Номер 409, страница 107 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.3. Ломаные и многоугольники. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 409, страница 107.

409 Отметьте в тетради три точки, не принадлежащие одной прямой. Начертите два треугольника так, чтобы у одного из них эти точки являлись вершинами, а у другого принадлежали его сторонам, но не являлись вершинами. Периметр какого треугольника больше?

Для решения задачи обозначим три заданные точки, не лежащие на одной прямой, как $A$, $B$ и $C$.

Согласно условию, необходимо начертить два треугольника.

1. Первый треугольник, назовем его $T_1$, имеет своими вершинами точки $A$, $B$ и $C$. Это треугольник $\triangle ABC$. Его периметр, обозначим его $P_1$, равен сумме длин его сторон: $P_1 = AB + BC + CA$.

2. Второй треугольник, назовем его $T_2$, должен быть таким, чтобы точки $A$, $B$ и $C$ принадлежали его сторонам, но не являлись его вершинами. Назовем вершины этого треугольника $D$, $E$ и $F$. Мы можем построить $\triangle DEF$ так, чтобы точка $A$ лежала на стороне $DE$, точка $B$ — на стороне $EF$, а точка $C$ — на стороне $FD$. Периметр этого треугольника, обозначим его $P_2$, равен $P_2 = DE + EF + FD$.

Периметр какого треугольника больше?

Для того чтобы сравнить периметры $P_1$ и $P_2$, рассмотрим три треугольника, которые образуются в углах большого треугольника $\triangle DEF$: это $\triangle ADC$, $\triangle BEA$ и $\triangle CFB$.

К каждому из этих треугольников применим неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Для $\triangle ADC$ справедливо неравенство: $DA + DC > AC$.

Для $\triangle BEA$ справедливо неравенство: $BE + AE > AB$.

Для $\triangle CFB$ справедливо неравенство: $CF + BF > BC$.

Теперь сложим левые и правые части этих трех неравенств:

$(DA + DC) + (BE + AE) + (CF + BF) > AC + AB + BC$

Перегруппируем слагаемые в левой части полученного неравенства:

$(DA + AE) + (BE + BF) + (CF + DC) > AC + AB + BC$

Заметим, что выражения в скобках являются сторонами треугольника $\triangle DEF$, так как точка $A$ лежит на отрезке $DE$ (значит, $DA + AE = DE$), точка $B$ лежит на отрезке $EF$ ($BE + BF = EF$), и точка $C$ лежит на отрезке $FD$ ($CF + DC = FD$).

Подставив эти значения, получим:

$DE + EF + FD > AC + AB + BC$

Левая часть этого неравенства — это периметр второго треугольника ($P_2$), а правая часть — периметр первого треугольника ($P_1$). Таким образом, мы доказали, что:

$P_2 > P_1$

Это означает, что периметр треугольника, у которого данные точки лежат на сторонах, всегда больше периметра треугольника, у которого эти точки являются вершинами.

Ответ: Периметр треугольника, у которого данные точки принадлежат сторонам, но не являются вершинами, больше.