Страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

536. Постройте на листе нелинованной бумаги:

а) прямоугольник со сторонами, равными 4 см 5 мм и 5 см 2 мм;

б) квадрат со стороной 4 см 8 мм.

а)

Для построения прямоугольника со сторонами 4 см 5 мм и 5 см 2 мм на нелинованной бумаге необходимо выполнить следующую последовательность действий, используя линейку, угольник (или транспортир) и циркуль:

1. Сначала переведем заданные длины сторон в одну единицу измерения — миллиметры, так как это удобнее для построения.
   • Длина первой стороны: $a = 4 \text{ см } 5 \text{ мм } = 4 \times 10 \text{ мм } + 5 \text{ мм } = 45 \text{ мм}$.
   • Длина второй стороны: $b = 5 \text{ см } 2 \text{ мм } = 5 \times 10 \text{ мм } + 2 \text{ мм } = 52 \text{ мм}$.
2. С помощью линейки проводим на листе бумаги прямую линию и откладываем на ней отрезок AB, равный длине одной из сторон, например, большей: $AB = 52 \text{ мм}$.
3. В точке A строим прямой угол. Для этого прикладываем угольник одной стороной к отрезку AB так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой A, и проводим из точки A луч, перпендикулярный отрезку AB.
4. На построенном перпендикулярном луче от точки A откладываем отрезок AD, равный длине второй стороны: $AD = 45 \text{ мм}$.
5. Находим четвертую вершину прямоугольника — точку C. Для этого из точки D проводим дугу окружности радиусом, равным длине отрезка AB ($52 \text{ мм}$), а из точки B — дугу окружности радиусом, равным длине отрезка AD ($45 \text{ мм}$).
6. Точка пересечения этих дуг является вершиной C.
7. Соединяем отрезками вершины B с C и D с C.

В результате будет построен четырехугольник ABCD, который является искомым прямоугольником, так как его противоположные стороны равны ($AB = DC = 52 \text{ мм}$, $AD = BC = 45 \text{ мм}$) и все углы прямые по построению.

Ответ: Искомый прямоугольник построен в соответствии с описанным алгоритмом.

б)

Для построения квадрата со стороной 4 см 8 мм на нелинованной бумаге потребуются те же инструменты: линейка, угольник (или транспортир) и циркуль. Порядок действий следующий:

1. Переведем длину стороны квадрата в миллиметры.
   • Сторона квадрата: $a = 4 \text{ см } 8 \text{ мм } = 4 \times 10 \text{ мм } + 8 \text{ мм } = 48 \text{ мм}$.
2. С помощью линейки чертим отрезок AB длиной $48 \text{ мм}$.
3. В точке A строим прямой угол. Для этого используем угольник, приложив его к отрезку AB, и проводим перпендикулярный луч из точки A.
4. На этом луче откладываем отрезок AD, равный стороне квадрата: $AD = 48 \text{ мм}$.
5. Находим четвертую вершину C. Поскольку у квадрата все стороны равны, из точек B и D проводим дуги окружности с одинаковым радиусом, равным стороне квадрата ($48 \text{ мм}$).
6. Точка пересечения этих дуг и будет вершиной C.
7. Соединяем отрезками вершины B с C и D с C.

Полученный четырехугольник ABCD является искомым квадратом, так как все его стороны равны $48 \text{ мм}$ и все углы прямые.

Ответ: Искомый квадрат построен в соответствии с описанным алгоритмом.

537 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ И НАБЛЮДАЕМ

Начертите в тетради квадрат и проведите его диагональ. Что больше: диагональ квадрата или его сторона? Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата? Проведите вторую диагональ. Под каким углом пересекаются диагонали квадрата? Выполняется ли это свойство для прямоугольника?

Что больше: диагональ квадрата или его сторона?

Рассмотрим квадрат со стороной $a$. Диагональ этого квадрата, вместе с двумя его сторонами, образует прямоугольный треугольник. В этом треугольнике стороны квадрата являются катетами, а диагональ — гипотенузой.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Обозначим диагональ как $d$. Тогда:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Отсюда длина диагонали равна:

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Поскольку $\sqrt{2} \approx 1,414$, то есть $\sqrt{2} > 1$, то и $a\sqrt{2} > a$. Следовательно, диагональ квадрата всегда больше его стороны.

Ответ: Диагональ квадрата больше его стороны.

Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата?

Все углы квадрата прямые, то есть равны $90^\circ$. Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Диагональ является биссектрисой угла квадрата, из которого она проведена.

Следовательно, диагональ делит прямой угол ($90^\circ$) на два равных угла:

$90^\circ \div 2 = 45^\circ$

Ответ: Диагональ образует со сторонами квадрата углы, равные $45^\circ$.

Под каким углом пересекаются диагонали квадрата?

Диагонали квадрата обладают свойством взаимной перпендикулярности. Это означает, что они пересекаются под прямым углом.

Можно доказать это, рассмотрев четыре треугольника, образованных пересечением диагоналей. Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам, а все стороны квадрата равны. Поэтому все четыре треугольника, с вершиной в центре квадрата, равны по трём сторонам. Углы при их общей вершине (в центре квадрата) также равны. Сумма этих углов составляет $360^\circ$.

$360^\circ \div 4 = 90^\circ$

Таким образом, угол между диагоналями равен $90^\circ$.

Ответ: Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

Выполняется ли это свойство для прямоугольника?

Свойство пересечения диагоналей под прямым углом для произвольного прямоугольника, который не является квадратом, не выполняется. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, но они не перпендикулярны.

Угол между диагоналями прямоугольника зависит от соотношения длин его сторон. Только в том случае, если прямоугольник является квадратом (то есть все его стороны равны), его диагонали пересекаются под прямым углом.

Ответ: Нет, для прямоугольника, не являющегося квадратом, это свойство не выполняется. Диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом только в том случае, если этот прямоугольник является квадратом.

538 Какой длины надо взять кусок проволоки, чтобы согнуть из него:

а) квадрат со стороной $2 \text{ см}$;

б) прямоугольник со сторонами $12 \text{ см}$ и $5 \text{ см}$?

Можно ли из куска проволоки длиной $15 \text{ см}$ согнуть квадрат со стороной $4 \text{ см}$?

а) Чтобы найти необходимую длину проволоки для изготовления квадрата, нужно вычислить его периметр. Периметр $P$ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $P = 4 \cdot a$.
В данном случае сторона квадрата $a = 2$ см. Рассчитаем периметр:
$P = 4 \cdot 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$.
Следовательно, потребуется кусок проволоки длиной 8 см.
Ответ: 8 см.

б) Чтобы найти необходимую длину проволоки для изготовления прямоугольника, нужно вычислить его периметр. Периметр $P$ прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$.
Стороны прямоугольника равны $a = 12$ см и $b = 5$ см. Рассчитаем периметр:
$P = 2 \cdot (12 \text{ см} + 5 \text{ см}) = 2 \cdot 17 \text{ см} = 34 \text{ см}$.
Следовательно, потребуется кусок проволоки длиной 34 см.
Ответ: 34 см.

Чтобы ответить на вопрос, можно ли из куска проволоки длиной 15 см согнуть квадрат со стороной 4 см, нужно сначала определить, какая длина проволоки для этого потребуется. Эта длина равна периметру квадрата.
Периметр квадрата со стороной $a = 4$ см равен:
$P = 4 \cdot a = 4 \cdot 4 \text{ см} = 16 \text{ см}$.
Для изготовления квадрата требуется 16 см проволоки, а в наличии есть только 15 см. Так как $15 \text{ см} < 16 \text{ см}$, длины имеющейся проволоки недостаточно.
Ответ: нет, нельзя.

539 Произведите необходимые измерения и найдите периметр прямоугольника, изображённого на рисунке 7.9.

$AC = BD$

$OB = OC = OA = OD$

Рис. 7.9

Для того чтобы найти периметр прямоугольника, изображённого на рисунке, необходимо произвести измерения его сторон и выполнить вычисления.

1. Воспользуемся линейкой для измерения длины и ширины прямоугольника ABCD. Обозначим длину как $a$ (например, сторона AD) и ширину как $b$ (например, сторона AB). Важно отметить, что результаты измерений могут отличаться в зависимости от масштаба изображения на вашем экране или в печатном издании. Для примера, предположим, что измерения дали следующие результаты:

Длина $a = 5$ см
Ширина $b = 2,5$ см

2. Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле, которая представляет собой сумму длин всех его сторон: $P = 2 \cdot (a + b)$. Подставим в эту формулу наши измеренные значения:

$P = 2 \cdot (5 \text{ см} + 2,5 \text{ см})$

Сначала выполним сложение в скобках:

$5 \text{ см} + 2,5 \text{ см} = 7,5 \text{ см}$

Теперь умножим полученную сумму на 2, чтобы найти периметр:

$P = 2 \cdot 7,5 \text{ см} = 15$ см

Ответ: 15 см.