Номер 37, страница 16 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.3. Длина линии. Глава 1. Линии - номер 37, страница 16.

37 ИССЛЕДУЕМ

Из точки А в точку С (рис. 1.25) ведут три пути: по отрезку АС, по ломаной ADC, по ломаной АВС. Какой путь самый короткий? Сделайте вывод, какой путь длиннее: по ломаной или по отрезку, соединяющему концы ломаной.

38 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Представьте, что на вашей линейке со временем стёрлись все деления, кроме трёх: 0, 3 и 10 (рис. 1.26). Как с помощью одной лишь этой линейки построить

Рис. 1.25

Исследуем

Для решения этой задачи воспользуемся свойством, известным как неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Рассмотрим три предложенных пути из точки А в точку С:

1. Путь по отрезку АС. Его длина равна $AC$.
2. Путь по ломаной ADC. Его длина равна сумме длин отрезков AD и DC, то есть $AD + DC$. Точки A, D, C образуют треугольник ADC, поэтому согласно неравенству треугольника: $AD + DC > AC$.
3. Путь по ломаной ABC. Его длина равна сумме длин отрезков AB и BC, то есть $AB + BC$. Точки A, B, C образуют треугольник ABC, поэтому: $AB + BC > AC$.

Сравнивая длины всех трех путей, мы видим, что длина отрезка AC меньше длины ломаной ADC и меньше длины ломаной ABC. Следовательно, самый короткий путь — это путь по отрезку AC.

Вывод: Путь по ломаной линии всегда длиннее, чем путь по отрезку, соединяющему концы этой ломаной.

Ответ: Самый короткий путь - по отрезку AC. Путь по ломаной всегда длиннее пути по отрезку, соединяющему ее концы.

Практическая ситуация

Имея линейку с отметками 0, 3 и 10, мы можем напрямую измерять отрезки следующей длины (в условных единицах):

• От 0 до 3: длина 3.
• От 0 до 10: длина 10.
• От 3 до 10: длина $10 - 3 = 7$.

Используя эти три базовые длины (3, 7 и 10), можно построить отрезки других длин. Это делается путем последовательного откладывания отрезков на прямой (сложение длин) или откладывания одного отрезка на другом в противоположном направлении (вычитание длин).

Приведем несколько примеров построения:

• Как построить отрезок длиной 4:
  1. Проводим прямую и отмечаем на ней точку А.
  2. От точки А откладываем отрезок АВ длиной 7.
  3. От точки В откладываем в обратном направлении (в сторону точки А) отрезок ВС длиной 3.
  4. Полученный отрезок АС будет иметь длину $7 - 3 = 4$.
• Как построить отрезок длиной 6:
  1. Проводим прямую и отмечаем на ней точку А.
  2. От точки А откладываем отрезок АВ длиной 3.
  3. От точки В откладываем в том же направлении отрезок ВС длиной 3.
  4. Полученный отрезок АС будет иметь длину $3 + 3 = 6$.
• Как построить отрезок длиной 1:
  1. Проводим прямую и отмечаем на ней точку А.
  2. От точки А откладываем отрезок АВ длиной 7.
  3. От точки В откладываем в обратном направлении отрезок ВС длиной 3. Получаем отрезок АС длиной 4.
  4. От точки С откладываем в обратном направлении отрезок CD длиной 3.
  5. Полученный отрезок AD будет иметь длину $7 - 3 - 3 = 1$.
• Как построить отрезок длиной 2:
  1. Проводим прямую и отмечаем на ней точку А.
  2. Последовательно откладываем от точки А три отрезка по 3 единицы, получая точку B на расстоянии 9 от А ($3+3+3=9$).
  3. От точки B откладываем в обратном направлении отрезок BC длиной 7.
  4. Полученный отрезок AC будет иметь длину $9 - 7 = 2$.

Таким образом, комбинируя имеющиеся длины, можно построить отрезки множества других длин.

Ответ: С помощью линейки можно напрямую отмерить длины 3, 7 и 10. Комбинируя эти длины путем сложения (откладывая отрезки последовательно в одном направлении) и вычитания (откладывая отрезки в противоположных направлениях), можно построить отрезки других длин, например, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9 и так далее.