Номер 415, страница 108 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.3. Ломаные и многоугольники. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 415, страница 108.

415 Ищем способ подсчёта

Найдите все 35 треугольников на рисунке 5.32.

Рис. 5.32

Для того чтобы найти и посчитать все 35 треугольников на рисунке, не пропустив ни одного и не посчитав какой-либо дважды, разобьем их на группы по типу вершин, которые их образуют. Вершины на рисунке можно разделить на две категории: 5 внешних (A, B, C, D, E) и 5 внутренних (O, F, G, H, K).

1. Треугольники, все три вершины которых являются внешними

Такие треугольники образуются выбором любых трех вершин из пяти доступных (A, B, C, D, E). Количество таких комбинаций можно рассчитать по формуле сочетаний:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

Эти 10 треугольников можно разделить на два вида:

• 5 "остроконечных" треугольников, образующих лучи звезды: ΔABD, ΔBCE, ΔCDA, ΔDEB, ΔEAC.
• 5 "тупоконечных" треугольников, образованных двумя сторонами внешнего пятиугольника и диагональю: ΔABC, ΔBCD, ΔCDE, ΔDEA, ΔEAB.

Ответ: 10 треугольников.

2. Треугольники, имеющие две внешние вершины и одну внутреннюю

Эти треугольники можно систематически найти, рассматривая каждую сторону внешнего пятиугольника и соединяя ее с внутренними вершинами. Возьмем, к примеру, сторону AB. С ней можно образовать два треугольника, используя внутренние вершины, лежащие на диагоналях, выходящих из A и B:

• Треугольник ΔABO (вершина O лежит на диагонали AC, выходящей из A).
• Треугольник ΔABF (вершина F лежит на диагонали BD, выходящей из B).

Поскольку у внешнего пятиугольника 5 сторон, и для каждой стороны по симметрии существует по 2 таких треугольника, общее их количество равно:

$5 \times 2 = 10$

Вот их полный список:

• От стороны AB: ΔABO, ΔABF
• От стороны BC: ΔBCO, ΔBCG
• От стороны CD: ΔCDG, ΔCDH
• От стороны DE: ΔDEH, ΔDEK
• От стороны EA: ΔEAK, ΔEAO

Ответ: 10 треугольников.

3. Треугольники, имеющие одну внешнюю вершину и две внутренние

Это 5 маленьких "острых" треугольников на самых концах лучей звезды. Каждый такой треугольник образован одной внешней вершиной и двумя ближайшими к ней внутренними вершинами.

• ΔAOK
• ΔBFO
• ΔCFG
• ΔDGH
• ΔEHK

Ответ: 5 треугольников.

4. Треугольники, все три вершины которых являются внутренними

Эти треугольники полностью расположены внутри центрального пятиугольника OFGHK. Чтобы найти их количество, нужно выбрать любые 3 вершины из 5 внутренних {O, F, G, H, K}. Никакие три из этих точек не лежат на одной прямой.

Количество таких комбинаций равно:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

Примеры таких треугольников: ΔOFG, ΔOGH, ΔOHK, ΔOKO, ΔOFO (нет), ΔOFH, ΔOGK и так далее.

Ответ: 10 треугольников.

Сложив количество треугольников из всех четырех групп, получим общее число:

$10 + 10 + 5 + 10 = 35$

Ответ: Всего на рисунке 35 треугольников.