Номер 414, страница 108 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.3. Ломаные и многоугольники. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 414, страница 108.

Рис. 5.31

Рис. 5.32

414 СТРОИМ ПО АЛГОРИТМУ Рассмотрите рисунок 5.31.

1) Ответьте на вопросы по рисунку:

а) Чему равен радиус окружности?

б) Верно ли, что прямые (1)–(4) проходят через центр окружности?

в) Чему равна величина угла $AOB$? угла $BOC$?

2) Постройте восьмиугольник $ABCDEFGH$, воспользовавшись следующим алгоритмом:

Отметьте точку $O$ и начертите окружность с центром в точке $O$ и радиусом 2 см.

Проведите прямые (1)–(4).

Отметьте вершины восьмиугольника.

Последовательно соедините отмеченные точки отрезками.

1) Ответьте на вопросы по рисунку:

а) Чему равен радиус окружности?

Радиус окружности — это расстояние от ее центра (точка O) до любой точки на самой окружности. На рисунке 5.31 окружность наложена на клетчатую сетку. Если принять сторону одной клетки за единицу длины, то можно увидеть, что расстояние от центра O до точки C (пересечение с горизонтальной осью) составляет 3 клетки. То же самое расстояние от O до G, от O до E и до верхней точки на вертикальной оси. Следовательно, радиус окружности равен 3 условным единицам (клеткам).
Ответ: Радиус окружности равен 3 клеткам.

б) Верно ли, что прямые ①–④ проходят через центр окружности?

На рисунке видно, что все четыре прямые, обозначенные цифрами ①, ②, ③ и ④, пересекаются в одной точке — точке O. Точка O является центром окружности. Отрезки, лежащие на этих прямых и соединяющие противоположные точки окружности (например, GC на прямой ③ или AE на прямой ①), являются диаметрами. Любой диаметр по определению проходит через центр окружности.
Ответ: Да, верно.

в) Чему равна величина угла AOB? угла BOC?

Вершины восьмиугольника A, B, C, D, E, F, G, H делят окружность на 8 равных дуг. Центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны между собой. Полный угол вокруг центра O составляет $360^\circ$. Так как восьмиугольник является правильным (что следует из симметрии построения), все центральные углы, образованные соседними вершинами, равны.
Величина каждого такого угла равна:
$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = ... = \angle HOA = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$
Таким образом, и угол AOB, и угол BOC равны $45^\circ$.
Ответ: $\angle AOB = 45^\circ$, $\angle BOC = 45^\circ$.

2) Постройте восьмиугольник ABCDEFGH, воспользовавшись следующим алгоритмом:

Для построения правильного восьмиугольника ABCDEFGH с радиусом описанной окружности 2 см, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Отметить на плоскости точку O, которая будет центром окружности.
2. С помощью циркуля начертить окружность с центром в точке O и радиусом 2 см.
3. Провести через центр O четыре прямые (диаметры) так, чтобы они делили окружность на 8 равных частей. Для этого сначала проводят два перпендикулярных диаметра, а затем строят биссектрисы прямых углов между ними. Угол между любыми двумя соседними прямыми будет равен $45^\circ$.
4. Отметить 8 точек пересечения этих прямых с окружностью — это будут вершины восьмиугольника.
5. Последовательно соединить отрезками отмеченные вершины. Полученная фигура ABCDEFGH и будет искомым правильным восьмиугольником.
Ответ: Описание построения приведено в виде последовательности шагов выше.