Страница 106 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

403 АНАЛИЗИРУЕМ

1) Измерьте величину каждого угла треугольника $ABC$ (рис. 5.25). Назовите углы в порядке возрастания их градусных мер.

2) Измерьте длины сторон треугольника $ABC$. Назовите стороны в порядке убывания их длин.

3) Назовите угол треугольника, который лежит против стороны $AB$; стороны $BC$; стороны $AC$. Верно ли, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол?

Рис. 5.25

1) Используя транспортир для измерения углов треугольника ABC, получим следующие приблизительные значения:

Угол A, $∠A = 90°$ (прямой угол).

Угол C, $∠C \approx 37°$.

Угол B, $∠B \approx 53°$.

Сумма углов треугольника равна $180°$, что подтверждается нашими измерениями: $90° + 37° + 53° = 180°$.

Сравнив градусные меры углов, расположим их в порядке возрастания: $37° < 53° < 90°$, что соответствует $∠C < ∠B < ∠A$.

Ответ: Углы в порядке возрастания их градусных мер: ∠C, ∠B, ∠A.

2) Используя линейку для измерения длин сторон треугольника ABC, получим следующие приблизительные значения (конкретные числа зависят от масштаба изображения, но их соотношение сохранится):

Длина стороны AB $ \approx 3$ условных единицы.

Длина стороны AC $ \approx 4$ условных единиц.

Длина стороны BC $ \approx 5$ условных единиц.

Сравнив длины сторон, расположим их в порядке убывания: $5 > 4 > 3$, что соответствует $BC > AC > AB$.

Ответ: Стороны в порядке убывания их длин: BC, AC, AB.

3) Угол треугольника лежит против стороны, если его вершина не является концом этой стороны.

- Против стороны AB лежит угол C ($∠BCA$).

- Против стороны BC лежит угол A ($∠BAC$).

- Против стороны AC лежит угол B ($∠ABC$).

Проверим утверждение: «Верно ли, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол?»

Из предыдущих пунктов мы установили:

- Порядок сторон по убыванию длины: $BC > AC > AB$.

- Порядок соответствующих им противолежащих углов: $∠A, ∠B, ∠C$.

- Порядок этих углов по убыванию их градусной меры: $∠A > ∠B > ∠C$.

Мы видим, что самой длинной стороне BC соответствует самый большой угол A. Средней по длине стороне AC соответствует средний по величине угол B. Самой короткой стороне AB соответствует самый маленький угол C. Таким образом, соотношение сохраняется: большей стороне соответствует больший противолежащий угол. Утверждение верно.

Ответ: Против стороны AB лежит угол C; против стороны BC лежит угол A; против стороны AC лежит угол B. Да, верно, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол.

Верно ли, что против большей стороны в треугольнике лежит большой угол?

404 Назовите четырёхугольник (рис. 5.26). Назовите его равные стороны и равные углы. Скопируйте четырёхугольник в тетрадь. Выполнив необходимые измерения, найдите его периметр.

405 Скопируйте пятиугольник (рис. 5.27) в тетрадь. Проведите все диагонали пятиугольника и запишите их.

406 В Е Р Н О И Л И Н Е В Е Р Н О Рассмотрите рисунок

Назовите четырёхугольник (рис. 5.26).
Четырёхугольник, изображённый на рисунке, имеет вершины E, F, H, D. Его можно назвать EFHD. Рассматривая его расположение на клетчатой бумаге, можно заключить, что все стороны этого четырёхугольника равны, а все углы — прямые. Следовательно, эта фигура является квадратом.
Ответ: Четырёхугольник EFHD.

Назовите его равные стороны и равные углы.
Поскольку четырёхугольник EFHD — это квадрат, у него все стороны равны между собой и все углы равны между собой.
Равные стороны: $EF = FH = HD = DE$.
Равные углы: $\angle E = \angle F = \angle H = \angle D = 90^\circ$.
Ответ: Равные стороны — $EF, FH, HD, DE$. Равные углы — $\angle E, \angle F, \angle H, \angle D$.

Скопируйте четырёхугольник в тетрадь. Выполнив необходимые измерения, найдите его периметр.
Чтобы найти периметр, нужно сначала скопировать фигуру в тетрадь по клеткам, а затем произвести измерения.
1. Начертите в тетради четырёхугольник EFHD, точно воспроизводя его по клеткам. Каждая сторона фигуры является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 3 клеткам.
2. С помощью линейки измерьте длину одной любой стороны, например, EF.
3. Периметр $P$ квадрата вычисляется по формуле $P = 4 \cdot a$, где $a$ — длина его стороны.

Пример вычисления:
Допустим, сторона одной клетки в вашей тетради равна 5 мм. Тогда катеты упомянутого прямоугольного треугольника равны $3 \cdot 5 = 15$ мм. По теореме Пифагора найдём длину стороны квадрата $a$:
$a = \sqrt{(15 \text{ мм})^2 + (15 \text{ мм})^2} = \sqrt{225 + 225} = \sqrt{450}$ мм.
Упростим выражение: $a = \sqrt{225 \cdot 2} = 15\sqrt{2}$ мм.
Для практического измерения, $ \sqrt{2} \approx 1.41 $, тогда $a \approx 15 \cdot 1.41 = 21.15$ мм, или примерно 2,1 см.
Теперь вычислим периметр: $P = 4 \cdot a = 4 \cdot 15\sqrt{2} = 60\sqrt{2}$ мм.
Приближенное значение периметра: $P \approx 60 \cdot 1.41 = 84.6$ мм, или 8,46 см.
Ваш результат будет зависеть от размера клеток в тетради и точности измерения.
Ответ: Периметр равен учетверенной длине одной из его сторон, которую необходимо измерить линейкой после копирования фигуры в тетрадь. При стороне клетки 5 мм периметр равен $60\sqrt{2}$ мм (приблизительно 8,5 см).

405 Скопируйте пятиугольник (рис. 5.27) в тетрадь. Проведите все диагонали пятиугольника и запишите их.

Рис. 5.27

Диагональ многоугольника — это отрезок, который соединяет две его несоседние (не смежные) вершины. В пятиугольнике ABCDE вершинами являются точки A, B, C, D и E. Чтобы провести и записать все диагонали, необходимо соединить каждую вершину с теми, которые не являются для нее соседними.

Проведение и запись диагоналей
Будем последовательно рассматривать каждую вершину:
- Из вершины A можно провести диагонали к несоседним вершинам C и D. Получаем диагонали: AC и AD.
- Из вершины B можно провести диагонали к несоседним вершинам D и E. Получаем диагонали: BD и BE.
- Из вершины C можно провести диагонали к несоседним вершинам E и A. Диагональ CA уже записана как AC. Добавляем новую диагональ: CE.
- Из вершины D можно провести диагонали к несоседним вершинам A и B. Диагонали DA и DB уже записаны как AD и BD.
- Из вершины E можно провести диагонали к несоседним вершинам B и C. Диагонали EB и EC уже записаны как BE и CE.

Таким образом, мы нашли все 5 диагоналей пятиугольника. Их количество можно проверить по формуле числа диагоналей для $n$-угольника: $D = \frac{n(n-3)}{2}$.
Для пятиугольника ($n=5$): $D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.

Ответ: AC, AD, BD, BE, CE.

406 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Рассмотрите рисунок 5.27 и скажите, верно ли утверждение:

1) В пятиугольнике $ABCDE$ угол $A$ прямой.

2) Стороны $DE$ и $DC$ равны.

3) Из всех сторон пятиугольника наибольшую длину имеет сторона $BC$.

4) Периметр пятиугольника больше 5 см.

5) Длина диагонали $BE$ больше длины стороны $AE$.

Придумайте два утверждения о данном пятиугольнике: верное и неверное. Попросите одноклассников ответить, верны ли ваши утверждения.

407 Чему равен периметр треугольника $ABC$ со сторонами:

a) $AB = 3$ см, $BC = 4$ см 5 мм, $AC = 5$ см 3 мм;

Для анализа утверждений введем систему координат, приняв сторону одной клетки сетки за единицу длины. Пусть вершина E находится в начале координат (0, 0). Тогда координаты остальных вершин будут:

• A = (0, 4)
• B = (4, 4)
• C = (6, 1)
• D = (3, -1)

Теперь проверим каждое утверждение.

1) В пятиугольнике ABCDE угол A прямой.

Угол A образован сторонами AE и AB. Вектор, соответствующий стороне AE, имеет координаты $\vec{AE} = (0-0, 4-0) = (0, 4)$. Вектор, соответствующий стороне AB, имеет координаты $\vec{AB} = (4-0, 4-4) = (4, 0)$. Вектор $\vec{AE}$ является вертикальным (параллелен оси OY), а вектор $\vec{AB}$ — горизонтальным (параллелен оси OX). Угол между вертикальным и горизонтальным векторами составляет $90^{\circ}$. Следовательно, угол A — прямой.

Ответ: Верно.

2) Стороны DE и DC равны.

Найдем длины сторон DE и DC, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
Длина стороны DE (расстояние между D(3, -1) и E(0, 0)):
$DE = \sqrt{(0-3)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.
Длина стороны DC (расстояние между D(3, -1) и C(6, 1)):
$DC = \sqrt{(6-3)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.
Поскольку $\sqrt{10} \neq \sqrt{13}$, длины сторон DE и DC не равны.

Ответ: Неверно.

3) Из всех сторон пятиугольника наибольшую длину имеет сторона BC.

Найдем длины всех сторон пятиугольника:
$AE = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16} = 4$.
$AB = \sqrt{(4-0)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{16} = 4$.
$BC = \sqrt{(6-4)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.
$CD = \sqrt{(3-6)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.
$DE = \sqrt{(0-3)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.
Сравнивая длины сторон ($4, 4, \sqrt{13}, \sqrt{13}, \sqrt{10}$), видим, что наибольшую длину (4) имеют стороны AE и AB. Длина стороны BC ($\sqrt{13} \approx 3.61$) меньше, чем 4. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

4) Периметр пятиугольника больше 5 см.

Даже если в задаче не указан масштаб, стандартным предположением для таких задач является то, что сторона одной клетки сетки равна 1 см. Периметр P — это сумма длин всех сторон:
$P = AE + AB + BC + CD + DE = 4 + 4 + \sqrt{13} + \sqrt{13} + \sqrt{10} = 8 + 2\sqrt{13} + \sqrt{10}$.
Приближенные значения корней: $\sqrt{13} \approx 3.61$ см, $\sqrt{10} \approx 3.16$ см.
$P \approx 8 + 2 \cdot 3.61 + 3.16 = 8 + 7.22 + 3.16 = 18.38$ см.
Так как $18.38 \text{ см} > 5 \text{ см}$, утверждение верно.

Ответ: Верно.

5) Длина диагонали BE больше длины стороны AE.

Найдем длину диагонали BE, соединяющей точки B(4, 4) и E(0, 0):
$BE = \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32}$.
Длина стороны AE равна 4. Сравним длины $BE$ и $AE$, представив 4 в виде корня: $4 = \sqrt{16}$.
Поскольку $32 > 16$, то $\sqrt{32} > \sqrt{16}$, а значит, $BE > AE$.

Ответ: Верно.

Придумайте два утверждения о данном пятиугольнике: верное и неверное.

Верное утверждение: Угол C в пятиугольнике ABCDE является прямым.
(Это можно доказать, вычислив скалярное произведение векторов $\vec{CB}$ и $\vec{CD}$. Вектор $\vec{CB}=(4-6, 4-1)=(-2, 3)$, вектор $\vec{CD}=(3-6, -1-1)=(-3, -2)$. Их скалярное произведение $\vec{CB} \cdot \vec{CD} = (-2)(-3) + (3)(-2) = 6-6=0$. Нулевое скалярное произведение означает, что векторы перпендикулярны, следовательно угол C равен $90^{\circ}$.)

Неверное утверждение: Пятиугольник ABCDE является правильным.
(Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. В данном пятиугольнике, как было показано выше, не все стороны равны (например, $AB=4$, а $DE=\sqrt{10}$) и не все углы равны (например, угол A прямой, а угол B — тупой).)