Страница 121 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Объясните, почему число, равное произведению $15 \cdot 56$, делится на 5, на 8. Укажите ещё какие-нибудь делители этого произведения.

Известно, что число $n$ делится на 10. Делится ли $n$ на 2? на 5? Каким свойством делимости вы пользовались при рассуждении?

Объясните, почему:

a) сумма $9 + 18 + 27 + 30$ делится на 3;

б) сумма $10 + 15 + 20 + 25 + 32$ не делится на 5.

Какими свойствами делимости вы пользовались?

Приведите свои примеры, иллюстрирующие рассмотренные свойства.

Произведение $15 \cdot 56$ делится на 5, потому что один из его множителей, число 15, делится на 5 ($15 : 5 = 3$). Здесь используется свойство делимости произведения: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число.

Аналогично, произведение $15 \cdot 56$ делится на 8, потому что другой множитель, число 56, делится на 8 ($56 : 8 = 7$).

Чтобы указать другие делители, можно разложить множители на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$56 = 2^3 \cdot 7$
Значит, $15 \cdot 56 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$. Любое произведение этих простых множителей также будет делителем.
Примеры других делителей: 2, 3, 7, $2 \cdot 3 = 6$, $2 \cdot 5 = 10$, $3 \cdot 7 = 21$, $2 \cdot 2 \cdot 7 = 28$, $3 \cdot 5 \cdot 2 = 30$.
Ответ: Произведение $15 \cdot 56$ делится на 5, так как множитель 15 делится на 5, и делится на 8, так как множитель 56 делится на 8. Другие делители: 2, 3, 6, 7, 10, 21, 28, 30.

Да, если число $n$ делится на 10, то оно обязательно делится и на 2, и на 5.
Это следует из свойства делимости: если число делится на некоторое число $d$, то оно делится и на любой делитель числа $d$.
В данном случае, число $n$ делится на 10. Числа 2 и 5 являются делителями числа 10 ($10 = 2 \cdot 5$), следовательно, $n$ делится и на 2, и на 5.
Ответ: Да, число $n$ делится на 2 и на 5. Использовалось свойство: если число делится на $d$, то оно делится на любой делитель числа $d$.

а) сумма 9 + 18 + 27 + 30 делится на 3;
Эта сумма делится на 3, потому что каждое слагаемое в этой сумме делится на 3:
$9 : 3 = 3$
$18 : 3 = 6$
$27 : 3 = 9$
$30 : 3 = 10$
При решении использовалось свойство делимости суммы: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.
Ответ: Сумма делится на 3, потому что каждое из слагаемых (9, 18, 27, 30) делится на 3.

б) сумма 10 + 15 + 20 + 25 + 32 не делится на 5.
Эта сумма не делится на 5, потому что четыре слагаемых (10, 15, 20, 25) делятся на 5, а одно слагаемое (32) на 5 не делится.
При решении использовалось свойство делимости суммы: если в сумме все слагаемые, кроме одного, делятся на некоторое число, а это одно слагаемое не делится, то и вся сумма не делится на это число.
Ответ: Сумма не делится на 5, потому что слагаемые 10, 15, 20, 25 делятся на 5, а слагаемое 32 на 5 не делится.

Ниже приведены примеры, иллюстрирующие рассмотренные свойства.

• Свойство делимости произведения: Произведение $25 \cdot 13$ делится на 5, так как множитель 25 делится на 5.
• Свойство делимости делителя: Число 100 делится на 20, значит, оно делится и на все делители числа 20: на 2, 4, 5, 10.
• Свойство делимости суммы (все слагаемые делятся): Сумма $14 + 28 + 70$ делится на 7, так как каждое слагаемое (14, 28 и 70) делится на 7.
• Свойство делимости суммы (одно слагаемое не делится): Сумма $12 + 24 + 13$ не делится на 4, так как 12 и 24 делятся на 4, а 13 не делится на 4.

Ответ: Примеры приведены выше.