Страница 134 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1. Какое из чисел, 16 или 18, является делителем числа 90?

Чтобы определить, какое из чисел, 16 или 18, является делителем числа 90, необходимо проверить, делится ли число 90 на каждое из предложенных чисел без остатка.

Делителем натурального числа a называют натуральное число b, на которое a делится без остатка.

Проверка числа 16

Разделим 90 на 16. Мы можем выполнить деление столбиком или подобрать ближайшее произведение.

$16 \times 5 = 80$

$16 \times 6 = 96$

Видим, что 90 находится между 80 и 96, значит, 90 не делится на 16 нацело. При делении 90 на 16 получится 5 и остаток 10:

$90 \div 16 = 5$ (ост. 10)

Следовательно, 16 не является делителем числа 90.

Проверка числа 18

Разделим 90 на 18.

Можно заметить, что оба числа заканчиваются на четную цифру и 0, поэтому можно предположить, что частное может заканчиваться на 5.

Проверим умножением:

$18 \times 5 = (10 + 8) \times 5 = 10 \times 5 + 8 \times 5 = 50 + 40 = 90$

Деление выполняется без остатка:

$90 \div 18 = 5$

Следовательно, 18 является делителем числа 90.

Ответ: 18.

2. Какое из чисел, 135 или 155, кратно числу 15?

Чтобы определить, какое из чисел кратно 15, необходимо проверить, делится ли каждое из этих чисел на 15 без остатка. Число, которое делится на 15 нацело, и будет ответом.

Проверка числа 135

Для проверки можно выполнить деление в столбик или воспользоваться признаками делимости. Число кратно 15, если оно одновременно кратно 3 и 5.
1. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5. Число 135 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5.
2. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма цифр числа 135 равна $1 + 3 + 5 = 9$. Так как 9 делится на 3, то и 135 делится на 3.
Поскольку число 135 делится и на 3, и на 5, оно кратно 15.
Выполним прямое деление для подтверждения: $135 \div 15 = 9$. Деление выполнено без остатка.

Проверка числа 155

Применим те же признаки делимости.
1. Признак делимости на 5: число 155 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5.
2. Признак делимости на 3: сумма цифр числа 155 равна $1 + 5 + 5 = 11$. Число 11 не делится на 3 без остатка.
Поскольку число 155 не делится на 3, оно не может быть кратно 15.
Выполним прямое деление для подтверждения: $155 \div 15 = 10$ и 5 в остатке. Деление выполнено с остатком.

Таким образом, из двух предложенных чисел только 135 кратно 15.

Ответ: 135.

3. Сколько делителей имеет число 40?

Чтобы найти количество делителей числа 40, то есть всех натуральных чисел, на которые 40 делится без остатка, можно использовать несколько способов.

Способ 1: Прямой перебор

Можно последовательно выписать все числа, на которые 40 делится нацело. Для этого удобно находить делители парами. Начнем с 1:

• $40 \div 1 = 40$, значит 1 и 40 являются делителями.
• $40 \div 2 = 20$, значит 2 и 20 являются делителями.
• Число 40 не делится на 3.
• $40 \div 4 = 10$, значит 4 и 10 являются делителями.
• $40 \div 5 = 8$, значит 5 и 8 являются делителями.

Следующие числа (6 и 7) не являются делителями 40. Следующий делитель – 8, который у нас уже есть в паре с 5. Таким образом, мы нашли все делители.

Перечислим их в порядке возрастания: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

Подсчитав их количество, получаем 8.

Способ 2: Через разложение на простые множители

Этот метод является более систематическим и удобен для больших чисел.

1. Разложим число 40 на простые множители:

$40 = 2 \times 20 = 2 \times 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 2 \times 5$

2. Запишем разложение в виде степеней простых чисел (каноническое разложение):

$40 = 2^3 \cdot 5^1$

3. Чтобы найти общее количество делителей, нужно взять показатели степеней в каноническом разложении (у нас это 3 и 1), прибавить к каждому из них единицу и перемножить полученные результаты.

Количество делителей = $(3 + 1) \times (1 + 1) = 4 \times 2 = 8$.

Оба способа показывают, что у числа 40 восемь делителей.

Ответ: 8

4. Во сколько коробок можно разложить 20 карандашей так, чтобы их количество во всех коробках было одним и тем же?

Чтобы разложить 20 карандашей по коробкам так, чтобы в каждой было одинаковое количество, необходимо, чтобы общее число карандашей (20) делилось нацело (без остатка) на количество коробок. Таким образом, задача сводится к поиску всех натуральных делителей числа 20.

Найдем все возможные способы, перебрав делители числа 20:

1. Можно взять 1 коробку. Тогда в ней будут все 20 карандашей.
Математически: $20 \div 1 = 20$.

2. Можно взять 2 коробки. Тогда в каждой коробке будет по 10 карандашей.
Математически: $20 \div 2 = 10$.

3. Можно взять 4 коробки. Тогда в каждой коробке будет по 5 карандашей.
Математически: $20 \div 4 = 5$.

4. Можно взять 5 коробок. Тогда в каждой коробке будет по 4 карандаша.
Математически: $20 \div 5 = 4$.

5. Можно взять 10 коробок. Тогда в каждой коробке будет по 2 карандаша.
Математически: $20 \div 10 = 2$.

6. Можно взять 20 коробок. Тогда в каждой коробке будет по 1 карандашу.
Математически: $20 \div 20 = 1$.

Другие числа, например 3 или 6, не являются делителями 20, поэтому на такое количество коробок разложить карандаши поровну не получится.

Итак, возможные количества коробок - это все натуральные делители числа 20.

Ответ: 20 карандашей можно разложить в 1, 2, 4, 5, 10 или 20 коробок.

5. Запишите все двузначные числа, кратные 12.

Двузначные числа — это целые числа от 10 до 99. Числа, кратные 12, — это числа, которые делятся на 12 без остатка. Чтобы найти все двузначные числа, кратные 12, необходимо последовательно умножать число 12 на натуральные числа ($1, 2, 3, ...$) и выбирать те результаты, которые попадают в диапазон от 10 до 99.

Начнем умножение:
$12 \times 1 = 12$. Это двузначное число.
$12 \times 2 = 24$. Это двузначное число.
$12 \times 3 = 36$. Это двузначное число.
$12 \times 4 = 48$. Это двузначное число.
$12 \times 5 = 60$. Это двузначное число.
$12 \times 6 = 72$. Это двузначное число.
$12 \times 7 = 84$. Это двузначное число.
$12 \times 8 = 96$. Это двузначное число.
$12 \times 9 = 108$. Это уже трехзначное число, поэтому оно не подходит. Все последующие произведения также будут больше 99.

Следовательно, мы нашли все двузначные числа, кратные 12.

Ответ: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96.

6. Запишите три общих кратных чисел:

а) 6 и 8;

б) 2 и 5.

а) 6 и 8;

Чтобы найти общие кратные чисел, сначала определим их наименьшее общее кратное (НОК). Для этого разложим числа 6 и 8 на простые множители.

$6 = 2 \cdot 3$

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

НОК(6, 8) находится путем взятия каждого простого множителя в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях. В нашем случае это $2^3$ и $3^1$.

НОК(6, 8) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Наименьшее общее кратное — это первое общее кратное. Все остальные общие кратные будут кратны НОК. Чтобы найти следующие два, умножим 24 на 2 и 3.

1. $24 \cdot 1 = 24$

2. $24 \cdot 2 = 48$

3. $24 \cdot 3 = 72$

Ответ: 24, 48, 72.

б) 2 и 5;

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 2 и 5. Числа 2 и 5 являются простыми, а значит, и взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1). НОК взаимно простых чисел равно их произведению.

НОК(2, 5) = $2 \cdot 5 = 10$.

Наименьшее общее кратное равно 10. Все остальные общие кратные этих чисел будут кратны 10. Найдем первые три общих кратных, умножая НОК последовательно на 1, 2 и 3.

1. $10 \cdot 1 = 10$

2. $10 \cdot 2 = 20$

3. $10 \cdot 3 = 30$

Ответ: 10, 20, 30.

7. Найдите:

а) $ \text{НОК} (10; 6); $

б) $ \text{НОК} (3; 15); $

в) $ \text{НОК} (4; 7). $

а) Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 10 и 6, разложим их на простые множители.

Разложение числа 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$.

Разложение числа 6 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$.

Для нахождения НОК нужно выписать все простые множители из разложения одного числа (например, 10: это 2 и 5) и добавить к ним недостающие множители из разложения второго числа (из разложения числа 6 не хватает множителя 3).

Теперь перемножим полученный набор множителей:

НОК (10; 6) = $2 \cdot 5 \cdot 3 = 30$.

Ответ: 30

б) Чтобы найти НОК чисел 3 и 15, обратим внимание на то, что одно из этих чисел (15) делится нацело на другое (3): $15 : 3 = 5$.

Согласно правилу, если одно из двух натуральных чисел делится на другое, то их наименьшее общее кратное равно большему из этих чисел.

Следовательно, НОК (3; 15) = 15.

Ответ: 15

в) Чтобы найти НОК чисел 4 и 7, определим их общие делители.

Разложим число 4 на простые множители: $4 = 2 \cdot 2$. Число 7 является простым.

У чисел 4 и 7 нет общих простых множителей, их единственный общий делитель — это 1. Такие числа называются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

НОК (4; 7) = $4 \cdot 7 = 28$.

Ответ: 28

8. Какие из чисел 5, 9, 13, 15, 21, 33, 43, 61, 81 являются простыми?

Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Числа, имеющие более двух делителей, называются составными. Чтобы определить, какие из данных чисел являются простыми, необходимо проверить их делители.

• 5. Делится без остатка только на 1 и на 5. Следовательно, это простое число.
• 9. Делится на 1, 3 и 9. Так как у него есть делитель 3, отличный от 1 и 9, это число является составным. Математически это можно записать как $9 = 3 \times 3$.
• 13. Делится без остатка только на 1 и на 13. Следовательно, это простое число.
• 15. Имеет делители 1, 3, 5, 15. Это составное число, так как $15 = 3 \times 5$.
• 21. Имеет делители 1, 3, 7, 21. Это составное число, так как $21 = 3 \times 7$.
• 33. Имеет делители 1, 3, 11, 33. Это составное число, так как $33 = 3 \times 11$.
• 43. Для проверки на простоту достаточно проверить его делимость на простые числа, не превосходящие квадратный корень из этого числа: $\sqrt{43} \approx 6.5$. Проверяем делимость на простые числа 2, 3, 5.
  • 43 не делится на 2, так как оно нечетное.
  • 43 не делится на 3, так как сумма его цифр $4+3=7$ не делится на 3.
  • 43 не делится на 5, так как оно не оканчивается на 0 или 5.
  Поскольку 43 не имеет других делителей, кроме 1 и 43, оно является простым числом.
• 61. Проверим делимость на простые числа до $\sqrt{61} \approx 7.8$. Это числа 2, 3, 5, 7.
  • 61 не делится на 2 (нечетное).
  • 61 не делится на 3 (сумма цифр $6+1=7$).
  • 61 не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5).
  • 61 не делится на 7 (так как $7 \times 8 = 56$, а $7 \times 9 = 63$).
  Следовательно, 61 — простое число.
• 81. Имеет делители 1, 3, 9, 27, 81. Это составное число, так как $81 = 9 \times 9$.

Таким образом, из предложенного списка чисел простыми являются 5, 13, 43 и 61.

Ответ: 5, 13, 43, 61.

9. С помощью таблицы простых чисел определите, простым или составным является число:

а) $197$;

б) $389$;

в) $637$;

г) $853$.

а) 197
Чтобы определить, является ли число 197 простым или составным, будем проверять его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{197}$.
Найдем приблизительное значение корня: $\sqrt{197} \approx 14,03$.
Простые числа, которые меньше или равны 14, это: 2, 3, 5, 7, 11, 13.
Проверим делимость 197 на эти числа:
- 197 не делится на 2, так как оно нечетное.
- Сумма цифр числа 197 равна $1+9+7=17$. 17 не делится на 3, значит, 197 не делится на 3.
- 197 не делится на 5, так как не оканчивается на 0 или 5.
- $197 \div 7 = 28$ (остаток 1).
- $197 \div 11 = 17$ (остаток 10).
- $197 \div 13 = 15$ (остаток 2).
Так как число 197 не делится ни на одно простое число, не превосходящее его квадратный корень, оно является простым.
Ответ: простое.

б) 389
Проверим число 389. Найдем простые числа, не превосходящие $\sqrt{389}$.
$\sqrt{389} \approx 19,72$.
Простые числа, которые меньше или равны 19, это: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Проверим делимость 389 на эти числа:
- 389 не делится на 2 (нечетное).
- Сумма цифр $3+8+9=20$. 20 не делится на 3, значит, 389 не делится на 3.
- 389 не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5).
- $389 \div 7 = 55$ (остаток 4).
- $389 \div 11 = 35$ (остаток 4).
- $389 \div 13 = 29$ (остаток 12).
- $389 \div 17 = 22$ (остаток 15).
- $389 \div 19 = 20$ (остаток 9).
Число 389 не имеет простых делителей, не превосходящих его квадратный корень, следовательно, оно простое.
Ответ: простое.

в) 637
Проверим число 637. Найдем простые числа, не превосходящие $\sqrt{637}$.
$\sqrt{637} \approx 25,23$.
Простые числа, которые меньше или равны 25, это: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Проверим делимость 637 на эти числа:
- 637 не делится на 2 (нечетное).
- Сумма цифр $6+3+7=16$. 16 не делится на 3, значит, 637 не делится на 3.
- 637 не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5).
- $637 \div 7 = 91$. Делится без остатка.
Так как мы нашли делитель (7), отличный от 1 и самого числа 637, число является составным.
Можно разложить его на простые множители: $637 = 7 \cdot 91 = 7 \cdot 7 \cdot 13 = 7^2 \cdot 13$.
Ответ: составное.

г) 853
Проверим число 853. Найдем простые числа, не превосходящие $\sqrt{853}$.
$\sqrt{853} \approx 29,2$.
Простые числа, которые меньше или равны 29, это: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Проверим делимость 853 на эти числа:
- 853 не делится на 2 (нечетное).
- Сумма цифр $8+5+3=16$. 16 не делится на 3, значит, 853 не делится на 3.
- 853 не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5).
- $853 \div 7 = 121$ (остаток 6).
- $853 \div 11 = 77$ (остаток 6).
- $853 \div 13 = 65$ (остаток 8).
- $853 \div 17 = 50$ (остаток 3).
- $853 \div 19 = 44$ (остаток 17).
- $853 \div 23 = 37$ (остаток 2).
- $853 \div 29 = 29$ (остаток 12).
Число 853 не имеет простых делителей, не превосходящих его квадратный корень, следовательно, оно простое.
Ответ: простое.

10. Какие из чисел 115, 120, 142, 170, 186:

а) делятся на 2 и не делятся на 10;

б) делятся на 2 и на 5?

а)
Для решения этой задачи необходимо использовать признаки делимости чисел.
Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6 или 8).
Из предложенного списка чисел {115, 120, 142, 170, 186} выберем те, которые оканчиваются на четную цифру: 120, 142, 170, 186.
Признак делимости на 10: число делится на 10, если его последняя цифра – 0.
Теперь из нашего списка чисел, делящихся на 2, нужно исключить те, которые делятся на 10 (то есть оканчиваются на 0).
Числа 120 и 170 оканчиваются на 0, поэтому они делятся на 10.
Числа 142 и 186 оканчиваются на 2 и 6 соответственно, поэтому они не делятся на 10.
Таким образом, числа, которые делятся на 2 и не делятся на 10, – это 142 и 186.
Ответ: 142, 186.

б)
Если число делится и на 2, и на 5, то оно должно делиться на их наименьшее общее кратное, которое равно $2 \times 5 = 10$.
Признак делимости на 10 гласит, что число должно оканчиваться на 0.
Найдем в исходном списке {115, 120, 142, 170, 186} числа, которые оканчиваются на 0.
Этому условию удовлетворяют числа 120 и 170.
Проверим их:
$120 \div 2 = 60$, $120 \div 5 = 24$. Делится и на 2, и на 5.
$170 \div 2 = 85$, $170 \div 5 = 34$. Делится и на 2, и на 5.
Ответ: 120, 170.

11. Какие из чисел 138, 143, 261, 375, 801 делятся:

а) на 3;

б) на 9?

Для решения этой задачи воспользуемся признаками делимости на 3 и на 9.

• Признак делимости на 3: число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.
• Признак делимости на 9: число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9.

Проверим каждое из данных чисел (138, 143, 261, 375, 801), вычислив сумму их цифр:

• Для числа 138: сумма цифр $1 + 3 + 8 = 12$.
• Для числа 143: сумма цифр $1 + 4 + 3 = 8$.
• Для числа 261: сумма цифр $2 + 6 + 1 = 9$.
• Для числа 375: сумма цифр $3 + 7 + 5 = 15$.
• Для числа 801: сумма цифр $8 + 0 + 1 = 9$.

Теперь, основываясь на полученных суммах, ответим на вопросы.

а) на 3

На 3 делятся те числа, сумма цифр которых делится на 3. Проверим наши суммы:

• $12$ делится на 3 ($12 : 3 = 4$), значит, 138 делится на 3.
• $8$ не делится на 3, значит, 143 не делится на 3.
• $9$ делится на 3 ($9 : 3 = 3$), значит, 261 делится на 3.
• $15$ делится на 3 ($15 : 3 = 5$), значит, 375 делится на 3.
• $9$ делится на 3 ($9 : 3 = 3$), значит, 801 делится на 3.

Ответ: 138, 261, 375, 801.

б) на 9

На 9 делятся те числа, сумма цифр которых делится на 9. Проверим наши суммы:

• $12$ не делится на 9, значит, 138 не делится на 9.
• $8$ не делится на 9, значит, 143 не делится на 9.
• $9$ делится на 9 ($9 : 9 = 1$), значит, 261 делится на 9.
• $15$ не делится на 9, значит, 375 не делится на 9.
• $9$ делится на 9 ($9 : 9 = 1$), значит, 801 делится на 9.

Ответ: 261, 801.

12. Разложите на простые множители число:

а) 300;

б) 414.

а) Чтобы разложить число 300 на простые множители, будем последовательно делить его на наименьшие возможные простые делители.

1. Число 300 чётное, так как оканчивается на 0, поэтому делим его на 2:
$300 : 2 = 150$

2. Полученное число 150 также чётное, снова делим на 2:
$150 : 2 = 75$

3. Число 75 нечётное. Проверим делимость на следующее простое число — 3. Сумма цифр числа 75 равна $7 + 5 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и 75 делится на 3:
$75 : 3 = 25$

4. Число 25 не делится на 3. Следующее простое число — 5. Так как 25 оканчивается на 5, оно делится на 5:
$25 : 5 = 5$

5. Число 5 — простое, поэтому делим его само на себя:
$5 : 5 = 1$

Деление закончено. Теперь запишем все найденные простые множители в виде произведения, используя степени для повторяющихся множителей:
$300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$

Ответ: $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.

б) Разложим на простые множители число 414, используя тот же метод.

1. Число 414 чётное, так как оканчивается на 4, поэтому делим его на 2:
$414 : 2 = 207$

2. Число 207 нечётное. Проверим делимость на 3. Сумма цифр числа 207 равна $2 + 0 + 7 = 9$. Так как 9 делится на 3, то и 207 делится на 3:
$207 : 3 = 69$

3. Проверим делимость числа 69 на 3. Сумма цифр равна $6 + 9 = 15$. Так как 15 делится на 3, то и 69 делится на 3:
$69 : 3 = 23$

4. Число 23 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя.
$23 : 23 = 1$

Запишем разложение числа 414 на простые множители:
$414 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 23 = 2 \cdot 3^2 \cdot 23$

Ответ: $414 = 2 \cdot 3^2 \cdot 23$.