Номер 459, страница 120 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.2. Простые и составные числа. Глава 6. Делимость чисел - номер 459, страница 120.

459 Представьте в виде произведения простых множителей число $c$, если известно, что $c$ равно произведению всех натуральных чисел от 1 до 10. (Используйте степени.)

По условию задачи, число c равно произведению всех натуральных чисел от 1 до 10. Это произведение также известно как факториал числа 10 и обозначается как $10!$.

Запишем это произведение:

$c = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$

Чтобы представить число c в виде произведения простых множителей, необходимо разложить каждый множитель (от 1 до 10) на простые сомножители. Простыми числами в этом диапазоне являются 2, 3, 5 и 7.

Разложим составные числа из этого произведения на простые множители:

• $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
• $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
• $10 = 2 \cdot 5$

Теперь заменим составные числа в исходном произведении их разложениями на простые множители (множитель 1 не влияет на результат и его можно опустить):

$c = 2 \cdot 3 \cdot (2^2) \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2^3) \cdot (3^2) \cdot (2 \cdot 5)$

Сгруппируем одинаковые простые множители и, используя свойство степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), найдем итоговые показатели степеней для каждого простого числа:

• Для простого числа 2: $c$ содержит множители 2, $2^2$, 2, $2^3$, 2. Складываем их степени: $1 + 2 + 1 + 3 + 1 = 8$. Таким образом, получаем множитель $2^8$.
• Для простого числа 3: $c$ содержит множители 3, 3, $3^2$. Складываем их степени: $1 + 1 + 2 = 4$. Таким образом, получаем множитель $3^4$.
• Для простого числа 5: $c$ содержит множители 5, 5. Складываем их степени: $1 + 1 = 2$. Таким образом, получаем множитель $5^2$.
• Для простого числа 7: $c$ содержит множитель 7. Степень равна 1. Таким образом, получаем множитель $7^1$ или просто 7.

Собрав все вместе, получаем итоговое разложение числа c на простые множители:

$c = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$

Ответ: $c = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$.