Страница 119 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

448 Какие из следующих чисел являются простыми: 11, 17, 21, 27, 29, 31, 33, 39, 51, 59, 67, 87, 93?

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные натуральные числа, которые больше 1 и не являются простыми, называются составными. Проверим каждое число из данного списка:

11: Делителями являются только 1 и 11. Следовательно, 11 — простое число.

17: Делителями являются только 1 и 17. Следовательно, 17 — простое число.

21: Делится на 3 и 7, так как $21 = 3 \times 7$. Следовательно, 21 — составное число.

27: Делится на 3 и 9, так как $27 = 3 \times 9$. Следовательно, 27 — составное число.

29: Проверим делимость на простые числа до $\sqrt{29} \approx 5.4$ (это 2, 3, 5). Число нечетное, сумма цифр $2+9=11$ не делится на 3, не оканчивается на 0 или 5. Делителей, кроме 1 и 29, нет. Следовательно, 29 — простое число.

31: Проверим делимость на простые числа до $\sqrt{31} \approx 5.6$ (это 2, 3, 5). Число нечетное, сумма цифр $3+1=4$ не делится на 3, не оканчивается на 0 или 5. Делителей, кроме 1 и 31, нет. Следовательно, 31 — простое число.

33: Делится на 3 и 11, так как $33 = 3 \times 11$. Следовательно, 33 — составное число.

39: Сумма цифр $3+9=12$ делится на 3, значит, и само число делится на 3. $39 = 3 \times 13$. Следовательно, 39 — составное число.

51: Сумма цифр $5+1=6$ делится на 3, значит, и само число делится на 3. $51 = 3 \times 17$. Следовательно, 51 — составное число.

59: Проверим делимость на простые числа до $\sqrt{59} \approx 7.7$ (это 2, 3, 5, 7). Проверки на 2, 3, 5 отрицательны. $59 \div 7 = 8$ (ост. 3). Делителей, кроме 1 и 59, нет. Следовательно, 59 — простое число.

67: Проверим делимость на простые числа до $\sqrt{67} \approx 8.2$ (это 2, 3, 5, 7). Проверки на 2, 3, 5 отрицательны. $67 \div 7 = 9$ (ост. 4). Делителей, кроме 1 и 67, нет. Следовательно, 67 — простое число.

87: Сумма цифр $8+7=15$ делится на 3, значит, и само число делится на 3. $87 = 3 \times 29$. Следовательно, 87 — составное число.

93: Сумма цифр $9+3=12$ делится на 3, значит, и само число делится на 3. $93 = 3 \times 31$. Следовательно, 93 — составное число.

Ответ: 11, 17, 29, 31, 59, 67.

449 Докажите, что данное число не является простым:

а) 25;

б) 38;

в) 49;

г) 57;

д) 84;

е) 99.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Чтобы доказать, что число не является простым (то есть является составным), достаточно найти хотя бы один его делитель, отличный от 1 и самого этого числа.

а) 25

Число 25 оканчивается на цифру 5, следовательно, оно делится на 5 без остатка.
$25 : 5 = 5$
Поскольку у числа 25 есть делитель 5, который не равен 1 и 25, данное число не является простым.
Ответ: число 25 не является простым, так как оно делится на 5.

б) 38

Число 38 является чётным, так как его последняя цифра 8 — чётная. Любое чётное число, большее 2, делится на 2.
$38 : 2 = 19$
Поскольку у числа 38 есть делитель 2, который не равен 1 и 38, данное число не является простым.
Ответ: число 38 не является простым, так как оно делится на 2.

в) 49

Проверим делимость числа 49. Из таблицы умножения известно, что 49 является произведением двух семёрок.
$49 : 7 = 7$
Поскольку у числа 49 есть делитель 7, который не равен 1 и 49, данное число не является простым.
Ответ: число 49 не является простым, так как оно делится на 7.

г) 57

Чтобы проверить, является ли число 57 простым, воспользуемся признаком делимости на 3. Сумма цифр числа 57 равна $5 + 7 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и само число 57 делится на 3.
$57 : 3 = 19$
Поскольку у числа 57 есть делитель 3, который не равен 1 и 57, данное число не является простым.
Ответ: число 57 не является простым, так как оно делится на 3.

д) 84

Число 84 является чётным, так как его последняя цифра 4 — чётная. Любое чётное число, большее 2, делится на 2.
$84 : 2 = 42$
Поскольку у числа 84 есть делитель 2, который не равен 1 и 84, данное число не является простым.
Ответ: число 84 не является простым, так как оно делится на 2.

е) 99

Воспользуемся признаком делимости на 9. Сумма цифр числа 99 равна $9 + 9 = 18$. Так как 18 делится на 9, то и само число 99 делится на 9.
$99 : 9 = 11$
Поскольку у числа 99 есть делитель 9 (а также 3 и 11), который не равен 1 и 99, данное число не является простым.
Ответ: число 99 не является простым, так как оно делится на 9 и 11.

450 НАБЛЮДАЕМ

1) Выпишите в порядке возрастания все двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 1, затем двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 2, потом цифрой 3 и т. д., вплоть до цифры 9. (Всего у вас получится девять последовательностей двузначных чисел.)

2) В каждой последовательности подчеркните все простые числа.

3) Всегда ли в такой последовательности есть простые числа? Имеются ли среди этих последовательностей такие, в которых содержится только одно простое число?

1)
Выпишем в порядке возрастания все двузначные числа, сгруппировав их по последней цифре. Всего получится девять последовательностей:
Оканчивающиеся на 1: 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91.
Оканчивающиеся на 2: 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92.
Оканчивающиеся на 3: 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93.
Оканчивающиеся на 4: 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94.
Оканчивающиеся на 5: 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95.
Оканчивающиеся на 6: 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96.
Оканчивающиеся на 7: 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97.
Оканчивающиеся на 8: 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98.
Оканчивающиеся на 9: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99.

Ответ: Выписаны девять последовательностей двузначных чисел.

2)
Подчеркнем все простые числа в каждой последовательности. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Двузначные числа, оканчивающиеся на четную цифру (2, 4, 6, 8) или на 5, являются составными, так как делятся на 2 или 5 соответственно.

Оканчивающиеся на 1: 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91.
Оканчивающиеся на 2: 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92. (Простых чисел нет).
Оканчивающиеся на 3: 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93.
Оканчивающиеся на 4: 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94. (Простых чисел нет).
Оканчивающиеся на 5: 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95. (Простых чисел нет).
Оканчивающиеся на 6: 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96. (Простых чисел нет).
Оканчивающиеся на 7: 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97.
Оканчивающиеся на 8: 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98. (Простых чисел нет).
Оканчивающиеся на 9: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99.

Ответ: Простые числа в последовательностях подчеркнуты.

3)
Проанализируем результаты, полученные в пункте 2, и ответим на поставленные вопросы.

Всегда ли в такой последовательности есть простые числа?
Нет, не всегда. Последовательности чисел, оканчивающихся на 2, 4, 5, 6, 8, не содержат простых чисел. Любое двузначное число, оканчивающееся на четную цифру, делится на 2. Любое двузначное число, оканчивающееся на 5, делится на 5. Следовательно, все числа в этих последовательностях являются составными.

Имеются ли среди этих последовательностей такие, в которых содержится только одно простое число?
Нет. Подсчитаем количество простых чисел в последовательностях, где они есть:
- Оканчивающиеся на 1: 5 простых чисел (11, 31, 41, 61, 71).
- Оканчивающиеся на 3: 6 простых чисел (13, 23, 43, 53, 73, 83).
- Оканчивающиеся на 7: 5 простых чисел (17, 37, 47, 67, 97).
- Оканчивающиеся на 9: 5 простых чисел (19, 29, 59, 79, 89).
Во всех последовательностях, содержащих простые числа, их количество больше одного. Таким образом, последовательностей с ровно одним простым числом нет.

Ответ: Нет, не всегда в такой последовательности есть простые числа. Среди рассмотренных последовательностей нет таких, в которых содержится только одно простое число.

451 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Есть ли среди утверждений верные?

1) Все простые числа — нечётные.

2) Все нечётные числа — простые.

3) Все простые числа, большие 2, — нечётные.

4) Все нечётные числа, большие 2, — составные.

1) Все простые числа — нечётные.
Это утверждение неверно. Простое число — это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Число 2 является простым, так как его делители — это 1 и 2. Однако 2 — это чётное число, поскольку делится на 2 без остатка ($2 \div 2 = 1$). Так как существует простое число (2), которое является чётным, утверждение о том, что все простые числа нечётные, ложно.
Ответ: неверно.

2) Все нечётные числа — простые.
Это утверждение неверно. Нечётное число — это целое число, которое не делится на 2. Простое число делится только на 1 и на себя. Рассмотрим в качестве контрпримера нечётное число 9. Оно нечётное, но не является простым, так как делится не только на 1 и 9, но и на 3 ($9 = 3 \cdot 3$). Следовательно, 9 — составное число. Так как не все нечётные числа простые, утверждение ложно.
Ответ: неверно.

3) Все простые числа, большие 2, — нечётные.
Это утверждение верно. Любое чётное число по определению делится на 2. Если некоторое число $n$ является чётным и $n > 2$, то оно имеет как минимум три делителя: 1, 2 и само число $n$. Наличие делителя 2 (отличного от 1 и $n$) означает, что такое число является составным. Единственное чётное простое число — это 2. Следовательно, все остальные простые числа ($3, 5, 7, 11, \ldots$) не могут быть чётными, а значит, они нечётные.
Ответ: верно.

4) Все нечётные числа, большие 2, — составные.
Это утверждение неверно. Составное число — это натуральное число, большее 1, которое не является простым. Однако среди нечётных чисел, больших 2, существует бесконечно много простых чисел. Например, 3, 5, 7, 11 — все они нечётные, больше 2 и при этом являются простыми, а не составными. Наличие таких контрпримеров доказывает, что утверждение ложно.
Ответ: неверно.

Ищем информацию (452–454)

452 Выполните задание с помощью таблицы простых чисел:

а) Найдите наименьшее и наибольшее трёхзначные простые числа.

б) Выясните, сколько простых чисел содержится в первой сотне; во вто-рой сотне; в третьей сотне.

а) Для нахождения наименьшего и наибольшего трёхзначных простых чисел необходимо использовать таблицу простых чисел. Трёхзначные числа — это числа в диапазоне от 100 до 999.
Согласно таблице простых чисел, первое простое число, которое больше 99, — это 101. Следовательно, 101 является наименьшим трёхзначным простым числом.
Чтобы найти наибольшее трёхзначное простое число, ищем в таблице самое большое простое число, которое меньше 1000. Этим числом является 997.
Ответ: наименьшее трёхзначное простое число — 101, наибольшее — 997.

б) Чтобы выяснить, сколько простых чисел содержится в каждой сотне, воспользуемся таблицей простых чисел и посчитаем их количество в заданных интервалах.
Первая сотня (числа в интервале $[1, 100]$) содержит следующие простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Всего их 25.
Вторая сотня (числа в интервале $[101, 200]$) содержит следующие простые числа: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199. Всего их 21.
Третья сотня (числа в интервале $[201, 300]$) содержит следующие простые числа: 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293. Всего их 16.
Ответ: в первой сотне содержится 25 простых чисел, во второй — 21, в третьей — 16.

453 Среди двузначных простых чисел, записанных разными цифрами, есть такие, которые остаются простыми после перестановки цифр. Сколько всего таких двузначных чисел имеется?

Задача состоит в том, чтобы найти все двузначные простые числа, записанные разными цифрами, которые остаются простыми после перестановки своих цифр, и посчитать их количество.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $10a + b$, где $a$ — цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$). По условию, $a \neq b$.

Число $10a + b$ должно быть простым. После перестановки цифр мы получаем число $10b + a$, которое также должно быть простым.

Чтобы двузначное число было простым, его последняя цифра не может быть четной (0, 2, 4, 6, 8) или 5, так как в этом случае число будет делиться на 2 или на 5. Таким образом, цифра единиц $b$ может быть только 1, 3, 7 или 9.

Аналогично, для числа $10b + a$, полученного после перестановки цифр, его последняя цифра $a$ также должна принадлежать набору {1, 3, 7, 9}.

Следовательно, обе цифры искомого числа, $a$ и $b$, должны быть выбраны из набора {1, 3, 7, 9}.

Теперь systematically проверим все пары различных чисел, составленных из этих цифр.

• Пара цифр {1, 3}
  Число 13 — простое.
  Число после перестановки, 31 — тоже простое.
  Эта пара подходит. Мы нашли два числа: 13 и 31.
• Пара цифр {1, 7}
  Число 17 — простое.
  Число после перестановки, 71 — тоже простое.
  Эта пара подходит. Мы нашли еще два числа: 17 и 71.
• Пара цифр {1, 9}
  Число 19 — простое.
  Число после перестановки, 91, является составным, так как $91 = 7 \times 13$.
  Эта пара не подходит.
• Пара цифр {3, 7}
  Число 37 — простое.
  Число после перестановки, 73 — тоже простое.
  Эта пара подходит. Мы нашли еще два числа: 37 и 73.
• Пара цифр {3, 9}
  Число 39 является составным, так как $39 = 3 \times 13$.
  Эта пара не подходит.
• Пара цифр {7, 9}
  Число 79 — простое.
  Число после перестановки, 97 — тоже простое.
  Эта пара подходит. Мы нашли еще два числа: 79 и 97.

Мы рассмотрели все возможные комбинации. Числа, удовлетворяющие условию задачи, это: 13, 31, 17, 71, 37, 73, 79, 97.

Всего таких чисел $2 + 2 + 2 + 2 = 8$.

Ответ: 8

454. Простые числа, разность которых равна 2, называют числами-близнецами.

а) Сколько пар чисел-близнецов в отрезке натурального ряда от 1 до 100?

б) Есть ли числа-близнецы в десятой сотне?

а) Числа-близнецы — это пары простых чисел, разность между которыми равна 2. Чтобы найти все такие пары на отрезке натурального ряда от 1 до 100, необходимо сначала выписать все простые числа в этом диапазоне.

Простые числа от 1 до 100:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Теперь найдём среди этих чисел пары $(p, p+2)$, где оба числа являются простыми:

(3, 5), так как $5 - 3 = 2$
(5, 7), так как $7 - 5 = 2$
(11, 13), так как $13 - 11 = 2$
(17, 19), так как $19 - 17 = 2$
(29, 31), так как $31 - 29 = 2$
(41, 43), так как $43 - 41 = 2$
(59, 61), так как $61 - 59 = 2$
(71, 73), так как $73 - 71 = 2$

Всего на отрезке от 1 до 100 существует 8 таких пар.

Ответ: 8 пар.

б) Десятая сотня – это отрезок натуральных чисел от 901 до 1000. Чтобы выяснить, есть ли в этом диапазоне числа-близнецы, нужно найти все простые числа на этом отрезке и проверить, есть ли среди них пары с разностью 2.

Для проверки числа $n$ на простоту достаточно проверить его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{n}$. Поскольку $\sqrt{1000} \approx 31.6$, нужно проверять делимость на простые числа до 31.

Простые числа в диапазоне от 901 до 1000:

907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

Теперь проверим, есть ли среди этих простых чисел два, разность которых равна 2. Для этого достаточно проверить разность между соседними числами в списке:

$911 - 907 = 4$
$919 - 911 = 8$
$929 - 919 = 10$
... и так далее.

Минимальная разность между соседними простыми числами в этом списке равна 4. Следовательно, пар чисел-близнецов в десятой сотне нет.

Ответ: нет.

455 Закончите разложение данного числа на простые множители (используйте степени):

а) $80 = 8 \cdot 10 = ...$

б) $75 = 15 \cdot 5 = ...$

в) $52 = 26 \cdot 2 = ...$

a) Чтобы закончить разложение числа 80 на простые множители, продолжим данное выражение $80 = 8 \cdot 10$. Множители 8 и 10 не являются простыми числами, поэтому разложим каждый из них на простые множители.

Разложение числа 8: $8 = 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.

Разложение числа 10: $10 = 2 \cdot 5$.

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:

$80 = 8 \cdot 10 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 5)$.

Соберем все простые множители вместе и сгруппируем одинаковые, записав их в виде степени:

$80 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5$.

Ответ: $2^4 \cdot 5$.

б) Разложим число 75 на простые множители, начиная с выражения $75 = 15 \cdot 5$. Множитель 5 уже является простым числом. Разложим на простые множители число 15.

Разложение числа 15: $15 = 3 \cdot 5$.

Подставим это разложение в исходное выражение:

$75 = 15 \cdot 5 = (3 \cdot 5) \cdot 5$.

Сгруппируем одинаковые множители и запишем их в виде степени:

$75 = 3 \cdot 5^2$.

Ответ: $3 \cdot 5^2$.

в) Разложим число 52 на простые множители, используя выражение $52 = 26 \cdot 2$. Множитель 2 является простым числом. Разложим на простые множители число 26.

Разложение числа 26: $26 = 2 \cdot 13$. Числа 2 и 13 являются простыми.

Подставим полученное разложение в исходное выражение:

$52 = 26 \cdot 2 = (2 \cdot 13) \cdot 2$.

Сгруппируем одинаковые множители и запишем их в виде степени:

$52 = 2 \cdot 2 \cdot 13 = 2^2 \cdot 13$.

Ответ: $2^2 \cdot 13$.

456 Разложите на простые множители все составные числа, не превосходящие 30.

Для решения этой задачи сначала нужно определить, какие числа, не превосходящие 30, являются составными. Составное число — это натуральное число больше единицы, которое не является простым (то есть имеет делители, отличные от 1 и самого себя).

Простые числа, не превосходящие 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Число 1 не является ни простым, ни составным.

Следовательно, все остальные натуральные числа от 2 до 30 являются составными. Это числа: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30.

Теперь разложим каждое из этих составных чисел на простые множители.

4
$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$.
Ответ: $4 = 2^2$.

6
$6 = 2 \cdot 3$.
Ответ: $6 = 2 \cdot 3$.

8
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
Ответ: $8 = 2^3$.

9
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$.
Ответ: $9 = 3^2$.

10
$10 = 2 \cdot 5$.
Ответ: $10 = 2 \cdot 5$.

12
$12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Ответ: $12 = 2^2 \cdot 3$.

14
$14 = 2 \cdot 7$.
Ответ: $14 = 2 \cdot 7$.

15
$15 = 3 \cdot 5$.
Ответ: $15 = 3 \cdot 5$.

16
$16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.
Ответ: $16 = 2^4$.

18
$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.
Ответ: $18 = 2 \cdot 3^2$.

20
$20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.
Ответ: $20 = 2^2 \cdot 5$.

21
$21 = 3 \cdot 7$.
Ответ: $21 = 3 \cdot 7$.

22
$22 = 2 \cdot 11$.
Ответ: $22 = 2 \cdot 11$.

24
$24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Ответ: $24 = 2^3 \cdot 3$.

25
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$.
Ответ: $25 = 5^2$.

26
$26 = 2 \cdot 13$.
Ответ: $26 = 2 \cdot 13$.

27
$27 = 3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$.
Ответ: $27 = 3^3$.

28
$28 = 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.
Ответ: $28 = 2^2 \cdot 7$.

30
$30 = 2 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
Ответ: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

457 Разложите на простые множители числа: 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000.

Разложение числа на простые множители — это его представление в виде произведения простых чисел. Все представленные числа являются степенями числа 10. Заметим, что число 10 раскладывается на два простых множителя:

$10 = 2 \cdot 5$

Это означает, что любое число, являющееся степенью 10, будет состоять только из простых множителей 2 и 5. Общая формула разложения для числа $10^n$ выглядит так:

$10^n = (2 \cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n$

Это значит, что в разложении числа $10^n$ будет $n$ множителей, равных 2, и $n$ множителей, равных 5.

10

Число 10 является первой степенью 10 ($10 = 10^1$), поэтому оно состоит из одного множителя 2 и одного множителя 5.

Ответ: $10 = 2 \cdot 5$.

100

Число 100 — это $10^2$. Следовательно, в его разложении будет по два множителя 2 и 5.

$100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $100 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$.

1000

Число 1000 — это $10^3$. В его разложении будет по три множителя 2 и 5.

$1000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $1000 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.

10 000

Число 10 000 — это $10^4$. В его разложении будет по четыре множителя 2 и 5.

$10\ 000 = 10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $10\ 000 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.

100 000

Число 100 000 — это $10^5$. В его разложении будет по пять множителей 2 и 5.

$100\ 000 = 10^5 = (2 \cdot 5)^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $100\ 000 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.

1 000 000

Число 1 000 000 — это $10^6$. В его разложении будет по шесть множителей 2 и 5.

$1\ 000\ 000 = 10^6 = (2 \cdot 5)^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $1\ 000\ 000 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.

458 а) Дано разложение числа a на простые множители: $a = 2 \cdot 5 \cdot 13$. Делится ли число a на 2? на 4? на 10? на 6? на 26? (Если делится, то укажите частное.)

б) Дано разложение числа b на простые множители: $b = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Делится ли число b на 4? на 6? на 9? на 10? на 12? на 18? на 30? на 50? (Если делится, то укажите частное.)

Дано разложение числа $a$ на простые множители: $a = 2 \cdot 5 \cdot 13$. Для того чтобы число $a$ делилось нацело на некоторое число (делитель), необходимо, чтобы все простые множители, входящие в разложение делителя, входили и в разложение числа $a$, причем с показателем степени не меньшим, чем у делителя.

• на 2?

  Число $a$ делится на 2, так как множитель 2 присутствует в его разложении. Частное равно: $a : 2 = (2 \cdot 5 \cdot 13) : 2 = 5 \cdot 13 = 65$.

  Ответ: Да, частное 65.

• на 4?

  Число $a$ не делится на 4. Разложение делителя $4 = 2^2$. В разложении числа $a$ множитель 2 присутствует только в первой степени, что меньше требуемой второй степени.

  Ответ: Нет.

• на 10?

  Число $a$ делится на 10. Разложение делителя $10 = 2 \cdot 5$. Множители 2 и 5 присутствуют в разложении числа $a$. Частное равно: $a : 10 = (2 \cdot 5 \cdot 13) : (2 \cdot 5) = 13$.

  Ответ: Да, частное 13.

• на 6?

  Число $a$ не делится на 6. Разложение делителя $6 = 2 \cdot 3$. В разложении числа $a$ отсутствует множитель 3.

  Ответ: Нет.

• на 26?

  Число $a$ делится на 26. Разложение делителя $26 = 2 \cdot 13$. Множители 2 и 13 присутствуют в разложении числа $a$. Частное равно: $a : 26 = (2 \cdot 5 \cdot 13) : (2 \cdot 13) = 5$.

  Ответ: Да, частное 5.

Дано разложение числа $b$ на простые множители: $b = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

• на 4?

  Число $b$ делится на 4. Разложение делителя $4 = 2^2$. Множитель $2^2$ присутствует в разложении числа $b$. Частное равно: $b : 4 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5) : 2^2 = 3 \cdot 5 = 15$.

  Ответ: Да, частное 15.

• на 6?

  Число $b$ делится на 6. Разложение делителя $6 = 2 \cdot 3$. Множители 2 и 3 присутствуют в разложении числа $b$. Частное равно: $b : 6 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5) : (2 \cdot 3) = 2 \cdot 5 = 10$.

  Ответ: Да, частное 10.

• на 9?

  Число $b$ не делится на 9. Разложение делителя $9 = 3^2$. В разложении числа $b$ множитель 3 присутствует только в первой степени, что меньше требуемой второй степени.

  Ответ: Нет.

• на 10?

  Число $b$ делится на 10. Разложение делителя $10 = 2 \cdot 5$. Множители 2 и 5 присутствуют в разложении числа $b$. Частное равно: $b : 10 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5) : (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3 = 6$.

  Ответ: Да, частное 6.

• на 12?

  Число $b$ делится на 12. Разложение делителя $12 = 2^2 \cdot 3$. Множители $2^2$ и 3 присутствуют в разложении числа $b$. Частное равно: $b : 12 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5) : (2^2 \cdot 3) = 5$.

  Ответ: Да, частное 5.

• на 18?

  Число $b$ не делится на 18. Разложение делителя $18 = 2 \cdot 3^2$. В разложении числа $b$ множитель 3 присутствует только в первой степени, что меньше требуемой второй степени.

  Ответ: Нет.

• на 30?

  Число $b$ делится на 30. Разложение делителя $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Все эти множители присутствуют в разложении числа $b$. Частное равно: $b : 30 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5) : (2 \cdot 3 \cdot 5) = 2$.

  Ответ: Да, частное 2.

• на 50?

  Число $b$ не делится на 50. Разложение делителя $50 = 2 \cdot 5^2$. В разложении числа $b$ множитель 5 присутствует только в первой степени, что меньше требуемой второй степени.

  Ответ: Нет.