Страница 99 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

372 Воспользовавшись калькой, найдите на рисунке 5.7 угол, равный углу $A$.

Рис. 5.7

Для решения этой задачи используется метод наложения с помощью кальки (прозрачной бумаги).

1. Положите лист кальки на рисунок и аккуратно обведите лучи, образующие угол A, отметив его вершину.

2. Переместите кальку с обведенным углом так, чтобы его вершина последовательно совмещалась с вершинами других углов на рисунке (B, C, D, F, G, K, N, O).

3. Совместите одну из сторон угла на кальке с одной из сторон проверяемого угла и посмотрите, совпадет ли вторая сторона.

При выполнении этих действий можно заметить, что:

• Углы C, N, D, F являются тупыми, в то время как угол A — острый, поэтому они не могут быть равны.
• Угол G близок к прямому и заметно больше угла A.
• Угол K заметно меньше (острее) угла A.
• Угол B немного больше угла A.
• При наложении на угол O мы увидим, что его вершина и оба луча полностью совпадут с обведенным на кальке углом A.

Таким образом, единственный угол на рисунке, равный углу A, это угол O. Математически это записывается как $∠A = ∠O$.

Ответ: Угол O.

373 Начертите в тетради угол и обозначьте его $\angle AOC$.

а) Проведите луч $OB$ так, чтобы угол $\angle AOB$ был тупым, а угол $\angle COB$ — острым. Сравните эти углы.

б) От руки нарисуйте угол $\angle KDE$, равный углу $\angle AOC$. Проверьте с помощью кальки, действительно ли эти углы равны.

Для выполнения задания сначала начертим в тетради угол AOC. Учитывая условия пункта а), целесообразно сразу начертить тупой угол, то есть угол, градусная мера которого больше $90^\circ$. Пусть, например, $\angle AOC \approx 140^\circ$.

а) Проведем из вершины O луч OB так, чтобы он располагался между лучами OA и OC. По условию, угол AOB должен быть тупым (больше $90^\circ$), а угол COB — острым (меньше $90^\circ$).

Поскольку луч OB делит угол AOC на два угла, справедливо равенство: $\angle AOC = \angle AOB + \angle COB$.

Выберем положение луча OB таким образом, чтобы $\angle AOB$ был тупым, например, пусть $\angle AOB = 110^\circ$. Тогда для угла COB получим:

$\angle COB = \angle AOC - \angle AOB \approx 140^\circ - 110^\circ = 30^\circ$.

Полученный угол $\angle AOB = 110^\circ$ является тупым ($90^\circ < 110^\circ < 180^\circ$), а угол $\angle COB = 30^\circ$ — острым ($0^\circ < 30^\circ < 90^\circ$). Условия задачи выполнены.

Теперь необходимо сравнить эти углы. Угол AOB — тупой, а угол COB — острый. По определению, градусная мера любого тупого угла больше $90^\circ$, а градусная мера любого острого угла меньше $90^\circ$. Следовательно, любой тупой угол всегда больше любого острого угла.

Таким образом, $\angle AOB > \angle COB$.

Ответ: Угол AOB больше угла COB ($\angle AOB > \angle COB$).

б) Данный пункт представляет собой практическое задание на построение и проверку.

Построение угла KDE, равного углу AOC, от руки:

1. Поставьте в тетради точку D — вершину будущего угла.
2. Из точки D проведите луч DK.
3. Посмотрите на исходный угол AOC, оцените его величину ("раскрытие") на глаз и постарайтесь начертить второй луч DE из вершины D так, чтобы угол KDE был визуально равен углу AOC.

Проверка с помощью кальки:

1. Возьмите лист кальки (или любой тонкой прозрачной бумаги) и наложите его на чертеж с углом AOC.
2. Аккуратно перенесите на кальку изображение угла: обведите вершину O и лучи OA и OC.
3. Снимите кальку и наложите ее на чертеж с углом KDE.
4. Совместите точку O на кальке с точкой D на чертеже.
5. Поворачивая кальку вокруг совмещенной вершины, добейтесь совпадения одного из лучей, например, луча OA на кальке с лучом DK на чертеже.
6. Не сдвигая кальку, посмотрите, совпал ли второй луч на кальке (OC) со вторым лучом на чертеже (DE).

Если лучи полностью совпали, то построенный от руки угол равен исходному. Если лучи не совпали, значит, при построении была допущена неточность.

Ответ: Для построения угла KDE нужно визуально скопировать угол AOC. Проверка с помощью кальки заключается в наложении скопированного на кальку угла AOC на угол KDE и проверке совпадения их вершин и сторон. Результат проверки зависит от точности рисунка, сделанного от руки.

374. Какие из углов, изображённых на рисунке 5.7, являются острыми, а какие — тупыми? Есть ли здесь прямой угол?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать изображение "рисунка 5.7", которое не было предоставлено. Без него дать точный ответ невозможно. Однако, можно описать общий подход к решению, основываясь на определениях видов углов.

Для начала, вспомним классификацию углов по их градусной мере:

• Острый угол: угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.
• Прямой угол: угол, градусная мера которого в точности равна $90^\circ$.
• Тупой угол: угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

Какие из углов, изображённых на рисунке 5.7, являются острыми

Чтобы найти острые углы, нужно на рисунке 5.7 выявить все углы, которые на вид меньше прямого угла. Это самые "узкие" углы на чертеже.
Ответ: Необходимо перечислить все острые углы с рисунка.

а какие — тупыми

Чтобы найти тупые углы, нужно на рисунке 5.7 выявить все углы, которые на вид больше прямого, но меньше развёрнутого угла (прямой линии). Это "широко раскрытые" углы.
Ответ: Необходимо перечислить все тупые углы с рисунка.

Есть ли здесь прямой угол

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти на рисунке угол, который равен $90^\circ$. Часто такой угол обозначается специальным символом в виде маленького квадрата в его вершине. Если такой угол найден, ответ будет "Да". В противном случае — "Нет".
Ответ: Необходимо указать, есть ли на рисунке прямой угол, и если есть, назвать его.

375 Скопируйте в тетрадь углы, изображённые на рисунке 5.8. Какой из этих углов острый, какой — тупой, а какой — прямой?

Угол $\angle BAC$: острый.

Угол $\angle CKE$: острый.

Угол $\angle KED$: тупой.

Угол $\angle DON$: тупой.

Для определения вида каждого угла (острый, тупой или прямой) проанализируем его, используя линии сетки.

• Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.
• Прямой угол — это угол, равный ровно $90^\circ$. Его стороны перпендикулярны друг другу.
• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

Угол ABC

Чтобы определить вид этого угла, сравним его с прямым углом. Сторона угла $BC$ расположена на горизонтальной линии сетки. Если бы угол $ABC$ был прямым, то его вторая сторона, $BA$, была бы направлена строго вертикально вверх, вдоль вертикальной линии сетки. Однако на рисунке мы видим, что сторона $BA$ наклонена и проходит внутри этого воображаемого прямого угла. Это означает, что градусная мера угла $ABC$ меньше $90^\circ$. Следовательно, этот угол является острым.

Ответ: Угол $ABC$ — острый.

Угол KED

Визуально угол $KED$ кажется больше прямого угла. Чтобы убедиться в этом, можно использовать метод координат. Примем точку $E$ за начало координат $(0,0)$.

Определим по сетке координаты точек $K$ и $D$ относительно $E$. Точка $K$ смещена на 2 клетки влево и 1 клетку вверх, её координаты $(-2, 1)$. Точка $D$ смещена на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх, её координаты $(3, 1)$.

Угол между векторами $\vec{EK}=(-2, 1)$ и $\vec{ED}=(3, 1)$ можно определить по знаку их скалярного произведения: $\vec{EK} \cdot \vec{ED}$. Если произведение отрицательно, угол тупой.

Вычислим скалярное произведение: $(-2) \cdot 3 + 1 \cdot 1 = -6 + 1 = -5$.

Поскольку результат ($-5$) отрицателен, угол $KED$ больше $90^\circ$, то есть является тупым.

Ответ: Угол $KED$ — тупой.

Угол MON

Для определения вида угла $MON$ также воспользуемся координатной сеткой. Пусть вершина $O$ будет в начале координат $(0,0)$.

Сторона $OM$ проходит через точку $M$, которая находится на 2 клетки левее и 2 клетки выше от $O$. Её координаты $(-2, 2)$.

Сторона $ON$ проходит через точку $N$, которая находится на 2 клетки правее и 2 клетки выше от $O$. Её координаты $(2, 2)$.

Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов (наклонов) равно $-1$. Найдем угловые коэффициенты для лучей $OM$ и $ON$.

Угловой коэффициент луча $OM$: $k_1 = \frac{2 - 0}{-2 - 0} = \frac{2}{-2} = -1$.

Угловой коэффициент луча $ON$: $k_2 = \frac{2 - 0}{2 - 0} = \frac{2}{2} = 1$.

Проверим произведение коэффициентов: $k_1 \cdot k_2 = (-1) \cdot 1 = -1$.

Так как произведение равно $-1$, лучи $OM$ и $ON$ перпендикулярны. Это означает, что угол $MON$ равен $90^\circ$ и является прямым.

Ответ: Угол $MON$ — прямой.

376 Начертите на отдельном листе бумаги в клетку прямой угол. С помощью перегибания найдите его биссектрису и начертите её карандашом.

Для выполнения данного практического задания необходимо последовательно выполнить следующие шаги:

Начертите на отдельном листе бумаги в клетку прямой угол.

Возьмите лист бумаги в клетку. Выберите точку на пересечении линий сетки — это будет вершина нашего угла, назовём её, например, O. Приложите линейку к одной из линий сетки (например, горизонтальной) и проведите из точки O луч OA. Затем приложите линейку к перпендикулярной ей линии (вертикальной), проходящей через ту же точку O, и проведите второй луч OB. Угол AOB, образованный этими лучами, является прямым, так как его градусная мера составляет $90^\circ$.

С помощью перегибания найдите его биссектрису.

Возьмите лист с начерченным углом. Аккуратно согните бумагу так, чтобы луч OA (одна сторона угла) полностью лёг на луч OB (другую сторону угла). Линия сгиба должна точно проходить через вершину угла O. Тщательно прогладьте сгиб, чтобы на бумаге остался чёткий след. После этого разверните лист. Полученная линия сгиба является биссектрисой прямого угла. Биссектриса — это луч, который делит угол на два равных угла. В данном случае она разделит прямой угол на два угла по $45^\circ$ каждый ($90^\circ \div 2 = 45^\circ$).

Начертите её карандашом.

Приложите линейку к линии сгиба и аккуратно проведите по ней карандашом луч, выходящий из вершины O. Этот луч и есть искомая биссектриса прямого угла. На листе в клетку вы можете заметить, что построенная биссектриса проходит ровно по диагоналям клеток, что подтверждает правильность построения.

Ответ: В результате выполнения действий на листе бумаги начерчен прямой угол и его биссектриса, найденная с помощью перегибания. Биссектриса делит прямой угол $90^\circ$ на два равных угла по $45^\circ$.

377 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Представьте, что вам необходимо проверить, является ли угол прямым, а у вас нет под рукой угольника. На рисунке 5.9 показано, как с помощью перегибания листа бумаги можно получить прямой угол. Возьмите лист бумаги и выполните изображённые действия.

Рис. 5.9

Задача заключается в том, чтобы объяснить, как с помощью перегибания листа бумаги можно получить прямой угол, и почему этот метод работает. Метод основан на фундаментальном свойстве геометрии: делении развёрнутого угла пополам.

Пошаговые действия

1. Возьмите обычный лист бумаги. Форма листа не имеет значения. Сделайте первый сгиб в любом месте, тщательно его прогладив. Этот сгиб образует на бумаге прямую линию.

2. Теперь необходимо сделать второй сгиб. Для этого нужно совместить первую линию сгиба саму с собой, то есть наложить одну часть этой линии на другую. После совмещения аккуратно прогладьте новую линию сгиба.

3. Разверните лист. Вы увидите две пересекающиеся линии сгиба. Все четыре угла, образованные в точке их пересечения, являются прямыми ($90^\circ$).

Геометрическое обоснование

Первый сгиб, который мы делаем на листе, создаёт прямую линию. Любая точка на этой линии может рассматриваться как вершина развёрнутого угла. Градусная мера развёрнутого угла, как известно, составляет $180^\circ$.

Второй сгиб, при котором мы совмещаем первую линию сгиба с самой собой, проходит через вершину этого развёрнутого угла и делит его на два смежных угла. Поскольку при сгибании одна часть прямой накладывается точно на другую, эти два смежных угла оказываются равными.

Обозначим эти два равных смежных угла как $\alpha$ и $\beta$. Поскольку вместе они образуют развёрнутый угол, их сумма равна $180^\circ$.

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Так как по построению $\alpha = \beta$, мы можем заменить $\beta$ на $\alpha$ в уравнении:

$\alpha + \alpha = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ$

Отсюда находим величину одного угла:

$\alpha = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Таким образом, угол, образованный пересечением двух линий сгиба, является прямым. Полученную модель прямого угла можно использовать как эталон для проверки других углов на практике.

Ответ: Данный метод позволяет получить прямой угол, так как второй сгиб, при котором линия первого сгиба совмещается сама с собой, делит развёрнутый угол ($180^\circ$) на два равных смежных угла. Величина каждого из этих углов составляет половину от $180^\circ$, то есть $90^\circ$.