Номер 323, страница 84 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

4.1. Свойства сложения и умножения. Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях - номер 323, страница 84.

323 ИССЛЕДУЕМ

1) Проверьте равенства: $1 + 3 = 2^2$, $1 + 3 + 5 = 3^2$, $1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$. Эти равенства подсказывают приём вычисления суммы последовательных нечётных чисел. В чём состоит этот приём? Запишите следующее равенство и проверьте себя с помощью вычислений.

2) Пользуясь рассмотренным приёмом, найдите:

a) сумму первых десяти нечётных чисел;

б) сумму всех нечётных чисел от 1 до 99.

1)

Проверим данные равенства:

• $1 + 3 = 4$, а $2^2 = 4$. Равенство верно.
• $1 + 3 + 5 = 9$, а $3^2 = 9$. Равенство верно.
• $1 + 3 + 5 + 7 = 16$, а $4^2 = 16$. Равенство верно.

Эти равенства показывают, что сумма первых n последовательных нечётных чисел, начиная с 1, равна квадрату их количества, то есть $n^2$.

Следующее равенство в этой последовательности будет содержать сумму первых пяти нечётных чисел (1, 3, 5, 7, 9). Запишем его: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$.

Проверим это равенство вычислением:
Левая часть: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 4 + 5 + 7 + 9 = 9 + 7 + 9 = 16 + 9 = 25$.
Правая часть: $5^2 = 25$.
Поскольку $25 = 25$, равенство верно.

Ответ: Приём заключается в том, что сумма первых n последовательных нечётных чисел равна $n^2$. Следующее равенство: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2$.

2)

а) Чтобы найти сумму первых десяти нечётных чисел, нужно воспользоваться установленным правилом. Количество слагаемых (нечётных чисел) равно десяти, то есть $n=10$. Сумма будет равна квадрату этого количества.

$S = 10^2 = 100$

Ответ: 100

б) Чтобы найти сумму всех нечётных чисел от 1 до 99, сначала нужно определить, сколько всего таких чисел. Это можно сделать, представив нечётные числа как арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = 1$, а n-й член $a_n = 2n - 1$. Найдём номер $n$ для числа 99:

$99 = 2n - 1$

$100 = 2n$

$n = 50$

Таким образом, от 1 до 99 содержится 50 нечётных чисел. Теперь, используя тот же приём, найдём их сумму, возведя их количество в квадрат:

$S = 50^2 = 2500$

Ответ: 2500