Страница 131 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

508 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Сотрудники офиса подсчитали, что за неделю в среднем они расходуют 350 листов бумаги формата А4. На складе имеются пачки этой бумаги по 500 листов. Какое наименьшее количество таких пачек им надо заказать, чтобы обеспечить себя бумагой на 8 недель?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассчитать общее количество листов бумаги, необходимое на 8 недель.
Известно, что в среднем за неделю сотрудники расходуют 350 листов бумаги. Чтобы узнать, сколько листов им понадобится на 8 недель, нужно умножить еженедельный расход на количество недель:
$350 \text{ листов/неделю} \cdot 8 \text{ недель} = 2800 \text{ листов}$

2. Рассчитать необходимое количество пачек бумаги.
В одной пачке содержится 500 листов. Чтобы определить, сколько пачек нужно заказать, разделим общее количество требуемых листов на количество листов в одной пачке:
$\frac{2800 \text{ листов}}{500 \text{ листов/пачку}} = 5.6 \text{ пачки}$

3. Определить наименьшее целое количество пачек.
Поскольку пачки бумаги продаются только целиком, нельзя купить 5.6 пачки. Если купить 5 пачек, то это составит $5 \cdot 500 = 2500$ листов, что меньше требуемых 2800 листов. Следовательно, необходимо округлить полученное значение в большую сторону до ближайшего целого числа.
Наименьшее целое число, которое больше или равно 5.6, — это 6. Таким образом, нужно заказать 6 пачек бумаги. Этого будет достаточно, так как $6 \cdot 500 = 3000$ листов, что превышает потребность в 2800 листов.

Ответ: 6.

509 Исследуем При делении на 5 возможны следующие остатки: 0, 1, 2, 3, 4. Перечертите в тетрадь таблицу и впишите в соответствующие клетки числа от 250 до 274.

Остаток от деления на 5

0 1 2 3 4

250 251

1) На сколько единиц отличаются друг от друга два последовательных числа в каждом столбце?

2) Укажите ещё какие-нибудь два числа, которые можно было бы вписать в столбец под цифрой 3.

3) Если бы вы продолжили заполнение таблицы, то в какой столбец попало бы число 346? 490? 1229? 589996?

Сначала заполним таблицу, распределяя числа от 250 до 274 по столбцам в зависимости от остатка при делении на 5. Остаток от деления числа на 5 зависит от его последней цифры:

• Если число оканчивается на 0 или 5, остаток равен 0.
• Если число оканчивается на 1 или 6, остаток равен 1.
• Если число оканчивается на 2 или 7, остаток равен 2.
• Если число оканчивается на 3 или 8, остаток равен 3.
• Если число оканчивается на 4 или 9, остаток равен 4.

Заполненная таблица:

1) На сколько единиц отличаются друг от друга два последовательных числа в каждом столбце?

В каждый столбец попадают числа, которые имеют одинаковый остаток при делении на 5. Если число $n$ дает остаток $r$ при делении на 5, то следующее число, которое даст тот же остаток, будет $n+5$. Например, в столбце "0" числа 250, 255, 260 и так далее. Найдем разницу между двумя последовательными числами: $255 - 250 = 5$ или $260 - 255 = 5$. Это верно для любого столбца.

Ответ: на 5 единиц.

2) Укажите ещё какие-нибудь два числа, которые можно было бы вписать в столбец под цифрой 3.

В столбец под цифрой 3 попадают числа, которые при делении на 5 дают в остатке 3. Последнее такое число в нашей таблице — 273. Чтобы найти следующие числа для этого столбца, нужно последовательно прибавлять 5 к последнему известному числу. Первое такое число: $273 + 5 = 278$. Второе число: $278 + 5 = 283$. Оба эти числа оканчиваются на цифру (8 или 3), которая дает остаток 3 при делении на 5.

Ответ: 278 и 283.

3) Если бы вы продолжили заполнение таблицы, то в какой столбец попало бы число 346? 490? 1229? 589 996?

Чтобы определить, в какой столбец попадет число, нужно найти остаток от его деления на 5. Для этого достаточно посмотреть на последнюю цифру числа. Для числа 346 последняя цифра 6, остаток от деления 6 на 5 равен 1 ($346 = 5 \times 69 + 1$), поэтому число попадает в столбец «1». Для числа 490 последняя цифра 0, остаток от деления на 5 равен 0 ($490 = 5 \times 98 + 0$), поэтому число попадает в столбец «0». Для числа 1229 последняя цифра 9, остаток от деления 9 на 5 равен 4 ($1229 = 5 \times 245 + 4$), поэтому число попадает в столбец «4». Для числа 589 996 последняя цифра 6, остаток от деления 6 на 5 равен 1 ($589996 = 5 \times 117999 + 1$), поэтому число попадает в столбец «1».

Ответ: 346 попадет в столбец "1"; 490 - в столбец "0"; 1229 - в столбец "4"; 589 996 - в столбец "1".

510 Не выполняя деления, определите, какие остатки получаются при делении на 10 и на 3 числа: а) 482; б) 893; в) 1237.

Если сомневаетесь в своём ответе, проверьте себя, выполнив деление.

Для решения этой задачи используются признаки делимости, которые позволяют найти остаток, не выполняя полного деления.

1. Правило для деления на 10: Остаток от деления любого целого числа на 10 всегда равен последней цифре этого числа.

2. Правило для деления на 3: Остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3.

а) 482

При делении на 10:
Последняя цифра числа 482 – это 2. Следовательно, остаток от деления на 10 равен 2.

При делении на 3:
Находим сумму цифр числа 482: $4 + 8 + 2 = 14$.
Теперь делим сумму на 3: $14 \div 3 = 4$ с остатком 2. Следовательно, остаток от деления 482 на 3 равен 2.

Ответ: при делении на 10 остаток 2; при делении на 3 остаток 2.

б) 893

При делении на 10:
Последняя цифра числа 893 – это 3. Следовательно, остаток от деления на 10 равен 3.

При делении на 3:
Находим сумму цифр числа 893: $8 + 9 + 3 = 20$.
Теперь делим сумму на 3: $20 \div 3 = 6$ с остатком 2. Следовательно, остаток от деления 893 на 3 равен 2.

Ответ: при делении на 10 остаток 3; при делении на 3 остаток 2.

в) 1237

При делении на 10:
Последняя цифра числа 1237 – это 7. Следовательно, остаток от деления на 10 равен 7.

При делении на 3:
Находим сумму цифр числа 1237: $1 + 2 + 3 + 7 = 13$.
Теперь делим сумму на 3: $13 \div 3 = 4$ с остатком 1. Следовательно, остаток от деления 1237 на 3 равен 1.

Ответ: при делении на 10 остаток 7; при делении на 3 остаток 1.

511 a) Сколько существует чисел, кратных 8 и не превосходящих 300? Назовите самое большое такое число.

б) Сколько существует чисел, кратных 11 и не превосходящих 460? Назовите первое число, кратное 11, которое больше 460.

а) Чтобы найти количество натуральных чисел, кратных 8 и не превосходящих 300, необходимо разделить 300 на 8 и взять целую часть от частного. Это и будет искомое количество чисел.

$300 \div 8 = 37.5$

Целая часть от деления равна 37. Таким образом, существует 37 чисел, кратных 8, которые не превосходят 300.

Чтобы найти самое большое такое число, нужно умножить полученную целую часть (37) на 8.

$37 \times 8 = 296$

Это самое большое число, кратное 8, которое меньше или равно 300.

Ответ: существует 37 таких чисел; самое большое из них — 296.

б) Чтобы найти количество натуральных чисел, кратных 11 и не превосходящих 460, нужно разделить 460 на 11 и взять целую часть от частного.

$460 \div 11 \approx 41.81$

Целая часть от деления равна 41. Следовательно, существует 41 число, кратное 11, которое не превосходит 460.

Чтобы найти первое число, кратное 11, которое больше 460, мы можем найти самое большое число, кратное 11, которое не превосходит 460, и прибавить к нему 11. Самое большое такое число равно $41 \times 11 = 451$.

Теперь прибавим 11, чтобы найти следующее кратное:

$451 + 11 = 462$

Число 462 кратно 11 и является первым таким числом, которое больше 460.

Ответ: существует 41 такое число; первое число, кратное 11, которое больше 460 — это 462.