ}$;

в) $95^{\circ}$;

г) $119^{\circ}$;

д) $153^{\circ}$.

Для определения вида угла необходимо сравнить его градусную меру с $90^\circ$. Угол, меньший $90^\circ$, называется острым. Угол, больший $90^\circ$, но меньший $180^\circ$, называется тупым.

а) $35^\circ$

Угол является острым, так как его градусная мера меньше $90^\circ$ ($35^\circ < 90^\circ$).

Построение с помощью транспортира:

1. Начертить луч с началом в точке $O$. Это будет одна сторона угла.
2. Приложить транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой $O$, а его нулевая отметка (начало отсчета) легла на построенный луч.
3. На шкале транспортира найти деление, соответствующее $35^\circ$, и поставить рядом с ним точку $A$.
4. Убрать транспортир и соединить точку $O$ с точкой $A$, проведя второй луч.
5. Полученный угол $\angle AOB$ будет равен $35^\circ$.

Ответ: острый угол.

б) $64^\circ$

Угол является острым, так как его градусная мера меньше $90^\circ$ ($64^\circ < 90^\circ$).

Построение с помощью транспортира:

1. Начертить луч с началом в точке $O$.
2. Приложить транспортир к лучу так, чтобы центр транспортира совпал с точкой $O$.
3. На шкале транспортира найти деление, соответствующее $64^\circ$, и поставить рядом с ним точку $B$.
4. Провести второй луч из точки $O$ через точку $B$.
5. Полученный угол будет равен $64^\circ$.

Ответ: острый угол.

в) $95^\circ$

Угол является тупым, так как его градусная мера больше $90^\circ$ ($95^\circ > 90^\circ$).

Построение с помощью транспортира:

1. Начертить луч с началом в точке $O$.
2. Приложить транспортир к лучу так, чтобы центр транспортира совпал с точкой $O$.
3. На шкале транспортира найти деление, соответствующее $95^\circ$, и поставить рядом с ним точку $C$.
4. Провести второй луч из точки $O$ через точку $C$.
5. Полученный угол будет равен $95^\circ$.

Ответ: тупой угол.

г) $119^\circ$

Угол является тупым, так как его градусная мера больше $90^\circ$ ($119^\circ > 90^\circ$).

Построение с помощью транспортира:

1. Начертить луч с началом в точке $O$.
2. Приложить транспортир к лучу так, чтобы центр транспортира совпал с точкой $O$.
3. На шкале транспортира найти деление, соответствующее $119^\circ$, и поставить рядом с ним точку $D$.
4. Провести второй луч из точки $O$ через точку $D$.
5. Полученный угол будет равен $119^\circ$.

Ответ: тупой угол.

д) $153^\circ$

Угол является тупым, так как его градусная мера больше $90^\circ$ ($153^\circ > 90^\circ$).

Построение с помощью транспортира:

1. Начертить луч с началом в точке $O$.
2. Приложить транспортир к лучу так, чтобы центр транспортира совпал с точкой $O$.
3. На шкале транспортира найти деление, соответствующее $153^\circ$, и поставить рядом с ним точку $E$.
4. Провести второй луч из точки $O$ через точку $E$.
5. Полученный угол будет равен $153^\circ$.

Ответ: тупой угол.

391 Иcпользуя линии квадратной сетки тетради, постройте углы, равные $45^\circ$ и $135^\circ$.

Подсказка. $45^\circ = 90^\circ : 2$, $135^\circ = 90^\circ + 45^\circ$.

Чтобы построить углы, равные 45° и 135°, используя только линии квадратной сетки, нужно воспользоваться свойствами квадрата и прямого угла, который образуют линии сетки.

Для построения угла в 45° на листе бумаги в клетку, воспользуемся тем, что линии сетки образуют квадраты, а диагональ квадрата делит его прямой угол (90°) пополам. Как указано в подсказке, $45^\circ = 90^\circ : 2$.

1. Выберите на пересечении линий сетки точку, которая будет вершиной угла. Назовём её O.

2. Проведите из точки O первую сторону угла — луч, идущий вдоль одной из линий сетки (например, по горизонтали).

3. Для построения второй стороны проведите из той же точки O луч по диагонали клеток. Этот луч будет соединять противоположные вершины квадратов сетки (например, можно соединить точку О с точкой, находящейся на одну клетку вправо и одну клетку вверх).

4. Угол, образованный между стороной, идущей по линии сетки, и стороной, проведённой по диагонали, равен 45°.

Ответ: Угол в 45° строится с вершиной в узле сетки; одна его сторона идёт по линии сетки (горизонтальной или вертикальной), а вторая — по диагонали клеток.

Для построения угла в 135° воспользуемся подсказкой: $135^\circ = 90^\circ + 45^\circ$. Это означает, что угол 135° можно представить как сумму прямого угла и угла в 45°.

1. Выберите на пересечении линий сетки точку, которая будет вершиной угла. Назовём её O.

2. Проведите из точки O первую сторону угла — луч, идущий вдоль горизонтальной линии сетки, например, вправо.

3. Прямой угол (90°) к этой стороне образует луч, идущий из точки O вдоль вертикальной линии сетки (вверх или вниз). Угол 135° будет на 45° больше этого прямого угла.

4. Чтобы добавить 45° к прямому углу, проведите вторую сторону искомого угла из точки O по диагонали клеток в соседнем квадранте. Например, если первая сторона направлена вправо, а прямой угол отложен вверх, то вторая сторона пойдёт по диагонали влево и вверх.

5. Таким образом, тупой угол между лучом, направленным горизонтально вправо, и лучом, направленным по диагонали влево и вверх, будет равен сумме 90° и 45°, то есть 135°.

Ответ: Угол в 135° строится с вершиной в узле сетки; одна его сторона идёт по горизонтальной линии сетки, а вторая — по диагонали клеток в направлении, образующем с первой стороной сумму прямого угла (90°) и острого угла (45°).