Номер 454, страница 119 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.2. Простые и составные числа. Глава 6. Делимость чисел - номер 454, страница 119.

454. Простые числа, разность которых равна 2, называют числами-близнецами.

а) Сколько пар чисел-близнецов в отрезке натурального ряда от 1 до 100?

б) Есть ли числа-близнецы в десятой сотне?

а) Числа-близнецы — это пары простых чисел, разность между которыми равна 2. Чтобы найти все такие пары на отрезке натурального ряда от 1 до 100, необходимо сначала выписать все простые числа в этом диапазоне.

Простые числа от 1 до 100:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Теперь найдём среди этих чисел пары $(p, p+2)$, где оба числа являются простыми:

(3, 5), так как $5 - 3 = 2$
(5, 7), так как $7 - 5 = 2$
(11, 13), так как $13 - 11 = 2$
(17, 19), так как $19 - 17 = 2$
(29, 31), так как $31 - 29 = 2$
(41, 43), так как $43 - 41 = 2$
(59, 61), так как $61 - 59 = 2$
(71, 73), так как $73 - 71 = 2$

Всего на отрезке от 1 до 100 существует 8 таких пар.

Ответ: 8 пар.

б) Десятая сотня – это отрезок натуральных чисел от 901 до 1000. Чтобы выяснить, есть ли в этом диапазоне числа-близнецы, нужно найти все простые числа на этом отрезке и проверить, есть ли среди них пары с разностью 2.

Для проверки числа $n$ на простоту достаточно проверить его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{n}$. Поскольку $\sqrt{1000} \approx 31.6$, нужно проверять делимость на простые числа до 31.

Простые числа в диапазоне от 901 до 1000:

907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

Теперь проверим, есть ли среди этих простых чисел два, разность которых равна 2. Для этого достаточно проверить разность между соседними числами в списке:

$911 - 907 = 4$
$919 - 911 = 8$
$929 - 919 = 10$
... и так далее.

Минимальная разность между соседними простыми числами в этом списке равна 4. Следовательно, пар чисел-близнецов в десятой сотне нет.

Ответ: нет.