Номер 320, страница 84 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

4.1. Свойства сложения и умножения. Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях - номер 320, страница 84.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (320–321)

320 Преобразуйте произведение и вычислите его значение:

а) $75 \cdot 14 \cdot 18;$

б) $16 \cdot 125 \cdot 4 \cdot 35.$

а) $75 \cdot 14 \cdot 18$

Для упрощения вычислений преобразуем произведение, разложив множители на более удобные части и перегруппировав их. Цель — получить множители, дающие в произведении круглое число (например, 100).

1. Представим множители в виде произведения более простых чисел, чтобы найти удобные комбинации:

$75 = 3 \cdot 25$

$14 = 2 \cdot 7$

$18 = 2 \cdot 9$

2. Подставим эти разложения в исходное выражение:

$75 \cdot 14 \cdot 18 = (3 \cdot 25) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 9)$

3. Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, сгруппируем множители так, чтобы получить 100. Заметим, что $25 \cdot 2 \cdot 2 = 25 \cdot 4 = 100$.

$(25 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 7 \cdot 9)$

4. Вычислим значение каждой группы:

Первая группа: $25 \cdot 4 = 100$.

Вторая группа: $3 \cdot 7 \cdot 9 = 21 \cdot 9 = 189$.

5. Теперь найдем конечное произведение:

$100 \cdot 189 = 18900$

Ответ: 18900

б) $16 \cdot 125 \cdot 4 \cdot 35$

Для упрощения вычислений используем переместительное и сочетательное свойства умножения, чтобы сгруппировать множители, произведение которых легко вычислить устно.

1. Перегруппируем множители. Заметим, что произведение $125$ на число, кратное 8, дает круглое число ($125 \cdot 8 = 1000$). Также удобно умножать $4$ на $35$.

Сгруппируем множители следующим образом:

$(16 \cdot 125) \cdot (4 \cdot 35)$

2. Вычислим произведение в первой скобке. Представим 16 как $2 \cdot 8$:

$16 \cdot 125 = (2 \cdot 8) \cdot 125 = 2 \cdot (8 \cdot 125) = 2 \cdot 1000 = 2000$

3. Вычислим произведение во второй скобке:

$4 \cdot 35 = 140$

4. Теперь умножим полученные результаты:

$2000 \cdot 140 = 280000$

Ответ: 280000