Номер 537, страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.2. Прямоугольники. Глава 7. Треугольники и четырёхугольники - номер 537, страница 141.

537 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ И НАБЛЮДАЕМ

Начертите в тетради квадрат и проведите его диагональ. Что больше: диагональ квадрата или его сторона? Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата? Проведите вторую диагональ. Под каким углом пересекаются диагонали квадрата? Выполняется ли это свойство для прямоугольника?

Что больше: диагональ квадрата или его сторона?

Рассмотрим квадрат со стороной $a$. Диагональ этого квадрата, вместе с двумя его сторонами, образует прямоугольный треугольник. В этом треугольнике стороны квадрата являются катетами, а диагональ — гипотенузой.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Обозначим диагональ как $d$. Тогда:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Отсюда длина диагонали равна:

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Поскольку $\sqrt{2} \approx 1,414$, то есть $\sqrt{2} > 1$, то и $a\sqrt{2} > a$. Следовательно, диагональ квадрата всегда больше его стороны.

Ответ: Диагональ квадрата больше его стороны.

Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата?

Все углы квадрата прямые, то есть равны $90^\circ$. Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Диагональ является биссектрисой угла квадрата, из которого она проведена.

Следовательно, диагональ делит прямой угол ($90^\circ$) на два равных угла:

$90^\circ \div 2 = 45^\circ$

Ответ: Диагональ образует со сторонами квадрата углы, равные $45^\circ$.

Под каким углом пересекаются диагонали квадрата?

Диагонали квадрата обладают свойством взаимной перпендикулярности. Это означает, что они пересекаются под прямым углом.

Можно доказать это, рассмотрев четыре треугольника, образованных пересечением диагоналей. Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам, а все стороны квадрата равны. Поэтому все четыре треугольника, с вершиной в центре квадрата, равны по трём сторонам. Углы при их общей вершине (в центре квадрата) также равны. Сумма этих углов составляет $360^\circ$.

$360^\circ \div 4 = 90^\circ$

Таким образом, угол между диагоналями равен $90^\circ$.

Ответ: Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

Выполняется ли это свойство для прямоугольника?

Свойство пересечения диагоналей под прямым углом для произвольного прямоугольника, который не является квадратом, не выполняется. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, но они не перпендикулярны.

Угол между диагоналями прямоугольника зависит от соотношения длин его сторон. Только в том случае, если прямоугольник является квадратом (то есть все его стороны равны), его диагонали пересекаются под прямым углом.

Ответ: Нет, для прямоугольника, не являющегося квадратом, это свойство не выполняется. Диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом только в том случае, если этот прямоугольник является квадратом.