Страница 95 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

363 а) Сумма двух чисел равна 432, первое больше второго на 18. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел равна 537, первое меньше второго на 131. Найдите эти числа.

Подсказка. Сделайте схематический рисунок.

а)

Пусть второе (меньшее) число равно $x$. Тогда первое число, которое на 18 больше, будет равно $x + 18$.

Сумма этих двух чисел равна 432. Составим уравнение:

$x + (x + 18) = 432$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$2x + 18 = 432$

$2x = 432 - 18$

$2x = 414$

$x = 414 \div 2$

$x = 207$

Мы нашли второе число, оно равно 207. Теперь найдем первое число:

$207 + 18 = 225$

Проверим: $225 + 207 = 432$. Условие выполняется.

Ответ: первое число – 225, второе число – 207.

б)

Пусть первое (меньшее) число равно $x$. Тогда второе число, которое на 131 больше, будет равно $x + 131$.

Сумма этих двух чисел равна 537. Составим уравнение:

$x + (x + 131) = 537$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$2x + 131 = 537$

$2x = 537 - 131$

$2x = 406$

$x = 406 \div 2$

$x = 203$

Мы нашли первое число, оно равно 203. Теперь найдем второе число:

$203 + 131 = 334$

Проверим: $203 + 334 = 537$. Условие выполняется.

Ответ: первое число – 203, второе число – 334.

364 а) Сумма двух чисел 96, а разность 18. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел 87, а разность 19. Найдите эти числа.

а)

Для решения этой задачи можно составить систему из двух линейных уравнений. Пусть первое число будет $x$, а второе — $y$.

Согласно условию, сумма этих чисел равна 96, что можно записать как первое уравнение:

$x + y = 96$

Их разность равна 18, что дает нам второе уравнение (предположим, что $x$ больше $y$):

$x - y = 18$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 96 \\ x - y = 18 \end{cases} $

Чтобы найти одно из чисел, можно сложить два уравнения. Это позволит исключить переменную $y$:

$(x + y) + (x - y) = 96 + 18$

$2x = 114$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{114}{2}$

$x = 57$

Зная значение $x$, подставим его в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$57 + y = 96$

$y = 96 - 57$

$y = 39$

Итак, искомые числа — 57 и 39. Проверим:

Сумма: $57 + 39 = 96$.

Разность: $57 - 39 = 18$.

Решение верное.

Ответ: 57 и 39.

б)

Аналогично пункту а), обозначим два искомых числа как $x$ и $y$.

По условию, их сумма равна 87, а разность равна 19. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 87 \\ x - y = 19 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы для нахождения $x$:

$(x + y) + (x - y) = 87 + 19$

$2x = 106$

Найдем $x$:

$x = \frac{106}{2}$

$x = 53$

Подставим значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$53 + y = 87$

$y = 87 - 53$

$y = 34$

Искомые числа — 53 и 34. Проверим:

Сумма: $53 + 34 = 87$.

Разность: $53 - 34 = 19$.

Решение верное.

Ответ: 53 и 34.

365 а) Представьте число 75 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых на единицу меньше другого.

б) Представьте число 139 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых на единицу больше другого.

а)

Для решения этой задачи необходимо найти два числа, которые в сумме дают 75 и отличаются друг от друга на 1. Такие числа являются последовательными целыми числами.

Пусть меньшее слагаемое равно $x$. Тогда большее слагаемое, которое на единицу больше, будет равно $(x + 1)$.

Сумма этих двух слагаемых равна 75. Составим уравнение:

$x + (x + 1) = 75$

$2x + 1 = 75$

$2x = 75 - 1$

$2x = 74$

$x = \frac{74}{2}$

$x = 37$

Итак, меньшее слагаемое равно 37.

Большее слагаемое равно $x + 1 = 37 + 1 = 38$.

Проверка: $37 + 38 = 75$. Условие задачи выполнено.

Ответ: $75 = 37 + 38$.

б)

В этом случае нужно найти два числа, сумма которых равна 139, и одно из них на единицу больше другого. Это также означает, что нужно найти два последовательных целых числа.

Пусть меньшее слагаемое равно $y$. Тогда большее слагаемое будет равно $(y + 1)$.

Их сумма равна 139. Составим уравнение:

$y + (y + 1) = 139$

$2y + 1 = 139$

$2y = 139 - 1$

$2y = 138$

$y = \frac{138}{2}$

$y = 69$

Итак, меньшее слагаемое равно 69.

Большее слагаемое равно $y + 1 = 69 + 1 = 70$.

Проверка: $69 + 70 = 139$. Условие задачи выполнено.

Ответ: $139 = 69 + 70$.

366. Найдите три последовательных числа, сумма которых равна:

а) 48;

б) 69.

а)

Чтобы найти три последовательных числа, сумма которых равна заданному числу, можно обозначить эти числа через переменную. Пусть среднее из трех последовательных чисел будет $n$. Тогда предыдущее число будет $n-1$, а следующее — $n+1$.

Сумма этих трех чисел будет:
$(n-1) + n + (n+1) = n - 1 + n + n + 1 = 3n$

По условию, эта сумма равна 48. Составим и решим уравнение:
$3n = 48$
$n = 48 \div 3$
$n = 16$

Мы нашли среднее число, оно равно 16. Теперь найдем два других числа:
Первое число: $n-1 = 16 - 1 = 15$
Третье число: $n+1 = 16 + 1 = 17$

Искомые числа — 15, 16 и 17.
Проверим: $15 + 16 + 17 = 31 + 17 = 48$.

Ответ: 15, 16, 17.

б)

Воспользуемся тем же методом. Пусть три последовательных числа — это $n-1$, $n$ и $n+1$. Их сумма равна $3n$.

По условию, сумма равна 69. Составим и решим уравнение:
$3n = 69$
$n = 69 \div 3$
$n = 23$

Среднее число равно 23. Найдем остальные числа:
Первое число: $n-1 = 23 - 1 = 22$
Третье число: $n+1 = 23 + 1 = 24$

Искомые числа — 22, 23 и 24.
Проверим: $22 + 23 + 24 = 45 + 24 = 69$.

Ответ: 22, 23, 24.

367 а) Андрей на 2 года старше Бориса, а Борис на 1 год старше Василия. Сколько лет каждому, если вместе им 40 лет?

б) Анна на 1 год младше Ольги, а Ольга на 3 года младше Елены. Сколько лет каждой, если вместе им 50 лет?

а)
Давайте решим эту задачу с помощью уравнения. Обозначим возраст самого младшего, Василия, за $x$ лет.
По условию, Борис на 1 год старше Василия, значит, возраст Бориса равен $x + 1$ лет.
Андрей на 2 года старше Бориса, следовательно, возраст Андрея равен $(x + 1) + 2 = x + 3$ лет.
Сумма их возрастов составляет 40 лет. Составим уравнение:
$x + (x + 1) + (x + 3) = 40$
Решим уравнение:
$3x + 4 = 40$
$3x = 40 - 4$
$3x = 36$
$x = \frac{36}{3}$
$x = 12$
Таким образом, мы нашли возраст Василия — ему 12 лет.
Теперь найдем возраст Бориса: $12 + 1 = 13$ лет.
И возраст Андрея: $13 + 2 = 15$ лет.
Проверим, что сумма их возрастов равна 40: $12 + 13 + 15 = 40$.
Ответ: Андрею 15 лет, Борису 13 лет, Василию 12 лет.

б)
Решим вторую задачу аналогично. Обозначим возраст самой младшей, Анны, за $y$ лет.
По условию, Анна на 1 год младше Ольги, значит, Ольга на 1 год старше, и ее возраст равен $y + 1$ лет.
Ольга на 3 года младше Елены, следовательно, Елена старше Ольги на 3 года, и ее возраст равен $(y + 1) + 3 = y + 4$ лет.
Сумма их возрастов составляет 50 лет. Составим уравнение:
$y + (y + 1) + (y + 4) = 50$
Решим уравнение:
$3y + 5 = 50$
$3y = 50 - 5$
$3y = 45$
$y = \frac{45}{3}$
$y = 15$
Таким образом, мы нашли возраст Анны — ей 15 лет.
Теперь найдем возраст Ольги: $15 + 1 = 16$ лет.
И возраст Елены: $16 + 3 = 19$ лет.
Проверим, что сумма их возрастов равна 50: $15 + 16 + 19 = 50$.
Ответ: Анне 15 лет, Ольге 16 лет, Елене 19 лет.

368 Семья состоит из четырёх человек: матери, отца, сына и дочери. Отец на 5 лет старше матери. Мать в 4 раза старше сына и в 5 раз старше дочери. Сколько лет каждому, если сумма их возрастов 103 года?

Подсказка. Примите возраст матери за 20 частей.

Для решения этой задачи воспользуемся подсказкой и представим возраст матери в виде 20 частей. Пусть одна такая часть равна $x$ лет. Тогда возраст матери составляет $20x$ лет.

Теперь выразим возраст остальных членов семьи через $x$, исходя из условий задачи:

• Мать в 4 раза старше сына, следовательно, возраст сына равен возрасту матери, делённому на 4: $20x / 4 = 5x$ лет (5 частей).
• Мать в 5 раз старше дочери, следовательно, возраст дочери равен возрасту матери, делённому на 5: $20x / 5 = 4x$ лет (4 части).
• Отец на 5 лет старше матери, следовательно, его возраст равен возрасту матери плюс 5 лет: $20x + 5$ лет.

Известно, что сумма возрастов всех членов семьи составляет 103 года. Составим уравнение, сложив возрасты всех членов семьи:

(возраст матери) + (возраст отца) + (возраст сына) + (возраст дочери) = 103

$20x + (20x + 5) + 5x + 4x = 103$

Теперь решим это уравнение. Сначала сложим все слагаемые, содержащие $x$:

$(20 + 20 + 5 + 4)x + 5 = 103$

$49x + 5 = 103$

Перенесём 5 в правую часть уравнения:

$49x = 103 - 5$

$49x = 98$

Найдём значение $x$:

$x = 98 / 49$

$x = 2$

Итак, одна часть равна 2 годам. Теперь мы можем найти возраст каждого члена семьи:

• Возраст матери: $20x = 20 * 2 = 40$ лет.
• Возраст отца: $20x + 5 = 40 + 5 = 45$ лет.
• Возраст сына: $5x = 5 * 2 = 10$ лет.
• Возраст дочери: $4x = 4 * 2 = 8$ лет.

Проверим, что сумма возрастов равна 103:

$40 + 45 + 10 + 8 = 103$

Сумма верна.

Ответ: матери 40 лет, отцу 45 лет, сыну 10 лет, а дочери 8 лет.

369 Сравните значения выражений:

a) $11 \cdot 2^4$ и $8 \cdot 11$;

б) $17 \cdot 15$ и $3^3 \cdot 15$;

в) $10^2 \cdot 12$ и $12^2 \cdot 10$;

г) $5^2 \cdot 7 \cdot 11$ и $125 \cdot 11$.

а) Сравним значения выражений $11 \cdot 2^4$ и $8 \cdot 11$.
Оба выражения имеют общий множитель 11. Чтобы сравнить выражения, достаточно сравнить другие множители: $2^4$ и $8$.
Вычислим значение $2^4$:
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Сравниваем $16$ и $8$:
$16 > 8$, следовательно, $2^4 > 8$.
Так как мы умножаем оба числа на одно и то же положительное число 11, знак неравенства не изменится:
$11 \cdot 2^4 > 11 \cdot 8$.
Ответ: $11 \cdot 2^4 > 8 \cdot 11$.

б) Сравним значения выражений $17 \cdot 15$ и $3^3 \cdot 15$.
Оба выражения имеют общий множитель 15. Сравним другие множители: $17$ и $3^3$.
Вычислим значение $3^3$:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Сравниваем $17$ и $27$:
$17 < 27$, следовательно, $17 < 3^3$.
Умножение на положительное число 15 сохраняет знак неравенства:
$17 \cdot 15 < 3^3 \cdot 15$.
Ответ: $17 \cdot 15 < 3^3 \cdot 15$.

в) Сравним значения выражений $10^2 \cdot 12$ и $12^2 \cdot 10$.
Разложим оба выражения на простые множители для удобства сравнения:
Первое выражение: $10^2 \cdot 12 = (10 \cdot 10) \cdot 12$.
Второе выражение: $12^2 \cdot 10 = (12 \cdot 12) \cdot 10$.
Оба выражения содержат общий множитель $10 \cdot 12$. Мы можем разделить оба выражения на это число, чтобы сравнить оставшиеся множители.
От первого выражения останется $10$.
От второго выражения останется $12$.
Сравниваем $10$ и $12$:
$10 < 12$.
Следовательно, исходное первое выражение меньше второго.
$10^2 \cdot 12 < 12^2 \cdot 10$.
Ответ: $10^2 \cdot 12 < 12^2 \cdot 10$.

г) Сравним значения выражений $5^2 \cdot 7 \cdot 11$ и $125 \cdot 11$.
Оба выражения имеют общий множитель 11. Сравним остальные части выражений: $5^2 \cdot 7$ и $125$.
Представим число $125$ как степень числа 5:
$125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5^2 = 5^3$.
Теперь нам нужно сравнить $5^2 \cdot 7$ и $5^3$.
Оба этих выражения имеют общий множитель $5^2$. Разделим их на $5^2$ и сравним оставшиеся множители: $7$ и $5$.
Так как $7 > 5$, то и $5^2 \cdot 7 > 5^2 \cdot 5$, что то же самое, что $5^2 \cdot 7 > 5^3$.
Значит, и исходное первое выражение больше второго.
$5^2 \cdot 7 \cdot 11 > 125 \cdot 11$.
Ответ: $5^2 \cdot 7 \cdot 11 > 125 \cdot 11$.

370 Найдите значение выражения, используя свойства арифметических действий:

а) $(49^2 + 49) + (50^2 - 50);$

б) $(25^2 + 25) - (24^2 + 24);$

в) $20 \cdot 19 - 19 \cdot 18 + 18 \cdot 17 - 17 \cdot 16;$

г) $26 \cdot 25 - 25 \cdot 24 + 24 \cdot 23 - 23 \cdot 22.$

а) $(49^2 + 49) + (50^2 - 50)$

Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения (вынесение общего множителя за скобки). В первой скобке вынесем за скобки $49$, а во второй — $50$.

$(49^2 + 49) + (50^2 - 50) = 49 \cdot (49 + 1) + 50 \cdot (50 - 1) = 49 \cdot 50 + 50 \cdot 49$

Получили сумму двух одинаковых произведений. Упростим выражение:

$49 \cdot 50 + 50 \cdot 49 = 2 \cdot (49 \cdot 50) = 2 \cdot 2450 = 4900$

Ответ: $4900$

б) $(25^2 + 25) - (24^2 + 24)$

Сначала вынесем общие множители за скобки в уменьшаемом и вычитаемом:

$25^2 + 25 = 25 \cdot (25 + 1) = 25 \cdot 26$

$24^2 + 24 = 24 \cdot (24 + 1) = 24 \cdot 25$

Подставим полученные выражения в исходное и снова вынесем общий множитель ($25$) за скобки:

$(25 \cdot 26) - (24 \cdot 25) = 25 \cdot (26 - 24) = 25 \cdot 2 = 50$

Ответ: $50$

в) $20 \cdot 19 - 19 \cdot 18 + 18 \cdot 17 - 17 \cdot 16$

Сгруппируем слагаемые попарно и в каждой группе вынесем общий множитель за скобки:

$(20 \cdot 19 - 19 \cdot 18) + (18 \cdot 17 - 17 \cdot 16) = 19 \cdot (20 - 18) + 17 \cdot (18 - 16)$

Выполним вычитание в скобках:

$19 \cdot 2 + 17 \cdot 2$

Теперь вынесем общий множитель $2$ за скобки:

$2 \cdot (19 + 17) = 2 \cdot 36 = 72$

Ответ: $72$

г) $26 \cdot 25 - 25 \cdot 24 + 24 \cdot 23 - 23 \cdot 22$

Сгруппируем слагаемые попарно, как в предыдущем примере, и вынесем общие множители:

$(26 \cdot 25 - 25 \cdot 24) + (24 \cdot 23 - 23 \cdot 22) = 25 \cdot (26 - 24) + 23 \cdot (24 - 22)$

Выполним вычитание в скобках:

$25 \cdot 2 + 23 \cdot 2$

Вынесем общий множитель $2$ за скобки:

$2 \cdot (25 + 23) = 2 \cdot 48 = 96$

Ответ: $96$

369 Сравните значения выражений:

а) $11 \cdot 2^4$ и $8 \cdot 11$;

б) $17 \cdot 15$ и $3^3 \cdot 15$;

в) $10^2 \cdot 12$ и $12^2 \cdot 10$;

г) $5^2 \cdot 7 \cdot 11$ и $125 \cdot 11$.

370 Найдите значение выражения, используя свойства арифметических действий:

а) $(49^2 + 49) + (50^2 - 50)$;

б) $(25^2 + 25) - (24^2 + 24)$;

в) $20 \cdot 19 - 19 \cdot 18 + 18 \cdot 17 - 17 \cdot 16$;

г) $26 \cdot 25 - 25 \cdot 24 + 24 \cdot 23 - 23 \cdot 22$.

371 Скопируйте рисунок 4.15. Чему равны радиусы дуг окружностей?

Рис. 4.15

369

а) Сравним выражения $11 \cdot 2^4$ и $8 \cdot 11$.
Первое выражение: $11 \cdot 2^4 = 11 \cdot 16 = 176$.
Второе выражение: $8 \cdot 11 = 88$.
Так как $176 > 88$, то $11 \cdot 2^4 > 8 \cdot 11$.
Ответ: $11 \cdot 2^4 > 8 \cdot 11$.

б) Сравним выражения $17 \cdot 15$ и $3^3 \cdot 15$.
Оба выражения имеют общий множитель 15. Сравним другие множители: 17 и $3^3$.
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Так как $17 < 27$, то $17 \cdot 15 < 3^3 \cdot 15$.
Ответ: $17 \cdot 15 < 3^3 \cdot 15$.

в) Сравним выражения $10^2 \cdot 12$ и $12^2 \cdot 10$.
Разложим степени: $10^2 \cdot 12 = 10 \cdot 10 \cdot 12$ и $12^2 \cdot 10 = 12 \cdot 12 \cdot 10$.
Оба выражения имеют общий множитель $10 \cdot 12$. Сравним оставшиеся множители: 10 и 12.
Так как $10 < 12$, то $10 \cdot (10 \cdot 12) < 12 \cdot (10 \cdot 12)$, следовательно $10^2 \cdot 12 < 12^2 \cdot 10$.
Ответ: $10^2 \cdot 12 < 12^2 \cdot 10$.

г) Сравним выражения $5^2 \cdot 7 \cdot 11$ и $125 \cdot 11$.
Преобразуем первое выражение: $5^2 \cdot 7 \cdot 11 = 25 \cdot 7 \cdot 11 = 175 \cdot 11$.
Теперь сравним $175 \cdot 11$ и $125 \cdot 11$.
Так как оба выражения имеют общий множитель 11, а $175 > 125$, то $175 \cdot 11 > 125 \cdot 11$.
Ответ: $5^2 \cdot 7 \cdot 11 > 125 \cdot 11$.

370

а) $(49^2 + 49) + (50^2 - 50)$
Используем распределительное свойство (вынесение общего множителя за скобки):
$49^2 + 49 = 49 \cdot 49 + 49 \cdot 1 = 49 \cdot (49 + 1) = 49 \cdot 50$.
$50^2 - 50 = 50 \cdot 50 - 50 \cdot 1 = 50 \cdot (50 - 1) = 50 \cdot 49$.
Подставим полученные выражения в исходное: $49 \cdot 50 + 50 \cdot 49 = 2 \cdot (49 \cdot 50) = 2 \cdot 2450 = 4900$.
Ответ: 4900.

б) $(25^2 + 25) - (24^2 + 24)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой части:
$25^2 + 25 = 25 \cdot (25 + 1) = 25 \cdot 26$.
$24^2 + 24 = 24 \cdot (24 + 1) = 24 \cdot 25$.
Выражение принимает вид: $25 \cdot 26 - 24 \cdot 25$.
Вынесем общий множитель 25 за скобки: $25 \cdot (26 - 24) = 25 \cdot 2 = 50$.
Ответ: 50.

в) $20 \cdot 19 - 19 \cdot 18 + 18 \cdot 17 - 17 \cdot 16$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(20 \cdot 19 - 19 \cdot 18) + (18 \cdot 17 - 17 \cdot 16) = 19 \cdot (20 - 18) + 17 \cdot (18 - 16) = 19 \cdot 2 + 17 \cdot 2$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2 \cdot (19 + 17) = 2 \cdot 36 = 72$.
Ответ: 72.

г) $26 \cdot 25 - 25 \cdot 24 + 24 \cdot 23 - 23 \cdot 22$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(26 \cdot 25 - 25 \cdot 24) + (24 \cdot 23 - 23 \cdot 22) = 25 \cdot (26 - 24) + 23 \cdot (24 - 22) = 25 \cdot 2 + 23 \cdot 2$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2 \cdot (25 + 23) = 2 \cdot 48 = 96$.
Ответ: 96.

371

На рисунке 4.15 изображены дуги двух концентрических окружностей, то есть окружностей с общим центром. Центр окружностей находится на пересечении центральных линий сетки.
Если принять сторону одной клетки за единицу измерения, то:
1. Радиус дуг, образующих внутреннюю окружность, равен 2 клеткам.
2. Радиус дуг, образующих внешнюю окружность, равен 4 клеткам.
Ответ: Радиусы дуг равны 2 и 4 клеткам (единичным отрезкам).