Страница 96 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1. Какое свойство арифметических действий иллюстрирует приведённое равенство? Назовите его и запишите с помощью букв:

a) $4 + 17 = 17 + 4$;

б) $(12 \cdot 8) \cdot 5 = 12 \cdot (8 \cdot 5)$;

в) $(20 + 8) \cdot 3 = 20 \cdot 3 + 8 \cdot 3$.

а) Равенство $4 + 17 = 17 + 4$ иллюстрирует переместительное свойство сложения. Это свойство гласит, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. С помощью букв это свойство записывается так: $a + b = b + a$.
Ответ: переместительное свойство сложения, $a + b = b + a$.

б) Равенство $(12 \cdot 8) \cdot 5 = 12 \cdot (8 \cdot 5)$ иллюстрирует сочетательное свойство умножения. Это свойство гласит, что результат умножения трёх и более чисел не зависит от порядка, в котором сгруппированы множители. С помощью букв это свойство записывается так: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
Ответ: сочетательное свойство умножения, $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

в) Равенство $(20 + 8) \cdot 3 = 20 \cdot 3 + 8 \cdot 3$ иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения. Это свойство гласит, что для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные произведения сложить. С помощью букв это свойство записывается так: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
Ответ: распределительное свойство умножения относительно сложения, $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

2. Вычислите:

а) $42 + 61 + 28 + 39 + 30;$

б) $4 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 25.$

а) $42 + 61 + 28 + 39 + 30$

Для более удобного вычисления воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения. Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы в сумме они давали круглые числа:

$(42 + 28) + (61 + 39) + 30$

Вычислим сумму в каждой из скобок:

$42 + 28 = 70$

$61 + 39 = 100$

Теперь сложим полученные результаты и оставшееся число:

$70 + 100 + 30 = 170 + 30 = 200$

Ответ: 200

б) $4 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 25$

Для упрощения вычислений воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Сгруппируем множители так, чтобы их произведения были круглыми числами:

$(4 \cdot 25) \cdot (5 \cdot 2) \cdot 9$

Вычислим произведение в каждой из скобок:

$4 \cdot 25 = 100$

$5 \cdot 2 = 10$

Теперь перемножим полученные результаты и оставшийся множитель:

$100 \cdot 10 \cdot 9 = 1000 \cdot 9 = 9000$

Ответ: 9000

3. Дано выражение $18 \cdot (37 + 44)$. Определите, какое из следующих выражений имеет то же значение, что и данное выражение:$18 \cdot 37 + 44$, $18 \cdot 37 + 18 \cdot 44$, $37 + 18 \cdot 44$.

Чтобы определить, какое из предложенных выражений имеет то же значение, что и данное выражение $18 \cdot (37 + 44)$, необходимо использовать распределительное свойство умножения относительно сложения.

Распределительное свойство умножения гласит, что для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Это означает, что чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные произведения.

Применим это свойство к нашему выражению $18 \cdot (37 + 44)$. В этом случае:
$a = 18$
$b = 37$
$c = 44$

Подставив эти значения в формулу распределительного свойства, получаем:
$18 \cdot (37 + 44) = 18 \cdot 37 + 18 \cdot 44$

Теперь сравним полученное выражение с вариантами, предложенными в задаче:
1. $18 \cdot 37 + 44$
2. $18 \cdot 37 + 18 \cdot 44$
3. $37 + 18 \cdot 44$

Видно, что второй вариант, $18 \cdot 37 + 18 \cdot 44$, полностью совпадает с результатом, полученным после раскрытия скобок в исходном выражении.

Для дополнительной проверки можно вычислить значение исходного выражения и значение верного варианта:
$18 \cdot (37 + 44) = 18 \cdot 81 = 1458$
$18 \cdot 37 + 18 \cdot 44 = 666 + 792 = 1458$
Значения равны, следовательно, выбор сделан правильно.

Ответ: $18 \cdot 37 + 18 \cdot 44$.

4. Найдите значение выражения:

$83 \cdot 17 + 27 \cdot 17$

Чтобы найти значение выражения $83 \cdot 17 + 27 \cdot 17$, можно заметить, что у обоих слагаемых есть общий множитель — 17. Воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения, которое гласит: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

Вынесем общий множитель 17 за скобки:

$83 \cdot 17 + 27 \cdot 17 = (83 + 27) \cdot 17$

Теперь выполним действия по порядку. Сначала вычислим сумму в скобках:

$83 + 27 = 110$

Далее, умножим полученный результат на 17:

$110 \cdot 17 = 1870$

Таким образом, значение исходного выражения равно 1870.

Ответ: 1870.

5. Для приготовления гречневой каши на 2 части гречки берут 3 части воды. Сколько граммов воды надо взять на 300 г гречневой крупы?

Согласно условию, для приготовления гречневой каши соблюдается пропорция: на 2 части гречки требуется 3 части воды.

Нам дано 300 г гречневой крупы, что соответствует 2 частям в этой пропорции. Сначала найдем, сколько граммов составляет одна часть. Для этого разделим массу гречки на количество ее частей:
$300 \text{ г} \div 2 = 150 \text{ г}$

Итак, одна часть весит 150 г.

Теперь вычислим, сколько граммов воды потребуется. По рецепту нужно взять 3 части воды. Умножим вес одной части на 3:
$150 \text{ г} \times 3 = 450 \text{ г}$

Следовательно, для приготовления каши из 300 г гречки необходимо взять 450 г воды.

Ответ: 450 г.

6. Смешали 3 части карамели, 2 части ирисок и 5 частей шоколадных конфет. Всего получилось 1600 г смеси конфет. Сколько в смеси ирисок?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов. Сначала найдем общее количество частей в смеси, затем вычислим массу одной части, и после этого определим массу ирисок.

1. Найдем общее количество частей в смеси.
Смесь состоит из 3 частей карамели, 2 частей ирисок и 5 частей шоколадных конфет. Сложим все части, чтобы найти их общее количество:
$3 + 2 + 5 = 10$ (частей).

2. Найдем массу одной части.
Общая масса смеси составляет 1600 г и состоит из 10 равных по массе частей. Чтобы найти массу одной части, нужно общую массу разделить на общее количество частей:
$1600 \text{ г} \div 10 \text{ частей} = 160$ г.
Таким образом, масса одной части составляет 160 г.

3. Найдем массу ирисок в смеси.
По условию, ириски составляют 2 части от всей смеси. Чтобы найти их массу, умножим массу одной части на количество частей ирисок:
$160 \text{ г} \times 2 = 320$ г.

Ответ: 320 г.

7. В двух аквариумах 205 л воды. В одном из них на 35 л воды больше, чем в другом. Сколько литров воды в каждом аквариуме?

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Арифметический (по действиям)

1. Сначала мы можем "уравнять" количество воды в аквариумах. Для этого вычтем из общего объема разницу между ними.

$205 - 35 = 170$ (л) – столько воды было бы в двух аквариумах, если бы ее объем был одинаковым.

2. Теперь разделим полученный объем на 2, чтобы найти, сколько воды в меньшем аквариуме.

$170 / 2 = 85$ (л) – объем воды в меньшем аквариуме.

3. Чтобы найти объем воды в большем аквариуме, нужно к объему меньшего аквариума прибавить разницу.

$85 + 35 = 120$ (л) – объем воды в большем аквариуме.

Проверка: $85 + 120 = 205$ (л), что соответствует общему объему воды.

Ответ: в одном аквариуме 85 литров воды, а в другом 120 литров.

Способ 2: Алгебраический (через уравнение)

1. Пусть $x$ литров – это количество воды в меньшем аквариуме.

2. Тогда в большем аквариуме будет $(x + 35)$ литров.

3. Сумма воды в двух аквариумах равна 205 литров. Составим уравнение:

$x + (x + 35) = 205$

4. Решим уравнение:

$2x + 35 = 205$

$2x = 205 - 35$

$2x = 170$

$x = 170 / 2$

$x = 85$

Таким образом, в меньшем аквариуме 85 литров воды.

5. Найдем количество воды в большем аквариуме:

$85 + 35 = 120$ (л)

Ответ: в одном аквариуме 85 литров, в другом 120 литров.