Страница 108 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Рис. 5.31

Рис. 5.32

414 СТРОИМ ПО АЛГОРИТМУ Рассмотрите рисунок 5.31.

1) Ответьте на вопросы по рисунку:

а) Чему равен радиус окружности?

б) Верно ли, что прямые (1)–(4) проходят через центр окружности?

в) Чему равна величина угла $AOB$? угла $BOC$?

2) Постройте восьмиугольник $ABCDEFGH$, воспользовавшись следующим алгоритмом:

Отметьте точку $O$ и начертите окружность с центром в точке $O$ и радиусом 2 см.

Проведите прямые (1)–(4).

Отметьте вершины восьмиугольника.

Последовательно соедините отмеченные точки отрезками.

1) Ответьте на вопросы по рисунку:

а) Чему равен радиус окружности?

Радиус окружности — это расстояние от ее центра (точка O) до любой точки на самой окружности. На рисунке 5.31 окружность наложена на клетчатую сетку. Если принять сторону одной клетки за единицу длины, то можно увидеть, что расстояние от центра O до точки C (пересечение с горизонтальной осью) составляет 3 клетки. То же самое расстояние от O до G, от O до E и до верхней точки на вертикальной оси. Следовательно, радиус окружности равен 3 условным единицам (клеткам).
Ответ: Радиус окружности равен 3 клеткам.

б) Верно ли, что прямые ①–④ проходят через центр окружности?

На рисунке видно, что все четыре прямые, обозначенные цифрами ①, ②, ③ и ④, пересекаются в одной точке — точке O. Точка O является центром окружности. Отрезки, лежащие на этих прямых и соединяющие противоположные точки окружности (например, GC на прямой ③ или AE на прямой ①), являются диаметрами. Любой диаметр по определению проходит через центр окружности.
Ответ: Да, верно.

в) Чему равна величина угла AOB? угла BOC?

Вершины восьмиугольника A, B, C, D, E, F, G, H делят окружность на 8 равных дуг. Центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны между собой. Полный угол вокруг центра O составляет $360^\circ$. Так как восьмиугольник является правильным (что следует из симметрии построения), все центральные углы, образованные соседними вершинами, равны.
Величина каждого такого угла равна:
$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = ... = \angle HOA = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$
Таким образом, и угол AOB, и угол BOC равны $45^\circ$.
Ответ: $\angle AOB = 45^\circ$, $\angle BOC = 45^\circ$.

2) Постройте восьмиугольник ABCDEFGH, воспользовавшись следующим алгоритмом:

Для построения правильного восьмиугольника ABCDEFGH с радиусом описанной окружности 2 см, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Отметить на плоскости точку O, которая будет центром окружности.
2. С помощью циркуля начертить окружность с центром в точке O и радиусом 2 см.
3. Провести через центр O четыре прямые (диаметры) так, чтобы они делили окружность на 8 равных частей. Для этого сначала проводят два перпендикулярных диаметра, а затем строят биссектрисы прямых углов между ними. Угол между любыми двумя соседними прямыми будет равен $45^\circ$.
4. Отметить 8 точек пересечения этих прямых с окружностью — это будут вершины восьмиугольника.
5. Последовательно соединить отрезками отмеченные вершины. Полученная фигура ABCDEFGH и будет искомым правильным восьмиугольником.
Ответ: Описание построения приведено в виде последовательности шагов выше.

415 Ищем способ подсчёта

Найдите все 35 треугольников на рисунке 5.32.

Рис. 5.32

Для того чтобы найти и посчитать все 35 треугольников на рисунке, не пропустив ни одного и не посчитав какой-либо дважды, разобьем их на группы по типу вершин, которые их образуют. Вершины на рисунке можно разделить на две категории: 5 внешних (A, B, C, D, E) и 5 внутренних (O, F, G, H, K).

1. Треугольники, все три вершины которых являются внешними

Такие треугольники образуются выбором любых трех вершин из пяти доступных (A, B, C, D, E). Количество таких комбинаций можно рассчитать по формуле сочетаний:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

Эти 10 треугольников можно разделить на два вида:

• 5 "остроконечных" треугольников, образующих лучи звезды: ΔABD, ΔBCE, ΔCDA, ΔDEB, ΔEAC.
• 5 "тупоконечных" треугольников, образованных двумя сторонами внешнего пятиугольника и диагональю: ΔABC, ΔBCD, ΔCDE, ΔDEA, ΔEAB.

Ответ: 10 треугольников.

2. Треугольники, имеющие две внешние вершины и одну внутреннюю

Эти треугольники можно систематически найти, рассматривая каждую сторону внешнего пятиугольника и соединяя ее с внутренними вершинами. Возьмем, к примеру, сторону AB. С ней можно образовать два треугольника, используя внутренние вершины, лежащие на диагоналях, выходящих из A и B:

• Треугольник ΔABO (вершина O лежит на диагонали AC, выходящей из A).
• Треугольник ΔABF (вершина F лежит на диагонали BD, выходящей из B).

Поскольку у внешнего пятиугольника 5 сторон, и для каждой стороны по симметрии существует по 2 таких треугольника, общее их количество равно:

$5 \times 2 = 10$

Вот их полный список:

• От стороны AB: ΔABO, ΔABF
• От стороны BC: ΔBCO, ΔBCG
• От стороны CD: ΔCDG, ΔCDH
• От стороны DE: ΔDEH, ΔDEK
• От стороны EA: ΔEAK, ΔEAO

Ответ: 10 треугольников.

3. Треугольники, имеющие одну внешнюю вершину и две внутренние

Это 5 маленьких "острых" треугольников на самых концах лучей звезды. Каждый такой треугольник образован одной внешней вершиной и двумя ближайшими к ней внутренними вершинами.

• ΔAOK
• ΔBFO
• ΔCFG
• ΔDGH
• ΔEHK

Ответ: 5 треугольников.

4. Треугольники, все три вершины которых являются внутренними

Эти треугольники полностью расположены внутри центрального пятиугольника OFGHK. Чтобы найти их количество, нужно выбрать любые 3 вершины из 5 внутренних {O, F, G, H, K}. Никакие три из этих точек не лежат на одной прямой.

Количество таких комбинаций равно:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

Примеры таких треугольников: ΔOFG, ΔOGH, ΔOHK, ΔOKO, ΔOFO (нет), ΔOFH, ΔOGK и так далее.

Ответ: 10 треугольников.

Сложив количество треугольников из всех четырех групп, получим общее число:

$10 + 10 + 5 + 10 = 35$

Ответ: Всего на рисунке 35 треугольников.

416 Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 54 км. Через сколько часов они встретятся, если:

а) скорость одного из них 10 км/ч, другого — 8 км/ч;

б) скорость одного из них 12 км/ч, другого — на 3 км/ч больше?

а)

Чтобы найти время, через которое велосипедисты встретятся, нужно сначала определить их общую скорость сближения. Так как они едут навстречу друг другу, их скорости складываются.

1. Найдем скорость сближения велосипедистов:

$V_{сближения} = V_1 + V_2 = 10 \text{ км/ч} + 8 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$

2. Теперь найдем время до встречи. Для этого разделим расстояние между пунктами на скорость сближения:

$t = \frac{S}{V_{сближения}} = \frac{54 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$

Ответ: велосипедисты встретятся через 3 часа.

б)

В этом случае сначала необходимо найти скорость второго велосипедиста, а затем действовать по аналогии с пунктом а).

1. Найдем скорость второго велосипедиста, которая на 3 км/ч больше скорости первого:

$V_2 = 12 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 15 \text{ км/ч}$

2. Теперь найдем их общую скорость сближения:

$V_{сближения} = V_1 + V_2 = 12 \text{ км/ч} + 15 \text{ км/ч} = 27 \text{ км/ч}$

3. Вычислим время до встречи:

$t = \frac{S}{V_{сближения}} = \frac{54 \text{ км}}{27 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$

Ответ: велосипедисты встретятся через 2 часа.

417 1) Убедитесь в том, что верны следующие равенства:

$11^2 = 121,$

$101^2 = 10\,201,$

$1001^2 = 1002001.$

2) Подметьте закономерность и предположите, квадратом какого числа является число 10002001; проверьте правильность вашего предположения.

3) Запишите, не выполняя вычислений, значение степени $100001^2$; проверьте свой ответ вычислением.

1) Убедимся в том, что верны следующие равенства, выполнив проверку вычислением.

Проверим первое равенство: $11^2 = 11 \times 11 = 121$. Равенство верно.

Проверим второе равенство: $101^2 = 101 \times 101$. Для удобства вычислений воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$. Равенство верно.

Проверим третье равенство: $1001^2 = 1001 \times 1001$. Применим ту же формулу.
$1001^2 = (1000 + 1)^2 = 1000^2 + 2 \times 1000 \times 1 + 1^2 = 1000000 + 2000 + 1 = 1002001$. Равенство верно.

Ответ: все равенства верны.

2) Проанализируем представленные равенства и найдем закономерность. Заметим, что:

- В числе $101$ между единицами стоит один ноль. В результате его возведения в квадрат, $10201$, между цифрами 1 и 2, а также между 2 и 1, стоит по одному нулю.

- В числе $1001$ между единицами стоят два ноля. В результате его возведения в квадрат, $1002001$, между цифрами 1 и 2, а также между 2 и 1, стоит по два ноля.

Отсюда можно сделать вывод: при возведении в квадрат числа вида $10...01$ (где между единицами стоит $k$ нулей), результатом будет число вида $10...020...01$ (где между 1 и 2, а также между 2 и 1, стоит по $k$ нулей).

Число $100020001$ имеет по три ноля между 1 и 2, и между 2 и 1. Следуя нашей закономерности, это должен быть квадрат числа, у которого три ноля между единицами, то есть числа $10001$.

Проверим наше предположение вычислением:
$10001^2 = (10000 + 1)^2 = 10000^2 + 2 \times 10000 \times 1 + 1^2 = 100000000 + 20000 + 1 = 100020001$.
Предположение верно.

Ответ: число $100020001$ является квадратом числа $10001$.

3) Используя закономерность, установленную в предыдущем пункте, запишем значение степени $100001^2$ без вычислений.

Число $100001$ имеет четыре ноля между единицами. Значит, его квадрат будет иметь вид $1...2...1$, где вместо многоточия будет по четыре ноля.

Таким образом, $100001^2 = 10000200001$.

Проверим ответ вычислением:
$100001^2 = (100000 + 1)^2 = 100000^2 + 2 \times 100000 \times 1 + 1^2 = 10000000000 + 200000 + 1 = 10000200001$.
Наш ответ, полученный на основе закономерности, верен.

Ответ: $100001^2 = 10000200001$.

418 Вычислите:

$(873 - 6036 : 12) \cdot 12 - 2 \cdot (48 \cdot 7 + 344).$

Для вычисления значения выражения $(873 - 6036 : 12) \cdot 12 - 2 \cdot (48 \cdot 7 + 344)$ необходимо выполнить действия в определенном порядке: сначала действия в скобках (деление/умножение, затем вычитание/сложение), затем умножение и деление за скобками, и в конце — вычитание.

Решим по действиям:

1. Выполним деление в первой скобке:

$6036 : 12 = 503$

2. Выполним вычитание в первой скобке:

$873 - 503 = 370$

3. Выполним умножение во второй скобке:

$48 \cdot 7 = 336$

4. Выполним сложение во второй скобке:

$336 + 344 = 680$

5. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$370 \cdot 12 - 2 \cdot 680$

6. Выполним первое умножение:

$370 \cdot 12 = 4440$

7. Выполним второе умножение:

$2 \cdot 680 = 1360$

8. Выполним последнее действие — вычитание:

$4440 - 1360 = 3080$

Ответ: 3080