Страница 84 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

317 Известно, что $b + c = 21$. Чему равно значение каждого выражения:

а) $c + (b + 3)$, $c + (b + 6)$, $c + (b + 9)$;

б) $(c + 5) + b$, $(c + 10) + b$, $(c + 15) + b$?

По условию задачи известно, что $b + c = 21$. Чтобы найти значения выражений, мы будем использовать сочетательное и переместительное свойства сложения. Это позволит нам сгруппировать переменные $b$ и $c$ вместе и подставить их известную сумму.

а)

Для выражения $c + (b + 3)$:
Раскроем скобки и сгруппируем $b$ и $c$:
$c + (b + 3) = c + b + 3 = (b + c) + 3$
Подставим известное значение $b + c = 21$:
$21 + 3 = 24$
Ответ: 24

Для выражения $c + (b + 6)$:
Аналогично, сгруппируем $b$ и $c$:
$c + (b + 6) = c + b + 6 = (b + c) + 6$
Подставим известное значение:
$21 + 6 = 27$
Ответ: 27

Для выражения $c + (b + 9)$:
Сгруппируем $b$ и $c$:
$c + (b + 9) = c + b + 9 = (b + c) + 9$
Подставим известное значение:
$21 + 9 = 30$
Ответ: 30

б)

Для выражения $(c + 5) + b$:
Раскроем скобки и сгруппируем $b$ и $c$:
$(c + 5) + b = c + 5 + b = (b + c) + 5$
Подставим известное значение $b + c = 21$:
$21 + 5 = 26$
Ответ: 26

Для выражения $(c + 10) + b$:
Сгруппируем $b$ и $c$:
$(c + 10) + b = c + 10 + b = (b + c) + 10$
Подставим известное значение:
$21 + 10 = 31$
Ответ: 31

Для выражения $(c + 15) + b$:
Сгруппируем $b$ и $c$:
$(c + 15) + b = c + 15 + b = (b + c) + 15$
Подставим известное значение:
$21 + 15 = 36$
Ответ: 36

318 Известно, что $x \cdot y = 12$. Чему равно значение выражения:

а) $x \cdot (y \cdot 5);$

б) $(x \cdot 2) \cdot y;$

в) $y \cdot (x \cdot 10);$

г) $(y \cdot 2) \cdot (x \cdot 3)?$

а) Чтобы найти значение выражения $x \cdot (y \cdot 5)$, воспользуемся сочетательным свойством умножения, которое позволяет нам изменять группировку множителей: $x \cdot (y \cdot 5) = (x \cdot y) \cdot 5$. По условию задачи, произведение $x \cdot y$ равно 12. Подставим это значение в наше выражение: $12 \cdot 5 = 60$.
Ответ: 60

б) Для вычисления значения выражения $(x \cdot 2) \cdot y$ воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами умножения, чтобы сгруппировать переменные $x$ и $y$: $(x \cdot 2) \cdot y = (x \cdot y) \cdot 2$. Заменим $x \cdot y$ на известное значение 12: $12 \cdot 2 = 24$.
Ответ: 24

в) В выражении $y \cdot (x \cdot 10)$ сначала применим сочетательное свойство: $y \cdot (x \cdot 10) = (y \cdot x) \cdot 10$. Затем, используя переместительное свойство ($y \cdot x = x \cdot y$), получим: $(x \cdot y) \cdot 10$. Подставляем значение $x \cdot y = 12$: $12 \cdot 10 = 120$.
Ответ: 120

г) Чтобы найти значение выражения $(y \cdot 2) \cdot (x \cdot 3)$, мы можем перегруппировать все множители, используя сочетательное и переместительное свойства умножения. Сгруппируем переменные вместе и числа вместе: $(y \cdot x) \cdot (2 \cdot 3)$. Мы знаем, что $y \cdot x = x \cdot y = 12$, а произведение $2 \cdot 3 = 6$. Теперь перемножим полученные значения: $12 \cdot 6 = 72$.
Ответ: 72

319 ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ

1) Возведём в квадрат число, оканчивающееся одним нулём, например число 120:

$120^2 = (12 \cdot 10)^2 = (12 \cdot 10) \cdot (12 \cdot 10) = (12 \cdot 12) \cdot (10 \cdot 10) = 12^2 \cdot 100 = 14400$

Вы видите, что результат можно получить так: возвести в квадрат число 12 и приписать к результату два нуля. $120^2 = 12^2 \cdot 100 = 14400$.

Пользуясь таким приёмом, вычислите:

а) $80^2$; б) $110^2$; в) $170^2$; г) $250^2$.

2) Найдите сами короткий способ возведения в квадрат числа, оканчивающегося двумя нулями, например числа 600.

Вычислите: а) $1200^2$; б) $1500^2$.

1)

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся на один ноль, нужно возвести в квадрат число без этого нуля и к полученному результату приписать два нуля. Это следует из свойства степени: $(a \cdot 10)^2 = a^2 \cdot 10^2 = a^2 \cdot 100$.

а) $80^2 = (8 \cdot 10)^2 = 8^2 \cdot 100 = 64 \cdot 100 = 6400$.
Ответ: 6400

б) $110^2 = (11 \cdot 10)^2 = 11^2 \cdot 100 = 121 \cdot 100 = 12100$.
Ответ: 12100

в) $170^2 = (17 \cdot 10)^2 = 17^2 \cdot 100 = 289 \cdot 100 = 28900$.
Ответ: 28900

г) $250^2 = (25 \cdot 10)^2 = 25^2 \cdot 100 = 625 \cdot 100 = 62500$.
Ответ: 62500

2)

Самый короткий способ возведения в квадрат числа, оканчивающегося двумя нулями, аналогичен предыдущему. Число можно представить в виде произведения числа без нулей на 100. При возведении в квадрат, нужно возвести в квадрат число без нулей и приписать к результату четыре нуля: $(N \cdot 100)^2 = N^2 \cdot 100^2 = N^2 \cdot 10000$.

а) $1200^2 = (12 \cdot 100)^2 = 12^2 \cdot 10000 = 144 \cdot 10000 = 1440000$.
Ответ: 1 440 000

б) $1500^2 = (15 \cdot 100)^2 = 15^2 \cdot 10000 = 225 \cdot 10000 = 2250000$.
Ответ: 2 250 000

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (320–321)

320 Преобразуйте произведение и вычислите его значение:

а) $75 \cdot 14 \cdot 18;$

б) $16 \cdot 125 \cdot 4 \cdot 35.$

а) $75 \cdot 14 \cdot 18$

Для упрощения вычислений преобразуем произведение, разложив множители на более удобные части и перегруппировав их. Цель — получить множители, дающие в произведении круглое число (например, 100).

1. Представим множители в виде произведения более простых чисел, чтобы найти удобные комбинации:

$75 = 3 \cdot 25$

$14 = 2 \cdot 7$

$18 = 2 \cdot 9$

2. Подставим эти разложения в исходное выражение:

$75 \cdot 14 \cdot 18 = (3 \cdot 25) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 9)$

3. Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, сгруппируем множители так, чтобы получить 100. Заметим, что $25 \cdot 2 \cdot 2 = 25 \cdot 4 = 100$.

$(25 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 7 \cdot 9)$

4. Вычислим значение каждой группы:

Первая группа: $25 \cdot 4 = 100$.

Вторая группа: $3 \cdot 7 \cdot 9 = 21 \cdot 9 = 189$.

5. Теперь найдем конечное произведение:

$100 \cdot 189 = 18900$

Ответ: 18900

б) $16 \cdot 125 \cdot 4 \cdot 35$

Для упрощения вычислений используем переместительное и сочетательное свойства умножения, чтобы сгруппировать множители, произведение которых легко вычислить устно.

1. Перегруппируем множители. Заметим, что произведение $125$ на число, кратное 8, дает круглое число ($125 \cdot 8 = 1000$). Также удобно умножать $4$ на $35$.

Сгруппируем множители следующим образом:

$(16 \cdot 125) \cdot (4 \cdot 35)$

2. Вычислим произведение в первой скобке. Представим 16 как $2 \cdot 8$:

$16 \cdot 125 = (2 \cdot 8) \cdot 125 = 2 \cdot (8 \cdot 125) = 2 \cdot 1000 = 2000$

3. Вычислим произведение во второй скобке:

$4 \cdot 35 = 140$

4. Теперь умножим полученные результаты:

$2000 \cdot 140 = 280000$

Ответ: 280000

321 При вычислении произведений помогает знание некоторых результатов.

Например, $37 \cdot 3 = 111$, $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$. Пользуясь этими равенствами, вычислите:

а) $37 \cdot 15$;

б) $3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$;

в) $26 \cdot 33 \cdot 7$;

г) $182 \cdot 66$.

а) Чтобы вычислить произведение $37 \cdot 15$, представим число 15 как произведение $3 \cdot 5$. Затем воспользуемся известным равенством $37 \cdot 3 = 111$.
$37 \cdot 15 = 37 \cdot (3 \cdot 5) = (37 \cdot 3) \cdot 5 = 111 \cdot 5 = 555$.
Ответ: 555.

б) Для вычисления произведения $3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$ сгруппируем множители, используя данные равенства: $37 \cdot 3 = 111$ и $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$.
$3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37 = (3 \cdot 37) \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13) = 111 \cdot 1001$.
Чтобы легко умножить на 1001, можно представить это число как $1000 + 1$:
$111 \cdot 1001 = 111 \cdot (1000 + 1) = 111 \cdot 1000 + 111 \cdot 1 = 111000 + 111 = 111111$.
Ответ: 111111.

в) Чтобы вычислить произведение $26 \cdot 33 \cdot 7$, разложим числа 26 и 33 на множители так, чтобы использовать известное равенство $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$.
$26 = 2 \cdot 13$
$33 = 3 \cdot 11$
Подставим разложения в исходное выражение и сгруппируем множители:
$26 \cdot 33 \cdot 7 = (2 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 11) \cdot 7 = (2 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13) = 6 \cdot 1001 = 6006$.
Ответ: 6006.

г) Чтобы вычислить произведение $182 \cdot 66$, разложим оба числа на множители.
$182 = 2 \cdot 91 = 2 \cdot 7 \cdot 13$
$66 = 6 \cdot 11 = 2 \cdot 3 \cdot 11$
Теперь перемножим разложения и сгруппируем множители, чтобы использовать равенство $7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$.
$182 \cdot 66 = (2 \cdot 7 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 11) = (2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13) = 12 \cdot 1001 = 12012$.
Ответ: 12012.

322 Вычислите сумму, используя «приём Гаусса»:

a) $21 + 22 + 23 + \dots + 30;$

б) $5 + 10 + 15 + 20 + \dots + 100;$

в) $93 + 83 + \dots + 23 + 13 + 3.$

«Приём Гаусса» для нахождения суммы членов арифметической прогрессии заключается в попарном сложении её членов с разных концов. Сумма каждой такой пары будет одинаковой. Общая сумма вычисляется по формуле $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов.

а) 21 + 22 + 23 + ... + 30

Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 21$, последний член $a_n = 30$, а разность $d = 1$.

1. Сначала найдем количество членов $n$ в этой последовательности. Так как числа идут подряд, можно вычислить так: $n = 30 - 21 + 1 = 10$.

2. Теперь применим «приём Гаусса». Сгруппируем числа в пары: первое с последним, второе с предпоследним и так далее.
$(21 + 30) = 51$
$(22 + 29) = 51$
...
Всего таких пар будет $n / 2 = 10 / 2 = 5$.

3. Сумма всех чисел равна произведению суммы одной пары на количество пар:
$S = 51 \cdot 5 = 255$.

Или, используя формулу:
$S_{10} = \frac{(21 + 30) \cdot 10}{2} = \frac{51 \cdot 10}{2} = \frac{510}{2} = 255$.
Ответ: 255

б) 5 + 10 + 15 + 20 + ... + 100

Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 5$, последний член $a_n = 100$, а разность $d = 10 - 5 = 5$.

1. Найдем количество членов $n$ в прогрессии по формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$:
$n = \frac{100 - 5}{5} + 1 = \frac{95}{5} + 1 = 19 + 1 = 20$.

2. Сгруппируем числа в пары. Сумма первой и последней пары:
$5 + 100 = 105$.
Количество таких пар: $n / 2 = 20 / 2 = 10$.

3. Найдем общую сумму:
$S = 105 \cdot 10 = 1050$.

Проверка по формуле:
$S_{20} = \frac{(5 + 100) \cdot 20}{2} = \frac{105 \cdot 20}{2} = 105 \cdot 10 = 1050$.
Ответ: 1050

в) 93 + 83 + ... + 23 + 13 + 3

Это убывающая арифметическая прогрессия. Первый член $a_1 = 93$, последний член $a_n = 3$. Разность прогрессии $d = 83 - 93 = -10$.

1. Найдем количество членов $n$ в прогрессии по формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$:
$n = \frac{3 - 93}{-10} + 1 = \frac{-90}{-10} + 1 = 9 + 1 = 10$.

2. Сгруппируем числа в пары. Сумма первого и последнего члена:
$93 + 3 = 96$.
Количество пар: $n / 2 = 10 / 2 = 5$.

3. Найдем общую сумму:
$S = 96 \cdot 5 = 480$.

Проверка по формуле:
$S_{10} = \frac{(93 + 3) \cdot 10}{2} = \frac{96 \cdot 10}{2} = 96 \cdot 5 = 480$.
Ответ: 480

323 ИССЛЕДУЕМ

1) Проверьте равенства: $1 + 3 = 2^2$, $1 + 3 + 5 = 3^2$, $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$. Эти равенства подсказывают приём вычисления суммы последовательных нечётных чисел. В чём состоит этот приём? Запишите следующее равенство и проверьте себя с помощью вычислений.

2) Пользуясь рассмотренным приёмом, найдите:

a) сумму первых десяти нечётных чисел;

б) сумму всех нечётных чисел от 1 до 99.

1)

Проверим данные равенства:

• $1 + 3 = 4$, а $2^2 = 4$. Равенство верно.
• $1 + 3 + 5 = 9$, а $3^2 = 9$. Равенство верно.
• $1 + 3 + 5 + 7 = 16$, а $4^2 = 16$. Равенство верно.

Эти равенства показывают, что сумма первых n последовательных нечётных чисел, начиная с 1, равна квадрату их количества, то есть $n^2$.

Следующее равенство в этой последовательности будет содержать сумму первых пяти нечётных чисел (1, 3, 5, 7, 9). Запишем его: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$.

Проверим это равенство вычислением:
Левая часть: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 4 + 5 + 7 + 9 = 9 + 7 + 9 = 16 + 9 = 25$.
Правая часть: $5^2 = 25$.
Поскольку $25 = 25$, равенство верно.

Ответ: Приём заключается в том, что сумма первых n последовательных нечётных чисел равна $n^2$. Следующее равенство: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$.

2)

а) Чтобы найти сумму первых десяти нечётных чисел, нужно воспользоваться установленным правилом. Количество слагаемых (нечётных чисел) равно десяти, то есть $n=10$. Сумма будет равна квадрату этого количества.

$S = 10^2 = 100$

Ответ: 100

б) Чтобы найти сумму всех нечётных чисел от 1 до 99, сначала нужно определить, сколько всего таких чисел. Это можно сделать, представив нечётные числа как арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = 1$, а n-й член $a_n = 2n - 1$. Найдём номер $n$ для числа 99:

$99 = 2n - 1$

$100 = 2n$

$n = 50$

Таким образом, от 1 до 99 содержится 50 нечётных чисел. Теперь, используя тот же приём, найдём их сумму, возведя их количество в квадрат:

$S = 50^2 = 2500$

Ответ: 2500