Номер 398, страница 104 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.2. Измерение углов. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 398, страница 104.

398 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ И АНАЛИЗИРУЕМ

1) Следуя алгоритму, сделайте модель:

• Начертите на листе бумаги угол, равный $120^\circ$; обозначьте его $AOB$ (буквы проставьте внутри угла).
• Вырежите угол.
• Проведите внутри угла произвольный луч $OC$.
• Перегните $\angle AOC$ пополам, получившуюся биссектрису обозначьте $OK$.
• Перегните $\angle BOC$ пополам, получившуюся биссектрису обозначьте $OM$.

Рис. 5.20

2) Используя модель, догадайтесь, чему равна величина угла $MOK$.

3) Решите задачу: «Угол $AOB$ равен $90^\circ$ (рис. 5.20). Лучи $OM$ и $OK$ – биссектрисы углов $COB$ и $COA$. Найдите величину угла $MOK$».

2) Используя модель, догадайтесь, чему равна величина угла MOK.

Модель, созданная в пункте 1, основывается на угле $\angle AOB = 120^{\circ}$. Луч $OC$ делит этот угол на два других угла: $\angle AOC$ и $\angle BOC$. Лучи $OK$ и $OM$ являются биссектрисами этих углов соответственно.

Угол $MOK$ складывается из двух углов: $\angle MOC$ и $\angle KOC$.
По определению биссектрисы, $\angle KOC$ составляет половину угла $\angle AOC$, а $\angle MOC$ составляет половину угла $\angle BOC$.
$\angle KOC = \frac{1}{2} \angle AOC$
$\angle MOC = \frac{1}{2} \angle BOC$

Таким образом, величина угла $MOK$ равна:
$\angle MOK = \angle KOC + \angle MOC = \frac{1}{2} \angle AOC + \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOC)$

Поскольку $\angle AOC + \angle BOC$ в сумме дают исходный угол $\angle AOB$, то:
$\angle MOK = \frac{1}{2} \angle AOB$

Так как по условию для модели $\angle AOB = 120^{\circ}$, то можно сделать предположение, что:
$\angle MOK = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
Это предположение не зависит от того, где именно проведен луч $OC$.

Ответ: $60^{\circ}$.

3) Решите задачу: «Угол AOB равен 90° (рис. 5.20). Лучи OM и OK — биссектрисы углов COB и COA. Найдите величину угла MOK».

Дано:
$\angle AOB = 90^{\circ}$
$OC$ — луч внутри $\angle AOB$
$OK$ — биссектриса $\angle COA$
$OM$ — биссектриса $\angle COB$

Найти:
$\angle MOK$

Решение:

Угол $\angle MOK$ является суммой углов $\angle MOC$ и $\angle KOC$:
$\angle MOK = \angle MOC + \angle KOC$.

По определению биссектрисы угла:
$\angle KOC = \frac{1}{2} \angle COA$
$\angle MOC = \frac{1}{2} \angle COB$

Подставим эти равенства в формулу для $\angle MOK$:
$\angle MOK = \frac{1}{2} \angle COB + \frac{1}{2} \angle COA$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\angle MOK = \frac{1}{2} (\angle COB + \angle COA)$

Так как луч $OC$ проходит внутри угла $AOB$, то сумма углов $\angle COB$ и $\angle COA$ равна углу $\angle AOB$:
$\angle COB + \angle COA = \angle AOB$.

Таким образом, мы можем заменить сумму в скобках на $\angle AOB$:
$\angle MOK = \frac{1}{2} \angle AOB$.

Из условия задачи известно, что $\angle AOB = 90^{\circ}$. Подставим это значение:
$\angle MOK = \frac{1}{2} \cdot 90^{\circ} = 45^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$.