Страница 125 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

484 а) Какие из чисел 158, 375, 10 200, 910, 2012, 1085 делятся на 5? Запишите их в порядке возрастания.

б) Какие из чисел 710, 484, 3045, 619, 2688, 12 000 делятся на 2? Запишите их в порядке убывания.

в) Выпишите из пунктов «а» и «б» в порядке возрастания все числа, делящиеся на 10. Есть ли среди них числа, делящиеся на 100? на 1000?

а) Чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться на цифру 0 или 5. Из предложенного списка чисел 158, 375, 10 200, 910, 2012, 1085 этому правилу соответствуют: 375 (оканчивается на 5), 10 200 (оканчивается на 0), 910 (оканчивается на 0), 1085 (оканчивается на 5).
Теперь запишем эти числа в порядке возрастания (от меньшего к большему): 375, 910, 1085, 10 200.
Ответ: 375, 910, 1085, 10 200.

б) Чтобы число делилось на 2, оно должно быть четным, то есть оканчиваться на цифру 0, 2, 4, 6 или 8. Из предложенного списка чисел 710, 484, 3045, 619, 2688, 12 000 этому правилу соответствуют: 710 (оканчивается на 0), 484 (оканчивается на 4), 2688 (оканчивается на 8), 12 000 (оканчивается на 0).
Теперь запишем эти числа в порядке убывания (от большего к меньшему): 12 000, 2688, 710, 484.
Ответ: 12 000, 2688, 710, 484.

в) Чтобы число делилось на 10, оно должно оканчиваться на 0. Выберем такие числа из списков в пунктах «а» и «б».
Из пункта «а»: 910, 10 200.
Из пункта «б»: 710, 12 000.
Объединим их и запишем в порядке возрастания: 710, 910, 10 200, 12 000.
Теперь проверим, есть ли среди них числа, делящиеся на 100 (оканчиваются на 00) и на 1000 (оканчиваются на 000).
- Числа, делящиеся на 100: 10 200, 12 000.
- Число, делящееся на 1000: 12 000.
Ответ: Числа, делящиеся на 10, в порядке возрастания: 710, 910, 10 200, 12 000. Да, среди них есть числа, делящиеся на 100 (10 200, 12 000), и число, делящееся на 1000 (12 000).

РАССУЖДАЕМ (485–486)

485 Какие из чисел 26, 45, 80, 127, 340, 615:

а) делятся на 5, но не делятся на 2;

б) делятся на 2, но не делятся на 5;

в) делятся и на 2, и на 5;

г) не делятся ни на 2, ни на 5?

Для решения этой задачи необходимо использовать признаки делимости чисел на 2 и на 5. Вспомним их:

• Число делится на 2 без остатка (является чётным), если его последняя цифра — чётная, то есть $0, 2, 4, 6$ или $8$.
• Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — $0$ или $5$.

Теперь проанализируем данный ряд чисел: $26, 45, 80, 127, 340, 615$ в соответствии с условиями задачи.

а) делятся на 5, но не делятся на 2

Ищем числа, которые оканчиваются на $0$ или $5$ (признак делимости на 5), но при этом не являются чётными (не делятся на 2). Это означает, что последняя цифра числа должна быть $5$.

В заданном списке этому условию соответствуют числа $45$ и $615$.

Ответ: $45, 615$.

б) делятся на 2, но не делятся на 5

Ищем числа, которые оканчиваются на чётную цифру ($0, 2, 4, 6, 8$), но при этом их последняя цифра не является ни $0$, ни $5$. Следовательно, ищем числа, оканчивающиеся на $2, 4, 6$ или $8$.

В заданном списке этому условию соответствует число $26$.

Ответ: $26$.

в) делятся и на 2, и на 5

Ищем числа, которые делятся одновременно и на 2, и на 5. Такое число должно быть чётным (последняя цифра $0, 2, 4, 6, 8$) и оканчиваться на $0$ или $5$. Единственная цифра, которая удовлетворяет обоим условиям, — это $0$. Значит, ищем числа, оканчивающиеся на $0$.

В заданном списке этому условию соответствуют числа $80$ и $340$.

Ответ: $80, 340$.

г) не делятся ни на 2, ни на 5

Ищем числа, которые не являются чётными (т.е. оканчиваются на нечётную цифру $1, 3, 5, 7, 9$) и при этом не делятся на 5 (т.е. не оканчиваются на $0$ или $5$). Объединив эти условия, мы ищем числа, последняя цифра которых — $1, 3, 7$ или $9$.

В заданном списке этому условию соответствует число $127$.

Ответ: $127$.

486 Не выполняя действий, определите:

а) делится ли на 2 сумма $514 + 415 + 154$;

б) делится ли на 5 произведение $316 \cdot 215$;

в) делится ли на 10 разность $3840 - 290$.

а) делится ли на 2 сумма 514 + 415 + 154;

Чтобы определить, делится ли сумма на 2, не вычисляя ее, можно воспользоваться признаком делимости на 2. Число делится на 2, если оно четное, то есть оканчивается на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8).
Четность суммы зависит от четности слагаемых. Определим четность каждого слагаемого:
Число 514 оканчивается на 4, значит, оно четное.
Число 415 оканчивается на 5, значит, оно нечетное.
Число 154 оканчивается на 4, значит, оно четное.
Сумма двух четных и одного нечетного числа является нечетным числом: $четное + нечетное + четное = нечетное$.
Поскольку итоговая сумма является нечетным числом, она не делится на 2.
Альтернативный способ — посмотреть на последнюю цифру суммы. Она равна последней цифре суммы последних цифр слагаемых: $4 + 5 + 4 = 13$. Последняя цифра итоговой суммы будет 3. Число, оканчивающееся на 3, не делится на 2.
Ответ: нет, не делится.

б) делится ли на 5 произведение 316 ⋅ 215;

Произведение делится на некоторое число, если хотя бы один из множителей делится на это число.
Воспользуемся признаком делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.
Рассмотрим множители: первый множитель 316 оканчивается на 6, следовательно, не делится на 5. Второй множитель 215 оканчивается на 5, следовательно, он делится на 5.
Поскольку один из множителей (215) делится на 5, то и все произведение $316 \cdot 215$ делится на 5.
Ответ: да, делится.

в) делится ли на 10 разность 3840 − 290.

Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то и их разность делится на это же число.
Воспользуемся признаком делимости на 10: число делится на 10, если его последняя цифра — 0.
Уменьшаемое 3840 оканчивается на 0, следовательно, оно делится на 10.
Вычитаемое 290 оканчивается на 0, следовательно, оно также делится на 10.
Поскольку и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на 10, их разность $3840 - 290$ также будет делиться на 10.
Также можно заметить, что последняя цифра разности будет равна разности последних цифр: $0 - 0 = 0$. Число, оканчивающееся на 0, делится на 10.
Ответ: да, делится.