Страница 120 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

459 Представьте в виде произведения простых множителей число $c$, если известно, что $c$ равно произведению всех натуральных чисел от 1 до 10. (Используйте степени.)

По условию задачи, число c равно произведению всех натуральных чисел от 1 до 10. Это произведение также известно как факториал числа 10 и обозначается как $10!$.

Запишем это произведение:

$c = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$

Чтобы представить число c в виде произведения простых множителей, необходимо разложить каждый множитель (от 1 до 10) на простые сомножители. Простыми числами в этом диапазоне являются 2, 3, 5 и 7.

Разложим составные числа из этого произведения на простые множители:

• $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
• $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
• $10 = 2 \cdot 5$

Теперь заменим составные числа в исходном произведении их разложениями на простые множители (множитель 1 не влияет на результат и его можно опустить):

$c = 2 \cdot 3 \cdot (2^2) \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2^3) \cdot (3^2) \cdot (2 \cdot 5)$

Сгруппируем одинаковые простые множители и, используя свойство степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), найдем итоговые показатели степеней для каждого простого числа:

• Для простого числа 2: $c$ содержит множители 2, $2^2$, 2, $2^3$, 2. Складываем их степени: $1 + 2 + 1 + 3 + 1 = 8$. Таким образом, получаем множитель $2^8$.
• Для простого числа 3: $c$ содержит множители 3, 3, $3^2$. Складываем их степени: $1 + 1 + 2 = 4$. Таким образом, получаем множитель $3^4$.
• Для простого числа 5: $c$ содержит множители 5, 5. Складываем их степени: $1 + 1 = 2$. Таким образом, получаем множитель $5^2$.
• Для простого числа 7: $c$ содержит множитель 7. Степень равна 1. Таким образом, получаем множитель $7^1$ или просто 7.

Собрав все вместе, получаем итоговое разложение числа c на простые множители:

$c = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$

Ответ: $c = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$.

460 РАССУЖДАЕМ Представьте число 46 в виде суммы двух простых чисел всеми возможными способами.

Чтобы представить число 46 в виде суммы двух простых чисел, необходимо найти два простых числа $p_1$ и $p_2$, для которых выполняется равенство $p_1 + p_2 = 46$.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.

Сначала выпишем все простые числа, которые меньше 46, так как оба слагаемых должны быть меньше искомой суммы:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.

Число 46 — чётное. Сумма двух чисел является чётной, если оба слагаемых имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные). Единственное чётное простое число — это 2. Если бы одно из слагаемых было 2, то второе было бы $46 - 2 = 44$. Число 44 не является простым. Следовательно, оба искомых простых числа должны быть нечётными.

Будем последовательно проверять пары чисел. Для этого возьмём простое число $p_1$ и найдём второе число $p_2 = 46 - p_1$. Затем проверим, является ли $p_2$ простым.

1. Если $p_1 = 3$, то второе слагаемое $p_2 = 46 - 3 = 43$. Число 43 является простым. Получаем первую пару: $3 + 43 = 46$.

2. Если $p_1 = 5$, то $p_2 = 46 - 5 = 41$. Число 41 является простым. Получаем вторую пару: $5 + 41 = 46$.

3. Если $p_1 = 7$, то $p_2 = 46 - 7 = 39$. Число 39 не является простым ($39 = 3 \cdot 13$).

4. Если $p_1 = 11$, то $p_2 = 46 - 11 = 35$. Число 35 не является простым ($35 = 5 \cdot 7$).

5. Если $p_1 = 13$, то $p_2 = 46 - 13 = 33$. Число 33 не является простым ($33 = 3 \cdot 11$).

6. Если $p_1 = 17$, то $p_2 = 46 - 17 = 29$. Число 29 является простым. Получаем третью пару: $17 + 29 = 46$.

7. Если $p_1 = 19$, то $p_2 = 46 - 19 = 27$. Число 27 не является простым ($27 = 3^3$).

8. Если $p_1 = 23$, то $p_2 = 46 - 23 = 23$. Число 23 является простым. Получаем четвёртую пару: $23 + 23 = 46$.

Перебор можно остановить, так как следующее простое число (29) больше половины от 46. Проверка $p_1 = 29$ даст $p_2 = 17$, что является уже найденной парой, только с переставленными слагаемыми.

Ответ: $46 = 3 + 43$; $46 = 5 + 41$; $46 = 17 + 29$; $46 = 23 + 23$.

461 Исследуем

1) Найдите с помощью перебора все делители числа 6, числа 10 и числа 21. Сколько делителей имеет каждое из этих чисел?

Подсказка. $6 = 2 \cdot 3$, $10 = 2 \cdot 5$, $21 = 3 \cdot 7$.

2) Каким общим свойством обладают все эти числа? Укажите ещё какое-нибудь число, обладающее тем же свойством. Сколько у него делителей?

3) Сколько делителей имеет число, равное произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ - различные простые числа? Перечислите их все.

1)

Найдем все делители для каждого числа методом перебора и посчитаем их количество. Делители — это натуральные числа, на которые заданное число делится без остатка.

Для числа 6:
Проверяем деление на числа от 1 до 6: $6 \div 1 = 6$, $6 \div 2 = 3$, $6 \div 3 = 2$, $6 \div 6 = 1$.
Делители числа 6: 1, 2, 3, 6.

Для числа 10:
Проверяем деление на числа от 1 до 10: $10 \div 1 = 10$, $10 \div 2 = 5$, $10 \div 5 = 2$, $10 \div 10 = 1$.
Делители числа 10: 1, 2, 5, 10.

Для числа 21:
Проверяем деление на числа от 1 до 21: $21 \div 1 = 21$, $21 \div 3 = 7$, $21 \div 7 = 3$, $21 \div 21 = 1$.
Делители числа 21: 1, 3, 7, 21.

Ответ: Число 6 имеет 4 делителя: 1, 2, 3, 6. Число 10 имеет 4 делителя: 1, 2, 5, 10. Число 21 имеет 4 делителя: 1, 3, 7, 21.

2)

Общее свойство этих чисел (6, 10, 21) заключается в том, что каждое из них является произведением двух различных простых чисел. Это видно из разложения на множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$10 = 2 \cdot 5$
$21 = 3 \cdot 7$
Следствием этого свойства является то, что у каждого из этих чисел ровно 4 делителя.

В качестве еще одного примера числа, обладающего тем же свойством, можно взять число 14. Оно является произведением двух различных простых чисел: $14 = 2 \cdot 7$.
Его делители: 1, 2, 7, 14. У числа 14 тоже 4 делителя.

Ответ: Общее свойство этих чисел — каждое из них является произведением двух различных простых чисел, и поэтому имеет ровно 4 делителя. Пример другого такого числа — 14, у него 4 делителя (1, 2, 7, 14).

3)

Рассмотрим число $N$, равное произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ — различные простые числа. Делителями такого числа могут быть только 1, само число $N$, и его простые множители $a$ и $b$.

Перечислим все делители числа $N = a \cdot b$:
1) 1 (единица является делителем любого натурального числа).
2) $a$ (первый простой множитель).
3) $b$ (второй простой множитель).
4) $a \cdot b$ (само число).
Так как $a$ и $b$ — простые числа, других комбинаций множителей для составления делителей нет. Следовательно, у такого числа всегда ровно 4 делителя.

Ответ: Число, равное произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ — различные простые числа, имеет 4 делителя. Эти делители: 1, $a$, $b$, $a \cdot b$.

462 Найдите все двузначные числа, кратные:

а) 23;

б) 35.

а) Двузначные числа — это целые числа от 10 до 99. Чтобы найти все двузначные числа, кратные 23, будем последовательно умножать число 23 на натуральные числа ($1, 2, 3, \ldots$) до тех пор, пока результат не выйдет за пределы диапазона двузначных чисел.

Выполним умножение:

• $23 \cdot 1 = 23$. Это двузначное число.
• $23 \cdot 2 = 46$. Это двузначное число.
• $23 \cdot 3 = 69$. Это двузначное число.
• $23 \cdot 4 = 92$. Это двузначное число.
• $23 \cdot 5 = 115$. Это трехзначное число, поэтому оно нам не подходит.

Все последующие произведения также будут больше 99. Таким образом, мы нашли все двузначные числа, кратные 23.
Ответ: 23, 46, 69, 92.

б) Аналогично найдем все двузначные числа, кратные 35. Будем умножать 35 на натуральные числа, пока результат является двузначным числом.

Выполним умножение:

• $35 \cdot 1 = 35$. Это двузначное число.
• $35 \cdot 2 = 70$. Это двузначное число.
• $35 \cdot 3 = 105$. Это трехзначное число, оно нам не подходит.

Все последующие произведения также будут больше 99.
Ответ: 35, 70.

463 Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 12 и 16;

б) 120 и 40;

в) 3 и 7.

а) 12 и 16

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) чисел необходимо разложить их на простые множители.

Разложим на множители число 12: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.

Разложим на множители число 16: $16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.

Чтобы найти НОК, нужно выписать все простые множители, которые входят хотя бы в одно из разложений, и взять каждый из них с наибольшим показателем степени. Затем перемножить эти степени.

В наших разложениях есть множители 2 и 3. Наибольшая степень для 2 это 4 ($2^4$), а для 3 это 1 ($3^1$).

НОК(12, 16) = $2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$.

Ответ: 48

б) 120 и 40

Для нахождения наименьшего общего кратного чисел 120 и 40 можно заметить, что 120 делится на 40 без остатка: $120 \div 40 = 3$.

Согласно свойству наименьшего общего кратного, если одно число делится на другое, то НОК этих чисел равен большему из них.

В данном случае, НОК(120, 40) = 120.

Ответ: 120

в) 3 и 7

Числа 3 и 7 являются простыми. Простые числа, которые не имеют общих делителей кроме 1, называются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их произведению.

НОК(3, 7) = $3 \cdot 7 = 21$.

Ответ: 21

464 Для компота взяли $3$ части яблок, $2$ части изюма и $5$ частей чернослива. Яблок оказалось на $140$ г меньше, чем чернослива. Сколько всего фруктов взяли для компота?

Пусть масса одной части фруктов составляет $x$ грамм. Согласно условию, для компота взяли:

• 3 части яблок, то есть их масса равна $3x$ г.
• 2 части изюма, то есть их масса равна $2x$ г.
• 5 частей чернослива, то есть их масса равна $5x$ г.

Известно, что яблок оказалось на 140 г меньше, чем чернослива. Составим уравнение, отражающее эту разницу:

$5x - 3x = 140$

Решим полученное уравнение:

$2x = 140$

$x = 140 / 2$

$x = 70$

Таким образом, масса одной части составляет 70 г.

Теперь найдем, сколько всего частей фруктов взяли для компота:

$3 + 2 + 5 = 10$ (частей)

Чтобы найти общую массу всех фруктов, умножим общее количество частей на массу одной части:

$10 * 70 \text{ г} = 700 \text{ г}$

Ответ: 700 г

465 На рисунке 6.2 $\angle AOC = \angle BOD, \angle COD = 90^\circ$.

Найдите величину угла AOC.

Для решения этой задачи обозначим искомую величину угла $\angle AOC$ через $x$.

По условию задачи дано, что $\angle AOC = \angle BOD$. Следовательно, величина угла $\angle BOD$ также равна $x$.

Также из условия нам известно, что $\angle COD = 90^\circ$.

В задаче упоминается рисунок 6.2. В таких задачах обычно предполагается, что углы $\angle AOC$, $\angle COD$ и $\angle BOD$ являются прилежащими (имеют общую вершину и попарно общие стороны, не перекрываясь) и вместе составляют развернутый угол $\angle AOB$. Развернутый угол образуется, когда его стороны лежат на одной прямой. Величина развернутого угла равна $180^\circ$.

Исходя из этого предположения, мы можем записать равенство, основанное на свойстве сложения углов:
$\angle AOC + \angle COD + \angle BOD = \angle AOB = 180^\circ$

Теперь подставим в это равенство известные значения и наше обозначение:
$x + 90^\circ + x = 180^\circ$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$2x + 90^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 90^\circ$
$2x = 90^\circ$
$x = \frac{90^\circ}{2}$
$x = 45^\circ$

Таким образом, величина угла $\angle AOC$ составляет $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

466 Сколько тупых углов на рисунке 6.1 (см. с. 116)?

Рис. 6.2

Тупым углом называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Для того чтобы найти количество тупых углов на рисунке, необходимо рассмотреть все возможные углы с вершиной в точке О и определить их вид.

1. Сначала определим виды основных углов, показанных на рисунке:

- Угол $\angle AOB$ является развёрнутым, так как его стороны лежат на одной прямой. Его градусная мера равна $180^\circ$. Развёрнутый угол не является тупым.

- Угол $\angle COD$ обозначен как прямой, следовательно, его мера равна $90^\circ$. Прямой угол не является тупым.

- Углы $\angle AOC$ и $\angle DOB$. Так как угол $\angle AOB$ развёрнутый, он равен сумме составляющих его углов: $\angle AOB = \angle AOC + \angle COD + \angle DOB$. Подставив известные значения, получим: $180^\circ = \angle AOC + 90^\circ + \angle DOB$. Отсюда $\angle AOC + \angle DOB = 90^\circ$. Поскольку оба угла положительны (лучи не совпадают), то каждый из них меньше $90^\circ$. Следовательно, углы $\angle AOC$ и $\angle DOB$ являются острыми.

2. Теперь рассмотрим составные углы:

- Угол $\angle AOD$ состоит из острого угла $\angle AOC$ и прямого угла $\angle COD$. Его мера равна $\angle AOD = \angle AOC + \angle COD$. Так как $\angle AOC > 0^\circ$ и $\angle COD = 90^\circ$, то $\angle AOD > 90^\circ$. Также $\angle AOD$ меньше развёрнутого угла $\angle AOB$, то есть $\angle AOD < 180^\circ$. Таким образом, угол $\angle AOD$ является тупым.

- Угол $\angle COB$ состоит из прямого угла $\angle COD$ и острого угла $\angle DOB$. Его мера равна $\angle COB = \angle COD + \angle DOB$. Так как $\angle DOB > 0^\circ$ и $\angle COD = 90^\circ$, то $\angle COB > 90^\circ$. Также $\angle COB$ меньше развёрнутого угла $\angle AOB$, то есть $\angle COB < 180^\circ$. Таким образом, угол $\angle COB$ также является тупым.

Всего на рисунке два тупых угла: $\angle AOD$ и $\angle COB$.

Ответ: 2.