Номер 406, страница 106 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.3. Ломаные и многоугольники. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 406, страница 106.

406 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Рассмотрите рисунок 5.27 и скажите, верно ли утверждение:

1) В пятиугольнике $ABCDE$ угол $A$ прямой.

2) Стороны $DE$ и $DC$ равны.

3) Из всех сторон пятиугольника наибольшую длину имеет сторона $BC$.

4) Периметр пятиугольника больше 5 см.

5) Длина диагонали $BE$ больше длины стороны $AE$.

Придумайте два утверждения о данном пятиугольнике: верное и неверное. Попросите одноклассников ответить, верны ли ваши утверждения.

407 Чему равен периметр треугольника $ABC$ со сторонами:

a) $AB = 3$ см, $BC = 4$ см 5 мм, $AC = 5$ см 3 мм;

Для анализа утверждений введем систему координат, приняв сторону одной клетки сетки за единицу длины. Пусть вершина E находится в начале координат (0, 0). Тогда координаты остальных вершин будут:

• A = (0, 4)
• B = (4, 4)
• C = (6, 1)
• D = (3, -1)

Теперь проверим каждое утверждение.

1) В пятиугольнике ABCDE угол A прямой.

Угол A образован сторонами AE и AB. Вектор, соответствующий стороне AE, имеет координаты $\vec{AE} = (0-0, 4-0) = (0, 4)$. Вектор, соответствующий стороне AB, имеет координаты $\vec{AB} = (4-0, 4-4) = (4, 0)$. Вектор $\vec{AE}$ является вертикальным (параллелен оси OY), а вектор $\vec{AB}$ — горизонтальным (параллелен оси OX). Угол между вертикальным и горизонтальным векторами составляет $90^{\circ}$. Следовательно, угол A — прямой.

Ответ: Верно.

2) Стороны DE и DC равны.

Найдем длины сторон DE и DC, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
Длина стороны DE (расстояние между D(3, -1) и E(0, 0)):
$DE = \sqrt{(0-3)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.
Длина стороны DC (расстояние между D(3, -1) и C(6, 1)):
$DC = \sqrt{(6-3)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.
Поскольку $\sqrt{10} \neq \sqrt{13}$, длины сторон DE и DC не равны.

Ответ: Неверно.

3) Из всех сторон пятиугольника наибольшую длину имеет сторона BC.

Найдем длины всех сторон пятиугольника:
$AE = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16} = 4$.
$AB = \sqrt{(4-0)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{16} = 4$.
$BC = \sqrt{(6-4)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.
$CD = \sqrt{(3-6)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.
$DE = \sqrt{(0-3)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.
Сравнивая длины сторон ($4, 4, \sqrt{13}, \sqrt{13}, \sqrt{10}$), видим, что наибольшую длину (4) имеют стороны AE и AB. Длина стороны BC ($\sqrt{13} \approx 3.61$) меньше, чем 4. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

4) Периметр пятиугольника больше 5 см.

Даже если в задаче не указан масштаб, стандартным предположением для таких задач является то, что сторона одной клетки сетки равна 1 см. Периметр P — это сумма длин всех сторон:
$P = AE + AB + BC + CD + DE = 4 + 4 + \sqrt{13} + \sqrt{13} + \sqrt{10} = 8 + 2\sqrt{13} + \sqrt{10}$.
Приближенные значения корней: $\sqrt{13} \approx 3.61$ см, $\sqrt{10} \approx 3.16$ см.
$P \approx 8 + 2 \cdot 3.61 + 3.16 = 8 + 7.22 + 3.16 = 18.38$ см.
Так как $18.38 \text{ см} > 5 \text{ см}$, утверждение верно.

Ответ: Верно.

5) Длина диагонали BE больше длины стороны AE.

Найдем длину диагонали BE, соединяющей точки B(4, 4) и E(0, 0):
$BE = \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32}$.
Длина стороны AE равна 4. Сравним длины $BE$ и $AE$, представив 4 в виде корня: $4 = \sqrt{16}$.
Поскольку $32 > 16$, то $\sqrt{32} > \sqrt{16}$, а значит, $BE > AE$.

Ответ: Верно.

---

Придумайте два утверждения о данном пятиугольнике: верное и неверное.

Верное утверждение: Угол C в пятиугольнике ABCDE является прямым.
(Это можно доказать, вычислив скалярное произведение векторов $\vec{CB}$ и $\vec{CD}$. Вектор $\vec{CB}=(4-6, 4-1)=(-2, 3)$, вектор $\vec{CD}=(3-6, -1-1)=(-3, -2)$. Их скалярное произведение $\vec{CB} \cdot \vec{CD} = (-2)(-3) + (3)(-2) = 6-6=0$. Нулевое скалярное произведение означает, что векторы перпендикулярны, следовательно угол C равен $90^{\circ}$.)

Неверное утверждение: Пятиугольник ABCDE является правильным.
(Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. В данном пятиугольнике, как было показано выше, не все стороны равны (например, $AB=4$, а $DE=\sqrt{10}$) и не все углы равны (например, угол A прямой, а угол B — тупой).)