Номер 417, страница 108 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.3. Ломаные и многоугольники. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 417, страница 108.

417 1) Убедитесь в том, что верны следующие равенства:

$11^2 = 121,$

$101^2 = 10\,201,$

$1001^2 = 1002001.$

2) Подметьте закономерность и предположите, квадратом какого числа является число 10002001; проверьте правильность вашего предположения.

3) Запишите, не выполняя вычислений, значение степени $100001^2$; проверьте свой ответ вычислением.

1) Убедимся в том, что верны следующие равенства, выполнив проверку вычислением.

Проверим первое равенство: $11^2 = 11 \times 11 = 121$. Равенство верно.

Проверим второе равенство: $101^2 = 101 \times 101$. Для удобства вычислений воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$. Равенство верно.

Проверим третье равенство: $1001^2 = 1001 \times 1001$. Применим ту же формулу.
$1001^2 = (1000 + 1)^2 = 1000^2 + 2 \times 1000 \times 1 + 1^2 = 1000000 + 2000 + 1 = 1002001$. Равенство верно.

Ответ: все равенства верны.

2) Проанализируем представленные равенства и найдем закономерность. Заметим, что:

- В числе $101$ между единицами стоит один ноль. В результате его возведения в квадрат, $10201$, между цифрами 1 и 2, а также между 2 и 1, стоит по одному нулю.

- В числе $1001$ между единицами стоят два ноля. В результате его возведения в квадрат, $1002001$, между цифрами 1 и 2, а также между 2 и 1, стоит по два ноля.

Отсюда можно сделать вывод: при возведении в квадрат числа вида $10...01$ (где между единицами стоит $k$ нулей), результатом будет число вида $10...020...01$ (где между 1 и 2, а также между 2 и 1, стоит по $k$ нулей).

Число $100020001$ имеет по три ноля между 1 и 2, и между 2 и 1. Следуя нашей закономерности, это должен быть квадрат числа, у которого три ноля между единицами, то есть числа $10001$.

Проверим наше предположение вычислением:
$10001^2 = (10000 + 1)^2 = 10000^2 + 2 \times 10000 \times 1 + 1^2 = 100000000 + 20000 + 1 = 100020001$.
Предположение верно.

Ответ: число $100020001$ является квадратом числа $10001$.

3) Используя закономерность, установленную в предыдущем пункте, запишем значение степени $100001^2$ без вычислений.

Число $100001$ имеет четыре ноля между единицами. Значит, его квадрат будет иметь вид $1...2...1$, где вместо многоточия будет по четыре ноля.

Таким образом, $100001^2 = 10000200001$.

Проверим ответ вычислением:
$100001^2 = (100000 + 1)^2 = 100000^2 + 2 \times 100000 \times 1 + 1^2 = 10000000000 + 200000 + 1 = 10000200001$.
Наш ответ, полученный на основе закономерности, верен.

Ответ: $100001^2 = 10000200001$.