Номер 291, страница 75 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

291 АНАЛИЗИРУЕМ

а) Мальчик заметил, что на путь по течению реки было затрачено меньше времени, чем на тот же путь против течения. Чем это можно объяснить, если учесть, что мотор лодки работал одинаково хорошо во время всей поездки?

б) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь — 2 ч. В каком направлении течёт река?

а) Это явление объясняется влиянием течения реки на скорость лодки. Обозначим собственную скорость лодки (скорость, создаваемую мотором в стоячей воде) как $v_{лодки}$, а скорость течения реки как $v_{течения}$.

Когда лодка движется по течению, её скорость относительно берега складывается из собственной скорости и скорости течения: $v_{по~течению} = v_{лодки} + v_{течения}$.

Когда лодка движется против течения, скорость течения вычитается из её собственной скорости, так как течение замедляет лодку: $v_{против~течения} = v_{лодки} - v_{течения}$.

Поскольку мотор работал одинаково, $v_{лодки}$ в обоих случаях была постоянной. Очевидно, что $v_{по~течению} > v_{против~течения}$.

Время, необходимое для преодоления расстояния $S$, вычисляется по формуле $t = S/v$. Так как расстояние в обоих направлениях одинаковое, а скорость по течению больше, чем скорость против течения, на путь по течению будет затрачено меньше времени. То есть, $t_{по~течению} = S / v_{по~течению} < S / v_{против~течения} = t_{против~течения}$.

Ответ: Разница во времени объясняется тем, что при движении по течению скорость реки прибавляется к скорости лодки, увеличивая её общую скорость, а при движении против течения — вычитается, уменьшая общую скорость.

б) Сравним время, затраченное на путь из пункта А в пункт В и на обратный путь.

Время на путь из А в В: $t_{А \to В} = 1 \text{ ч } 40 \text{ мин}$.

Время на обратный путь из В в А: $t_{В \to А} = 2 \text{ ч}$.

Переведем время в минуты для удобства сравнения:

$t_{А \to В} = 1 \cdot 60 + 40 = 100 \text{ мин}$.

$t_{В \to А} = 2 \cdot 60 = 120 \text{ мин}$.

Поскольку $100 \text{ мин} < 120 \text{ мин}$, то $t_{А \to В} < t_{В \to А}$.

Как было объяснено в пункте а), движение по течению реки занимает меньше времени, чем движение против течения на то же расстояние. Следовательно, путь из А в В теплоход совершил по течению.

Ответ: Река течёт в направлении от пункта А к пункту В.