Номер 413, страница 107 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.3. Ломаные и многоугольники. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 413, страница 107.

а) Сколько треугольников на рисунке 5.28?

б) Сколько четырёхугольников на рисунке 5.29?

413

ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

Число диагоналей многоугольника (рис. 5.30) можно подсчитать так:

• найти число диагоналей, выходящих из одной вершины, — их на 3 меньше, чем вершин;
• умножить это число на число вершин;
• разделить результат на 2 (объясните почему).

Сколько диагоналей у семиугольника, десятиугольника, стоугольника?

Рис. 5.30

Для решения задачи воспользуемся предложенным алгоритмом и выведем из него общую формулу для подсчета количества диагоналей в многоугольнике с $n$ вершинами.

1. Найти число диагоналей, выходящих из одной вершины. Из любой вершины многоугольника можно провести диагональ ко всем другим вершинам, кроме самой себя и двух соседних (отрезки, соединяющие вершину с соседними, являются сторонами, а не диагоналями). Таким образом, из одной вершины выходит $n-3$ диагонали.
2. Умножить это число на число вершин. Поскольку в многоугольнике $n$ вершин, то общее число "исходящих" диагоналей будет равно $n \times (n-3)$.
3. Разделить результат на 2 (объяснение). На предыдущем шаге мы посчитали каждую диагональ ровно дважды. Например, диагональ, соединяющая вершину A и вершину C, была учтена и как выходящая из вершины A (в C), и как выходящая из вершины C (в A). Так как это одна и та же диагональ, для получения истинного числа уникальных диагоналей результат необходимо разделить на 2.

Таким образом, итоговая формула для числа диагоналей $D$ в $n$-угольнике выглядит так:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Теперь применим эту формулу для каждого случая.

Сколько диагоналей у семиугольника

У семиугольника $n=7$ вершин. Подставляем это значение в формулу:

$D = \frac{7 \times (7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$

Ответ: 14.

Сколько диагоналей у десятиугольника

У десятиугольника $n=10$ вершин. Подставляем это значение в формулу:

$D = \frac{10 \times (10-3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$

Ответ: 35.

Сколько диагоналей у стоугольника

У стоугольника $n=100$ вершин. Подставляем это значение в формулу:

$D = \frac{100 \times (100-3)}{2} = \frac{100 \times 97}{2} = \frac{9700}{2} = 4850$

Ответ: 4850.