Номер 322, страница 84 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

4.1. Свойства сложения и умножения. Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях - номер 322, страница 84.

322 Вычислите сумму, используя «приём Гаусса»:

a) $21 + 22 + 23 + \dots + 30;$

б) $5 + 10 + 15 + 20 + \dots + 100;$

в) $93 + 83 + \dots + 23 + 13 + 3.$

«Приём Гаусса» для нахождения суммы членов арифметической прогрессии заключается в попарном сложении её членов с разных концов. Сумма каждой такой пары будет одинаковой. Общая сумма вычисляется по формуле $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов.

а) 21 + 22 + 23 + ... + 30

Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 21$, последний член $a_n = 30$, а разность $d = 1$.

1. Сначала найдем количество членов $n$ в этой последовательности. Так как числа идут подряд, можно вычислить так: $n = 30 - 21 + 1 = 10$.

2. Теперь применим «приём Гаусса». Сгруппируем числа в пары: первое с последним, второе с предпоследним и так далее.
$(21 + 30) = 51$
$(22 + 29) = 51$
...
Всего таких пар будет $n / 2 = 10 / 2 = 5$.

3. Сумма всех чисел равна произведению суммы одной пары на количество пар:
$S = 51 \cdot 5 = 255$.

Или, используя формулу:
$S_{10} = \frac{(21 + 30) \cdot 10}{2} = \frac{51 \cdot 10}{2} = \frac{510}{2} = 255$.
Ответ: 255

б) 5 + 10 + 15 + 20 + ... + 100

Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 5$, последний член $a_n = 100$, а разность $d = 10 - 5 = 5$.

1. Найдем количество членов $n$ в прогрессии по формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$:
$n = \frac{100 - 5}{5} + 1 = \frac{95}{5} + 1 = 19 + 1 = 20$.

2. Сгруппируем числа в пары. Сумма первой и последней пары:
$5 + 100 = 105$.
Количество таких пар: $n / 2 = 20 / 2 = 10$.

3. Найдем общую сумму:
$S = 105 \cdot 10 = 1050$.

Проверка по формуле:
$S_{20} = \frac{(5 + 100) \cdot 20}{2} = \frac{105 \cdot 20}{2} = 105 \cdot 10 = 1050$.
Ответ: 1050

в) 93 + 83 + ... + 23 + 13 + 3

Это убывающая арифметическая прогрессия. Первый член $a_1 = 93$, последний член $a_n = 3$. Разность прогрессии $d = 83 - 93 = -10$.

1. Найдем количество членов $n$ в прогрессии по формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$:
$n = \frac{3 - 93}{-10} + 1 = \frac{-90}{-10} + 1 = 9 + 1 = 10$.

2. Сгруппируем числа в пары. Сумма первого и последнего члена:
$93 + 3 = 96$.
Количество пар: $n / 2 = 10 / 2 = 5$.

3. Найдем общую сумму:
$S = 96 \cdot 5 = 480$.

Проверка по формуле:
$S_{10} = \frac{(93 + 3) \cdot 10}{2} = \frac{96 \cdot 10}{2} = 96 \cdot 5 = 480$.
Ответ: 480